工程電磁場：第1章 靜電場

1、1 靜電場靜電場1.2 高斯定理高斯定理1.3 靜電場基本方程，分界面上銜接的條件靜電場基本方程，分界面上銜接的條件1.4 靜電場邊值問題靜電場邊值問題 唯一性定理唯一性定理1.1 電場強度電場強度電位電位1.5 鏡像法鏡像法1.7 數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法 有限差分法有限差分法和和有限元法有限元法1.6 電容電容總結(jié)總結(jié)1.1 電場強度電場強度電位電位1.1.2 電場強度電場強度1.1.3 電位電位1.1.4 電力線與等位面電力線與等位面1.1.1 庫侖定律庫侖定律總結(jié)總結(jié)1.1.1 庫侖定律庫侖定律庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明

2、: : 真空中兩個靜止的點電荷之間存在相互作用力。真空中兩個靜止的點電荷之間存在相互作用力。1222102141eRqqF2122101241eRqqF2112FFR1q2q12F21F1.1.1 庫侖定律庫侖定律適用條件：適用條件： 兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力；兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力； 無限大真空情況無限大真空情況 ( (式中式中1291085. 836100F/m F/m ) )可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中)(0當(dāng)真空中引入第三個點電荷當(dāng)真空中引入第三個點電荷 時，試問：時，試問： 與與 相互間的作用力改變嗎相互間的作用力改變

3、嗎? ? 為什么？為什么？3q1q2q電場力符合矢量疊加原理電場力符合矢量疊加原理 的引入對被測電場分布的影響為的引入對被測電場分布的影響為0 00q1.1.2 電場強度電場強度 (Electric Field Intensity) 定義：定義： 電場中，電場中，單位電荷單位電荷所受所受電場力電場力的大小就是這一點電場強的大小就是這一點電場強度的大小。度的大小。000qFElimqV/m (N/C),(zyxEE與試驗電荷與試驗電荷 的大小無關(guān)的大小無關(guān)0q1.1.2 電場強度電場強度 (Electric Field Intensity) a) a) 點電荷產(chǎn)生的電場強度點電荷產(chǎn)生的電場強度r

4、tperqqFrE204)(V/mV/m根據(jù)庫侖定律和電場強度的定義根據(jù)庫侖定律和電場強度的定義1) 點電荷位于坐標原點：點電荷位于坐標原點：4)(20rrrrrrqqFrEtp304) (rrrrqReRq204V/mV/m b) nb) n個點電荷產(chǎn)生的電場強度個點電荷產(chǎn)生的電場強度 ( (注意注意: :矢量疊加矢量疊加) )kNkkkkkNkkkeRqrrrrrrqrE1201204141)(V/m2) 點電荷不位于坐標原點：點電荷不位于坐標原點：1.1.2 電場強度電場強度 (Electric Field Intensity) 1.1.2 電場強度電場強度 (Electric Fiel

5、d Intensity) c) c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度) (41)(30rdqrrrrrEd體電荷分布體電荷分布) (dVrdqRveRdvr20) (41取電荷元取電荷元dq點電荷點電荷EdEdEdqrrrrrEV3041)(1.1.2 電場強度電場強度 (Electric Field Intensity) 面電荷分布面電荷分布RseR)dsr(r)E2041)dsr(dq線電荷分布線電荷分布RleR)dlr(r)E2041)dlr(dq例例 真空中有長為真空中有長為L L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為 , ,試求試求P P

6、點的電場。點的電場。選擇合適坐標系選擇合適坐標系選擇電荷元選擇電荷元Ed積分，得積分，得E)(4),(22yxdxyxdEodEyxxdE22xdEyxydE22y)yL1yL1(4dxyxx)yx(4E221222o22LL22o21x)yLLyLL(4dxyxy)yx(4E22112222o22LL22o21y,時當(dāng)21LLLiEjEyExyp)( (直角坐標直角坐標) )jy02zzeEeEeEzE),( (圓柱坐標圓柱坐標) )e021.1.3 電位電位 (Potential)1). 靜電場中，電荷移動，電場所作的功與該電荷移動靜電場中，電荷移動，電場所作的功與該電荷移動路徑無關(guān)，僅與

7、移動前后的位置有關(guān)。路徑無關(guān)，僅與移動前后的位置有關(guān)。2). 靜電場是無旋場（保守場）靜電場是無旋場（保守場）QPll dEl dEW0ll dEW0qPQPRQRRl d0ll dE即：即：0E 靜電場環(huán)路定律靜電場環(huán)路定律q電位的定義和物理意義電位的定義和物理意義1. 電壓：電壓：QPPQl dEU定義：定義：靜電場中兩點之間的電壓，等于由一點至另靜電場中兩點之間的電壓，等于由一點至另一點移動單位正電荷，電場力所做的功。一點移動單位正電荷，電場力所做的功。2. 電位：電位：0E0EQPPQl dEUQPQQPPl dE若若0Q則：則：QPPl dEQ Q：參考點：參考點參考點參考點Q的選擇

