高等數(shù)學(xué)課件：10-4 格林公式及其應(yīng)用2

1、曲線積分與路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件二元函數(shù)的全微分的求積二元函數(shù)的全微分的求積格林公式的散度與旋度形式格林公式的散度與旋度形式一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義定義定義12( , )( , )GP x yQ x yGGA BABL LG 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)域域，函函數(shù)數(shù)，在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，如如果果對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意給給定定的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)， 以以及及從從點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)的的任任意意兩兩條條曲曲線線，Gyxo1L2LBA1LPdxQdy 2LPdxQdy LPdxQdyG 則則稱稱曲曲線線

2、積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .定理定理1二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件0.LCPdxQdyGGCPdxQdy 曲曲線線積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線 ，都都有有證明證明CG設(shè)設(shè)為為內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線，CA B在在上上任任取取兩兩點(diǎn)點(diǎn) ，Gyxo1L2LBAC12LL 則則2L C 120.LL 12A BGL LGAB 設(shè)設(shè)， 為為內(nèi)內(nèi)任任意意給給定定的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)，為為任任意意兩兩條條從從點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲線線，Gyxo1L2LBA120

3、CLL 則則，12LL 2.L 定理定理2( , )( , )(0).LCGP x yQ x yGPdxQdyGGCPdxQdyGPQyx 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閱螁芜B連通通域域，函函數(shù)數(shù)，在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則曲曲線線積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān) 或或?qū)?duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線 ，都都有有的的充充分分必必要要條條件件是是對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有成成立立證明證明CG設(shè)設(shè)為為內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線，則則由由格格林林公公式式，()CDQPPdxQdydxdyxy 0. 0CPdxQdy 設(shè)設(shè)，反反證證法法. .0.PQMGyx 假假設(shè)設(shè)

4、存存在在點(diǎn)點(diǎn)，使使得得0()0MQPxy 不不妨妨設(shè)設(shè)，PQGyx ，在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，002MKKQPxy 則則存存在在的的某某個(gè)個(gè)充充分分小小的的鄰鄰域域，使使得得在在上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，都都有有，K 設(shè)設(shè)為為的的正正向向邊邊界界，則則有有()KQPPdxQdydxdyxy 2 ()K 其其中中為為的的面面積積0 ，矛矛盾盾. .注(1)G開開區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閱螁芜B連通通域域；(2)( , )( , )P x yQ x yG，在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .兩條件缺一不可兩條件缺一不可.221(1)2G xy ：，22CydxxdyIxy ，2222yxPQxyxy ，22

5、222.()QPxyxyxy 22120 xy ；2221(2)44Gxy ：，22120 xy . .M (1,2)例例1(1,2)(0,0)()(2 )()(2 ).yyCyyex dxxey dyex dxxey dy 證證明明曲曲線線積積分分在在整整個(gè)個(gè)平平面面內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，并并計(jì)計(jì)算算的的值值解解2yyPexQxey ，yPey Qx ， 曲曲線線積積分分在在整整個(gè)個(gè)平平面面內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān). .A (1,0)xyo(0,0)(1,2)(0,0)()(2 )yyex dxxey dy LOAAM 0OAxxy ：，1AMxyy ：，01x：02y：100()ex

6、dx 20(12 )yey dy 212200()()2yxxey27.2e注若曲線積分與路徑無關(guān)，可任意選擇路徑；若曲線積分與路徑無關(guān)，可任意選擇路徑；一般選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段一般選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段. .M (1,2)A (1,0)(0,0)xyo例例2123( 1,0)(1,0)(1)(2)(3)LxydxLABLxLL 計(jì)計(jì)算算，其其中中為為從從點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn)沿沿曲曲線線為為沿沿軸軸的的直直線線段段；為為單單位位圓圓的的上上半半圓圓弧??；為為單單位位圓圓的的下下半半圓圓弧弧. .解解1(1)0Lxxy：，11x ：1Lxydx 110 xdx 0. 2(2)cossinLxtyt

7、：，0t ：2Lxydx 0cossin( sin )ttt dt 0. 3(3)cossinLxtyt：，2t：3Lxydx 2cossin( sin )ttt dt 0. 123.LLLxydxxydxxydx Lxydx 能能否否說說明明與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)？注若曲線積分與路徑無關(guān)，是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的若曲線積分與路徑無關(guān)，是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的任何任何路徑積分都相等；若只有路徑積分都相等；若只有有限有限條路徑積分條路徑積分相等，則不能說明曲線積分與路徑無關(guān)相等，則不能說明曲線積分與路徑無關(guān). .三、二元函數(shù)的全微分的求積三、二元函數(shù)的全微分的求積( , )zf x y 若若函函數(shù)數(shù)可可微微，

8、則則( , )( , ).f x yf x ydzdxdyxy( , )( , )P x y dxQ x y dy 反反過過來來，已已知知，(1)( , )( , )( , )P x y dxQ x y dyu x y 在在什什么么條條件件下下為為某某一一函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分；(2)( , ).u x y如如何何求求定理定理3( , )( , )( , )( , )( , )GP x yQ x yGP x y dxQ x y dyGu x yPQGyx 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閱螁芜B連通通域域，函函數(shù)數(shù)，在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則在在內(nèi)內(nèi)為為某某一一函函數(shù)數(shù)的的全全微微

9、分分的的充充分分必必要要條條件件是是對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有成成立立，00( , )(,)( , )( , )( , ).x yxyu x yP x y dxQ x y dy 證明證明( , )( , )( , )du x yP x y dxQ x y dy 設(shè)設(shè)，( , )( , )uuP x yQ x yxy 則則，2Puuyyxx y ，2Quuxxyy x . .( , )( , )P x yQ x yG因因?yàn)闉?，在在?nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，22uux yy x ，.PQyx PQGyx 設(shè)設(shè)在在單單連連通通域域內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有成成立立，0002(