8、的選擇原則：原則：1. 場中任意兩點之間的電壓與場中任意兩點之間的電壓與Q位置無關(guān)位置無關(guān)2. 同一問題，選一個參考點同一問題，選一個參考點3. 盡可能使盡可能使的表達式簡單，且有意義的表達式簡單，且有意義習(xí)慣：習(xí)慣：1. 電荷分布有限：取無窮遠處電荷分布有限：取無窮遠處 2. 電荷分布無限：取有限位置電荷分布無限：取有限位置3. 工程：取大地工程：取大地 接地接地 例例 點電荷產(chǎn)生的電場點電荷產(chǎn)生的電場Cr4q0QPQPQPPRqRqRdRql dE002044402041RRqE常數(shù)常數(shù)C00rC0rrq040C 表達式無意義表達式無意義0RrR4qr4q00R4qC0電位和電場強度的關(guān)系

9、電位和電場強度的關(guān)系EQPPl dE1. 在靜電場中，任意一點的電場強度的方向總是沿著電在靜電場中，任意一點的電場強度的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。物理意義：物理意義：2. 靜電場中，移動單位試驗正電荷，電場力做正功所靜電場中，移動單位試驗正電荷，電場力做正功所需能量由其位能的減少量提供。需能量由其位能的減少量提供。3. 線性媒質(zhì)中，在同一參考點下，電位可以疊加。線性媒質(zhì)中，在同一參考點下，電位可以疊加。1.1.4 電力線與等位面電力線與等位面E0 ldE 線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強度線：曲線上每一點切線

10、方向應(yīng)與該點電場強度 的方向一的方向一致，致，E故電力線微分方程：故電力線微分方程：dzEdyEdxEzyx在直角坐標系中：在直角坐標系中： 在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，Czyx),(等位線等位線( (面面) )方程方程: : 線起始于正電荷，終止線起始于正電荷，終止于負電荷，不能相交；于負電荷，不能相交； 線愈密處，場強愈大。線愈密處，場強愈大。 EE相鄰兩等位面之間的電位差應(yīng)相鄰兩等位面之間的電位差應(yīng)相等相等，這樣才能表示出電場的，這樣才能表示出電場的強弱。等位面愈密處，場強愈大。強弱。等位面愈密處，場強愈大。 點電荷與接地導(dǎo)體的電場點電

11、荷與接地導(dǎo)體的電場均勻場中放進了導(dǎo)體球的電場均勻場中放進了導(dǎo)體球的電場點電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電點電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場場電偶極子的電場分析：電偶極子的電場分析：圖圖 電偶極子電偶極子一對帶等量但極性相反且非?？拷碾姾梢粚У攘康珮O性相反且非常靠近的電荷定義：定義：特征物理量：特征物理量：qd相對位置相對位置定義：定義：kqdp 電偶極距電偶極距其中，其中，qqk:r1r2在球坐標系中：在球坐標系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q202044reprqdcosrp)sincos2(430eerqErp代入上式，得代入上式，得cos2drr2用二項式展開，又有用二項式展

12、開，又有，得，得dr cos2drr1圖圖 電偶極子的等位線和電力線電偶極子的等位線和電力線總結(jié)總結(jié)1222102141eRqqF000qFElimqV/m (N/C)EQPPl dErq0402041RRqE點電荷在真空中的靜電場：點電荷在真空中的靜電場：作業(yè)：作業(yè)：1. 1. 真空中，有兩個同號點電荷：真空中，有兩個同號點電荷： 和和 ，它們之，它們之間的距離為間的距離為d。試分析在其連線上，哪一點的電場強度為零？。試分析在其連線上，哪一點的電場強度為零？哪一點上由該兩點電荷所引起的電場強度相同？哪一點上由該兩點電荷所引起的電場強度相同？qq 1qq322. 2. 書書P13. 1-1-3

13、P13. 1-1-31.2 高斯定理高斯定理1.2.2 靜電場中的電介質(zhì)靜電場中的電介質(zhì)1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1.2.4 電介質(zhì)存在時的高斯定律電介質(zhì)存在時的高斯定律1.2.1 靜電場中的導(dǎo)體靜電場中的導(dǎo)體1.2.5 高斯定律的應(yīng)用高斯定律的應(yīng)用作業(yè)：作業(yè)：P19. 1-2-3 P67. 1-3，1-71.2.1 靜電場中的導(dǎo)體靜電場中的導(dǎo)體 (conductor)導(dǎo)體導(dǎo)體：可以導(dǎo)電的物質(zhì)，含有大量：可以導(dǎo)電的物質(zhì)，含有大量自由電子自由電子的物質(zhì)。的物質(zhì)。1 1） 導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；2 2） 導(dǎo)體是一個等勢體，導(dǎo)體表面是一導(dǎo)體是一個等勢體，導(dǎo)體表面是一等

14、勢面；等勢面；3 3） 電力線垂直于導(dǎo)體表面；電力線垂直于導(dǎo)體表面；4 4） 導(dǎo)體如果帶電，則電荷一定分布在導(dǎo)體如果帶電，則電荷一定分布在導(dǎo)體表面。導(dǎo)體表面。靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)：靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)： 電介質(zhì)電介質(zhì)：廣義指所有電工材料，但一般指：廣義指所有電工材料，但一般指絕緣體絕緣體(Insulated)(Insulated)。 絕緣體絕緣體：其中的自由電子被束縛：其中的自由電子被束縛( (束縛電荷束縛電荷) )，電場作用下帶，電場作用下帶 電粒子作微小移動或轉(zhuǎn)動，但不能離開分子。電粒子作微小移動或轉(zhuǎn)動，但不能離開分子。均勻均勻(Uniform)(Uniform)：媒質(zhì)特性不隨空間坐標：媒質(zhì)特

15、性不隨空間坐標（x,y,z）而變化；而變化；線性線性(Linear)(Linear)：媒質(zhì)的特性不隨電場量值而變化；：媒質(zhì)的特性不隨電場量值而變化；各向同性各向同性(Isotropic)(Isotropic)：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而變化。：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而變化。1.2.2 靜電場中的靜電場中的電介質(zhì)電介質(zhì) (Dielectric)電介質(zhì)特性：電介質(zhì)特性：無極性分子極性分子 電介質(zhì)在外電場電介質(zhì)在外電場E作作用下發(fā)生用下發(fā)生極化極化，形成，形成有向排列的有向排列的電偶極矩電偶極矩。表示電介質(zhì)的極化表示電介質(zhì)的極化程度程度, ,極化強度極化強度P P ：VpPVlim0zeqdp 電

16、偶極子電偶極子電偶極矩電偶極矩圖圖 電偶極子的等位線和電力線電偶極子的等位線和電力線 實驗結(jié)果表明，實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EPe0 電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率, ,無量綱量。無量綱量。e極化強度極化強度PPp極化電荷體密度極化電荷體密度npeP極化電荷面密度極化電荷面密度(1) (1) 二者共同作用在真空中產(chǎn)生的電位二者共同作用在真空中產(chǎn)生的電位: :dSR)r (dVR)r ()r (SpVp004141(2) (2) 兩部分極化電荷的總和兩部分極化電荷的總和0VSndSePdVP電介質(zhì)極化后產(chǎn)生的電場可以電介質(zhì)極化后產(chǎn)生的電場可以等效等效成

17、某種分布的成某種分布的極化電荷極化電荷在在真空中真空中產(chǎn)生的電場。產(chǎn)生的電場。極化電荷分布極化電荷分布SSdE多個點電荷、分布電荷存在時：多個點電荷、分布電荷存在時：00qdqqSdEqkSSESdE稱作稱作E E 通量通量SrrdSeerq204SdSrq2040q在真空中，點電荷在真空中，點電荷q產(chǎn)生的靜電場產(chǎn)生的靜電場取球面取球面S作為積分面作為積分面1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律0 E0PSqqSdE極化電荷極化電荷: :SVVPPSdPdVPdVq0SVSSdPdVSdEqSdPES)(0（自由電荷）（自由電荷）自由電荷自由電荷極化電荷極化電荷1.2.4 有電介質(zhì)存在時

18、的高斯定律有電介質(zhì)存在時的高斯定律定義定義電位移矢量（電位移矢量（ DisplacementDisplacement）PED0PED0qdSdDS高斯通量定理高斯通量定理 DEP0EEE)(EEr00001qSdPES)(0(1) 比較真空和介質(zhì)存在時：比較真空和介質(zhì)存在時：0qSdESqqSdErS0結(jié)論：結(jié)論：對無限大介質(zhì)均勻和真空比較，對無限大介質(zhì)均勻和真空比較，E小了小了 倍；或，真空中所有倍；或，真空中所有公式的公式的 換為換為 即可。即可。r01.2.5 高斯定律高斯定律的應(yīng)用的應(yīng)用(2) 求解具有對稱場的電場強度求解具有對稱場的電場強度1）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯

19、面，使作為高斯面，使 容易積分。容易積分。SdD2) 在高斯面上在高斯面上D的數(shù)值為常數(shù)，可以提在積分號外。的數(shù)值為常數(shù)，可以提在積分號外。3) 一般對稱面：球面、無限大平面、無限長線、無限長一般對稱面：球面、無限大平面、無限長線、無限長 圓柱分布的電場。圓柱分布的電場。 球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。 軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。試問：試問：能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場? ?( (a a) )

20、( (b b) )( (c c) )例例 求電荷線密度為求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。的無限長均勻帶電體的電場。解：解：電場分布特點：電場分布特點： D 線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)； 等等 r 處處D 值相等；值相等；取取長為長為L L，半徑為，半徑為 r r 的封閉圓柱面為高斯面。的封閉圓柱面為高斯面。由由 , ,得得: :qSdDSLrLD12rerD21rerDE00112122332211SSSSSSdDSdDSdDdDL1.3 靜電場的基本方程靜電場的基本方程 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件1.3.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程1.

21、3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件ED0 E D0lldEqSdDS1.3.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程微分：微分：積分：積分：輔助方程：輔助方程：表示表示“區(qū)域區(qū)域”的關(guān)系的關(guān)系表示表示“點點”的關(guān)系的關(guān)系均勻各向同性的線性媒質(zhì)均勻各向同性的線性媒質(zhì)意義：意義： (1) 采用采用微分微分形式判定一個矢量可否表示成形式判定一個矢量可否表示成 ； (2) 采用采用積分積分形式計算對稱形式的電場分布。形式計算對稱形式的電場分布。EzyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyA)()()(0例例 已知已知 它能否表示個靜電場？它能否表示個靜電場？，

22、zyxezeyexA543能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場靜電場? ?1.3.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程對應(yīng)靜電場的基本方程對應(yīng)靜電場的基本方程 ，矢量，矢量 可以表示一個靜電場。可以表示一個靜電場。0 EA1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件t 1t2EE(1) (1) 電場強度電場強度 的銜接條件的銜接條件E結(jié)論：結(jié)論：分界面兩側(cè)分界面兩側(cè) 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。E0l dE很小很小12, 0ll01211lElEtt0 lnnDD12SSDSDn2n1(2) (2) 位移位移 的銜接條件的銜接條件D結(jié)論

23、：結(jié)論：分界面兩側(cè)的分界面兩側(cè)的 的法向分量不連續(xù)。的法向分量不連續(xù)。 當(dāng)當(dāng) 時，時， 的法向分量連續(xù)。的法向分量連續(xù)。0DDqSdD1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時：當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時： 0EDt2n2ttnnEEDD2112結(jié)論：結(jié)論：（1 1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；法向分量；（2 2）導(dǎo)體表面上任一點的）導(dǎo)體表面上任一點的 就等于該點的自由電荷密度就等于該點的自由電荷密度 。D00折射定律：折射定律： 222111n2n1cosEcosE

24、DD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan 折射定律折射定律在分界面上不存在在分界面上不存在 時，即時，即 ：0作用：作用：可以定性地繪制電介質(zhì)兩邊電力線的走向?？梢远ㄐ缘乩L制電介質(zhì)兩邊電力線的走向。各向同性的線性分片均勻介質(zhì)交界面各向同性的線性分片均勻介質(zhì)交界面0前提前提0)22(limlim210212121dEdEldEnnd21結(jié)論：結(jié)論：在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。(3) (3) 用電位函數(shù)用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件表示分界面上的銜接條件nEDnEDnnnn2222211111nn2211結(jié)論：結(jié)論：一般情況下一般情況下 ,

25、 ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。)0(設(shè)點設(shè)點1 1與點與點2 2間距為間距為d，d0，則：則：1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件解：解：忽略邊緣效應(yīng)忽略邊緣效應(yīng)x1221021eddUEx1221012eddUExeEE1121x22110eSSq2211EE02211UdEdE圖（圖（a a）02211qSS2211圖（圖（b b）（a a）（b b）例例 如圖如圖(a)(a)與圖與圖(b)(b)所示平行板電容器所示平行板電容器, ,已知已知 和和 , ,圖圖(a)(a)已知極板間電壓已知極板間電壓U0 , , 圖圖(b)(b)已知極板上總電荷已知極板上總電荷

26、 , ,試分別求其中試分別求其中的電場強度。的電場強度。12121,S,S,d,d0q21. 如圖所示，如圖所示， 一無限長圓柱電纜，內(nèi)外圓柱之間的電位差為一無限長圓柱電纜，內(nèi)外圓柱之間的電位差為U，內(nèi)外半徑分別為內(nèi)外半徑分別為R1、R2，其間填充介電常數(shù)分別為，其間填充介電常數(shù)分別為1、2的電的電介質(zhì)，所占圓心角分別為介質(zhì)，所占圓心角分別為、2-，求該同軸電纜內(nèi)外圓柱之，求該同軸電纜內(nèi)外圓柱之間的電場分布。間的電場分布。課后作業(yè)課后作業(yè)R1R22-2. 書書P24. 1-3-3 1.4 靜電場邊值問題靜電場邊值問題 唯一性定理唯一性定理1.4.1 泊松泊松(Poisson)方程與拉普拉斯方程