10、,)( , ).MxyM x yG由由定定理理 ，以以為為起起點(diǎn)點(diǎn)，為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲線線積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)00( , )(,)( , )( , )x yxyP x y dxQ x y dy , x y是是關(guān)關(guān)于于的的函函數(shù)數(shù)，( , )u x y ( , )( , )( , )du x yP x y dxQ x y dy 下下面面將將證證明明：，( , )( , )uuP x yQ x yxy 即即，. .( , )( , )( , )u x yP x y dxQ x y dy 稱稱函函數(shù)數(shù)為為的的原原函函數(shù)數(shù)0(, )( , )limxuu xx yu x yxx 00

11、00(, )( , )(,)(,)0limxx yx yxyxyxx yoxG000(,)M x y( , )M x y(, )N xx y 0000( , )( , )(,)(,)0limx yx yxyMNxyxx 0( , )( , )limMNxP x y dxQ x y dyx 0( , )( , ) 0limxxxxP x y dxQ x yx 0( , )limxxxxP x y dxx ()()MNxxyy ：參參數(shù)數(shù) ，常常數(shù)數(shù) ，x xxx ：0(, )lim(01)xP xx yxx 其其中中0lim(, )xP xx y ( , )P x y ，( , ).uQ x y

12、y 同同理理可可得得00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy xyo00(,)A x y( , )B x y0( ,)C x yLACCB 0 x xx：0y yy：0()ACxxyy ：參參數(shù)數(shù) ，()CBxxyy ：，參參數(shù)數(shù) ，00( ,)xxP x y dx 0( , )yyQ x y dy 000(, )( , ).yxyxQ xy dyP x y dx 不不要要使使用用分分項(xiàng)項(xiàng)組組合合法法. .0(, )D x y例例322.xy dxx ydyxOy 驗(yàn)驗(yàn)證證在在整整個(gè)個(gè)面面內(nèi)內(nèi)是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，并

13、并求求出出一一個(gè)個(gè)這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)解解22PxyQx y ，2Pxyy Qx ，22xy dxx ydy是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分. .( , )22(0,0)( , )x yu x yxy dxx ydy B(x,y)A(x,0)xyo(0,0)OAAB2000 xxdxx 2200yxyx ydy 20yx ydy 221.2x y 例例42(1,1)2(0,0)( )( )(0)0( ).Lxy dxyg x dyg xgxy dxyg x dy 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，其其中中具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且，計(jì)計(jì)算算解解2( ,)P x yxy ，( ,)

14、( )Q x yyg x ，2Pxyy ，( )Qyg xx ，2( )Lxy dxyg x dy 曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，PQyx ，2( ).xyyg x 即即2( )2g xxdxxC ，(0)0g ，20( ).Cg xx ，從從而而(1,1)2(0,0)( )xy dxyg x dy 故故(1,1)22(0,0)xy dxx ydy B(1,1)A(1,0)xyo(0,0)OAAB12000 xdxx 122010 1yydy 10ydy 1.2 注( , )( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閱螁芜B連通通域域，函函數(shù)數(shù)，在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)

15、續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，(1)LPdxQdyG 曲曲線線積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)；(2)0CGCPdxQdy 對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線，都都有有；(3)PQGyx 對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)都都有有成成立立；(4)( , )( , )( , )( , ).Gu x ydu x yP x y dxQ x y dy在在內(nèi)內(nèi)存存在在函函數(shù)數(shù)，使使得得四、格林公式的散度與旋度形式四、格林公式的散度與旋度形式定義定義1( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , ).DP x yQ x yDF x yP x y iQ x y jP x yQ x y 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)平

16、平面面區(qū)區(qū)域域，函函數(shù)數(shù)，是是定定義義在在上上的的二二元元函函數(shù)數(shù)，則則稱稱向向量量函函數(shù)數(shù)為為一一個(gè)個(gè)平平面面向向量量場(chǎng)場(chǎng)，而而稱稱，為為數(shù)數(shù)量量場(chǎng)場(chǎng).類類似似可可定定義義空空間間向向量量場(chǎng)場(chǎng)以以及及數(shù)數(shù)量量場(chǎng)場(chǎng)定義定義2( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , ).xyF x yf x yF x ygradf x yfx y ifx y jF x yf x yF x y 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)平平面面向向量量場(chǎng)場(chǎng)，若若存存在在可可微微函函數(shù)數(shù)，使使，則則稱稱向向量量場(chǎng)場(chǎng)為為有有勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)，稱稱為為向向量量場(chǎng)場(chǎng)的的一一個(gè)個(gè)勢(shì)勢(shì)函函數(shù)數(shù)定義定義3( , ,

17、 )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )P x y zQ x y zR x y zPQRxyzF x y zP x y z iQ x y z jR x y z kx y zdivF 設(shè)設(shè)三三元元函函數(shù)數(shù)，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則稱稱為為空空間間向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的散散度度，記記為為；()()()( , , )( , , ).RQPRQPijkyzzxxyF x y zx y zrotF 稱稱為為空空間間向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的旋旋度度，記記為為.Hamiltonijkxyz 算算子子：divFF PQRxyz；rotFF ijkxyzPQR ()()() .RQPRQPijkyzzxxy( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 0ijkxy PQdivFFxy ；() .QProtFFkxy 例例5222(1)(1)(1)(1,2, 1).Fxx z iyx z jzx z k 計(jì)計(jì)算算空空間間向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在點(diǎn)點(diǎn)的的散散度度與與旋旋度度解解222(1)(1)(1)Pxx zQyx zRzx z ，PQRdivFFx