27、與拉普拉斯(Laplace)方程方程1.4.2 靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題1.4.3 靜電場的唯一性定理靜電場的唯一性定理作業(yè)：作業(yè)：P30. 1-4-3 (2) (3) 1.4.1 泊松泊松(Poisson)方程方程 與拉普拉斯與拉普拉斯(Laplace)方程方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點是推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程靜電場的基本方程：2泊松方程泊松方程常數(shù)EDEEE特別注意：特別注意：泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、 線性的均勻媒質(zhì)。線性的均勻媒質(zhì)。時當(dāng) 002拉普拉斯方程拉普拉斯方程22222222zyx拉普拉斯算子拉普拉

28、斯算子 D0EE參考點電位 有限值rrlim一、二類邊界條件的線性組合，即)()(sfn3S已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù))(sfn2S已知場域邊界上各點電位值)(sf1S第一類第一類邊界條件邊界條件第二類第二類邊界條件邊界條件第三類第三類邊界條件邊界條件022自然自然邊界條件邊界條件場域場域邊界條件邊界條件分界面分界面銜接條件銜接條件nn221121邊值問題微分方程邊界條件1.4.2 靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra邊界條件邊界條件: :43221021)( 16)(CrCrCrCrr例例 設(shè)有電荷均勻

29、分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。及電場。解解: : 采用球坐標系采用球坐標系, ,分區(qū)域建立方程分區(qū)域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值01 r參考點電位參考點電位0r2解得解得 032023413aC2aC0C0C,電場強度電場強度（球坐標梯度公式）：（球坐標梯度公式）：arerer)r (Err030111raeraer)r (Err2022223電位：電位：rar3arar0ra36r0322201)()()(2) (2)

30、 唯一性定理的重要意義：唯一性定理的重要意義： 唯一性定理為靜電場問題的多種解法唯一性定理為靜電場問題的多種解法( (試探解、數(shù)值解、試探解、數(shù)值解、 解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。1.4.3 唯一性定理唯一性定理(Uniqueness Theorem)(1) (1) 證明方法：反證法證明方法：反證法 可判斷靜電場問題的解的正確性可判斷靜電場問題的解的正確性在靜電場中，滿足給定在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程（泊松方邊界條件的電位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）程或拉普拉斯方程）的解是的解是唯一唯一的。稱之為的。稱之為靜電場的唯一靜電場的唯一性定理

31、性定理。課堂練習(xí)、作業(yè)課堂練習(xí)、作業(yè)例：例：利用唯一性定理判定點電荷偏心位于金屬球殼內(nèi)，利用唯一性定理判定點電荷偏心位于金屬球殼內(nèi)，場分布特點？場分布特點？作業(yè)：作業(yè)：P29. 1-4-2Q Q1.5.1 鏡像法鏡像法邊值問題（導(dǎo)體上部）：邊值問題（導(dǎo)體上部）：(1) (1) 點電荷對無限大平面導(dǎo)體的鏡像點電荷對無限大平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：上半場域邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠處）（導(dǎo)板及無窮遠處）（除（除 q 所在點外的區(qū)域）所在點外的區(qū)域） （導(dǎo)體板表面）（導(dǎo)體板表面）En002En0r4qr4q0002（除（除 q 所在點外的區(qū)域）所在點外的區(qū)域） （導(dǎo)板及無窮遠處）（導(dǎo)板及無窮遠處

32、） （導(dǎo)體板表面）（導(dǎo)體板表面） 鏡像法鏡像法: : 用用虛設(shè)的電荷虛設(shè)的電荷( (鏡像電荷，虛擬電荷鏡像電荷，虛擬電荷) )分布等效替代媒質(zhì)分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布分界面上復(fù)雜電荷分布, ,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。的解答滿足唯一性定理。特別警示：特別警示：有效區(qū)域的問題。有效區(qū)域的問題。同類的同類的間接間接方法：方法：電軸法電軸法，虛擬電荷法虛擬電荷法，等等。，等等。虛擬電荷虛擬電荷( (鏡像電荷鏡像電荷) )是唯一嗎？是唯一嗎？導(dǎo)體導(dǎo)體例：例：求空氣中一個點電荷求空氣中一個點電荷+q在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。在地面引

33、起的感應(yīng)電荷分布情況。D求電場分布求電場分布（方向指向地面）（方向指向地面）整個地面上感應(yīng)電荷的總量為：整個地面上感應(yīng)電荷的總量為：EEEcos4220rqE 23220 xh2qh/)(2/3220)(2xhqhExdxxhqhdSS2)(202/32202122xh1qh/)(q解解: :點電荷在地面引起的點電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布感應(yīng)電荷的分布鏡像電荷電量鏡像電荷電量(2) (2) 點電荷對導(dǎo)體球面鏡像點電荷對導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位設(shè)在點電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布。及電場分布。邊值問題邊值問題：（除（除q點外的導(dǎo)體

34、球外空間點外的導(dǎo)體球外空間) )000r2導(dǎo)球面確定鏡像電荷的具體確定鏡像電荷的具體位置位置和和帶電量帶電量0bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0r4qr4q2010pcos2cos2222221RbRbrRdRdr0bqdq0RdqRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2設(shè)鏡像電荷設(shè)鏡像電荷 位于球內(nèi)，球面上任一點的電位為位于球內(nèi)，球面上任一點的電位為0 0，有：，有：q對任意對任意成立成立由由疊加原理疊加原理，接地導(dǎo)體，接地導(dǎo)體球外球外任一點任一點P P的電位與電場分別為的電位與電場分別為2010pr4qr4q)(210r1dRr14q212202104

35、4rrPedrqRerqE接地導(dǎo)體球外的電場計算接地導(dǎo)體球外的電場計算點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖 鏡像電荷鏡像電荷不能不能放在當(dāng)前求解的場域放在當(dāng)前求解的場域內(nèi)。內(nèi)。 鏡像電荷等于鏡像電荷等于負負的感應(yīng)電荷總量；的感應(yīng)電荷總量；00002SsrSdD常數(shù)球面不接地金屬球（絕緣金屬球）附近放置一點電荷不接地金屬球（絕緣金屬球）附近放置一點電荷q q時的電場時的電場分布。分布。 邊值問題：邊值問題：( ( 除除 q 點外的導(dǎo)體球外空間）點外的導(dǎo)體球外空間） ( ( S 為球面面積為球面面積 ) )在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡

36、像電荷的個數(shù)、大小與位置q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b1 1）感應(yīng)電荷有兩種極性，在球內(nèi)起碼兩個鏡像電荷。）感應(yīng)電荷有兩種極性，在球內(nèi)起碼兩個鏡像電荷。2 2） ：正負鏡像電荷絕對值相等。：正負鏡像電荷絕對值相等。0SSdD4 4） ：正鏡像電荷只能位于球心。：正鏡像電荷只能位于球心。 0constS3 3）負鏡像電荷參考接地球的方式放置，取值，將）負鏡像電荷參考接地球的方式放置，取值，將 拉到拉到0。S任一點電位及電場強度為：任一點電位及電場強度為：)1(4)(41210210drRdrRrqrqrqrq)edrRedrRer(qE

37、rrr2122212014點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖球表面一點的電位和球表面一點的電位和電場強度呢？電場強度呢？qdRqdbqdRb2q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數(shù)，大試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置小與位置? ?課堂練習(xí)課堂練習(xí)RbdqqRbqdq不接地導(dǎo)體球，半徑為不接地導(dǎo)體球，半徑為R ，球內(nèi)偏心，球內(nèi)偏心b b處放置一點電荷處放置一點電荷q ，求，求球內(nèi)外的電場分布情況。球內(nèi)外的電場分布情況。RbdqqRbqRbqq

38、q RbdqqRbqq bRdqbRq2qq （3 3）點電荷對不同介質(zhì)分界面的鏡像）點電荷對不同介質(zhì)分界面的鏡像ttEE21nnDD21邊值問題：邊值問題：012022( (下半空間下半空間) )( (除除 q q點外的上半空間點外的上半空間) ) qqqqqq211sin4 sin4sin4cos4 cos4cos4222222121rqrqrqrqrqrqq q2121q2 q212和和q2qqqqq1221221 即即 中的電場是由中的電場是由 與與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間， 是等效替代極化電荷的影響。是等效替代極化電荷的影響。 q qq1 中的電場

39、是由中的電場是由 決定，其有效區(qū)在下半空間，決定，其有效區(qū)在下半空間， 是等效是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。替代自由電荷與極化電荷的作用。 2 q q點電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖點電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖作業(yè)：作業(yè)：如圖所示，求兩點如圖所示，求兩點電荷間的作用力大小。電荷間的作用力大小。鏡像法小結(jié)鏡像法小結(jié) (1) (1) 鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；(2) (2) 鏡像法的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，鏡像法的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；(3) (3)

40、 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置；鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)，大小及位置； (4) (4) 應(yīng)用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求場域應(yīng)用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。課外閱讀及作業(yè)課外閱讀及作業(yè)一種數(shù)值計算方法一種數(shù)值計算方法 模擬電荷法原理及其應(yīng)用模擬電荷法原理及其應(yīng)用要求：要求：寫報告，記成績，寫報告，記成績，2 2周后交。周后交。電軸法（自學(xué)）電軸法（自學(xué)）邊值問題：邊值問題： （導(dǎo)線以外的空間）（導(dǎo)線以外的空間）02SSdD電荷分布不均勻常數(shù)導(dǎo)體,ASSdD電荷分布

41、不均勻常數(shù)導(dǎo)體,B長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線能否用高斯定理求解？能否用高斯定理求解？(1) (1) 待解決問題待解決問題 (2) (2) 兩根細導(dǎo)線產(chǎn)生的電場兩根細導(dǎo)線產(chǎn)生的電場Cln2Cln2Cln2d212021P2202110Q011以以y y軸為參考點軸為參考點, C=0, C=0, , 則：則：22220120Pybxybx22)()(lnln當(dāng)當(dāng)K K取不同數(shù)值時取不同數(shù)值時, ,就得到一族偏心圓。就得到一族偏心圓。常數(shù)令：P22222Kybxybx)()(hh兩根細導(dǎo)線的電場計算pbbyxo2a a、h h、b b三者之間的關(guān)系滿足三者之間的關(guān)系滿足 222222222hb1K1Kb

42、1KbK2ba)()(2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位線方程為：等位線方程為：12 ,0, )11(222KbKabKKh圓心坐標圓心坐標圓半徑圓半徑222hba根據(jù)根據(jù) 及及E線的微分方程線的微分方程 ， 得得E線方程線方程為為 xyEEdxdy4Kb2Kyx212212)(E兩細導(dǎo)線的場圖兩細導(dǎo)線的場圖 若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。 若在任一等位面上放一無厚若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？(3) (3) 電軸法實施電軸法實施

43、例例 試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。22:,)ahba確定電軸位置建立坐標系120210ln2)11(2:)pPeeEb21位圓柱導(dǎo)線間的電場與電( ( 以以 軸為電位為參考點軸為電位為參考點 ) )y 用置于電軸上的等效線電荷用置于電軸上的等效線電荷, ,來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷, ,從而從而求得電場的方法求得電場的方法, ,稱為電軸法。稱為電軸法。解：解： 平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計算平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計算 例例 已知兩根不同半徑已知兩根不同半徑, ,相互平行相互平行, ,軸線距

44、離為軸線距離為d d 的帶電長直圓柱的帶電長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。導(dǎo)體。試決定電軸位置。21212222221212,:hhdhhbahbahb確定解注意：注意：1 1）參考電位的位置；）參考電位的位置；2 2）適用區(qū)域。）適用區(qū)域。例例 試確定圖示偏心電纜的試確定圖示偏心電纜的電軸位置電軸位置。21122222222121h ,h ,bdhhbahbah 解：解：確定確定不同半徑傳輸線的電軸位置不同半徑傳輸線的電軸位置偏心電纜電軸位置偏心電纜電軸位置 例例 已知一對半徑為已知一對半徑為a, ,相距為相距為d的長直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為的長直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為 ，試求圓柱導(dǎo)體間電

45、位的分布。試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。 0U)()(ln)()(lnahbahb2ahbahb2U000)()(lnahbahb2U200:UBA0解出由22a2db)(解得解得hhdahb222:解a) 確定電軸的位置確定電軸的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbUPc) 任一點電位任一點電位b) 計算線電荷密度計算線電荷密度1.6 電容和靜電能量電容和靜電能量1.6.2 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量1.6.1 電容電容(Capacitance)1.6.1 單、雙電極系統(tǒng)的電容單、雙電極系統(tǒng)的電容計算方法：計算方法：UQC 意義意義: : (1) 架起電路、電磁

46、場兩個學(xué)科的橋梁；架起電路、電磁場兩個學(xué)科的橋梁； (2) 電路可以用電路可以用R R、L L、C C網(wǎng)絡(luò)來描述。網(wǎng)絡(luò)來描述。與兩導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置、導(dǎo)體間與兩導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置、導(dǎo)體間的介質(zhì)有關(guān)，與帶電情況無關(guān)。的介質(zhì)有關(guān)，與帶電情況無關(guān)。;UQCl dEUEQ(1);UQCSdDQDEU(2)球形電容器球形電容器rerqE204ababqbaqEdrUba004)11(4abab4UqC0aC04,b( (孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容) )球形電容器的電容：球形電容器的電容：QC 孤立導(dǎo)體的電容：孤立導(dǎo)體的電容：作業(yè)：作業(yè)： 如圖所示，如圖所示， 一無限長圓柱電纜，內(nèi)外

47、圓柱之間的電位一無限長圓柱電纜，內(nèi)外圓柱之間的電位差為差為U，內(nèi)外半徑分別為，內(nèi)外半徑分別為R1、R2，其間填充介電常數(shù)分別為，其間填充介電常數(shù)分別為1、2的電介質(zhì)，所占圓心角分別為的電介質(zhì)，所占圓心角分別為、2-，求該同軸電纜單位長，求該同軸電纜單位長度內(nèi)外圓柱之間的電容。度內(nèi)外圓柱之間的電容。課堂練習(xí)與課后作業(yè)課堂練習(xí)與課后作業(yè)R1R22-練習(xí)：練習(xí)：求內(nèi)外半徑分別為求內(nèi)外半徑分別為a、b的無線長圓柱型電容器之間的無線長圓柱型電容器之間單位長度的電容。單位長度的電容。1.6.2 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量靜電能量是在電場的建立過程中，由外力克服靜電力作功轉(zhuǎn)靜電能量是在電場

48、的建立過程中，由外力克服靜電力作功轉(zhuǎn)化而來的?；鴣淼?。(1)(1) 電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；(2) (2) 建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。(3) (3) 電場的建立與充電過程無關(guān)電場的建立與充電過程無關(guān), ,導(dǎo)體上電荷與電位的導(dǎo)體上電荷與電位的 最終值為最終值為q 和和 , ,充電過程中，充電過程中，q 與與 的增長比例的增長比例 為為m， 。10m假設(shè)假設(shè): :(1) 體電荷體電荷: :VedV21WdqmdmmqdmqddA)()(SedSW21LedlW21nKKKeqW121(2) 面電荷面電荷: :(3)

49、 線電荷線電荷: :(4) 帶電導(dǎo)體帶電導(dǎo)體: :qedqW21電荷積分式電荷積分式dqmdmdqdqmdmdAdWme211010靜電能量的分布及能量密度靜電能量的分布及能量密度VSedSdVW2121VSSdDdVD2121VedVEDW21靜電能量靜電能量推導(dǎo)能量密度用圖推導(dǎo)能量密度用圖EDwe21能量密度能量密度結(jié)論：結(jié)論：凡是凡是E不為零的空間都儲存著靜電能量。不為零的空間都儲存著靜電能量。VeVdVwdVED21電場積分式電場積分式例例 試求平行板電容器中存儲的能量。試求平行板電容器中存儲的能量。+ + U - -dSDESddVEDdVEDWVVe212121 VedVEDW21

50、EDdUE0 UDSUSUQCCQCUQUWe22121221.7.1 數(shù)值計算方法的引入數(shù)值計算方法的引入例例 一無限長的鋁一無限長的鋁電解槽，截面如圖電解槽，截面如圖所示，槽側(cè)壁與底所示，槽側(cè)壁與底面的電位均為面的電位均為0 0，頂，頂蓋與槽壁相互絕緣，蓋與槽壁相互絕緣，頂蓋的電位為頂蓋的電位為100V100V，槽內(nèi)無電荷分布，槽內(nèi)無電荷分布，求槽內(nèi)電場分布情求槽內(nèi)電場分布情況。況。絕緣絕緣絕緣絕緣100V000求解思路求解思路選擇直角坐標系：選擇直角坐標系： (x,y)絕緣絕緣絕緣絕緣U1=100VU2=0U3=0U4=0 xzy平行平面場平行平面場：求解方法求解方法rdS41. 直接法

51、直接法2. 高斯法高斯法3. Poison法法4. 鏡像法鏡像法qSdDU1=100VU2=0U4=0U3=0A直直觀觀近近似似解解?)(41?)(21?)(2143213241UUUUUUUUAAA近似解的理論基礎(chǔ)？近似解的理論基礎(chǔ)？唯一性定理：唯一性定理：只要泛定方程和邊界條件相同，解即只要泛定方程和邊界條件相同，解即相同，與所采用的方法無關(guān)相同，與所采用的方法無關(guān)。所采用的其它方法，就是所采用的其它方法，就是 計算機數(shù)值解法計算機數(shù)值解法(Numerical Method)數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法 結(jié)合計算結(jié)合計算機技術(shù)，近似機技術(shù)，近似求解場的一種求解場的一種方法。方法?；谖⒎址匠袒?/p>

52、于微分方程： 有限差分法有限差分法 (Finite Differential Method, FDM) ; 有限元有限元(Finite Element Method,FEM); 隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，已用于大量應(yīng)用研究和工程分析；隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，已用于大量應(yīng)用研究和工程分析； 各種電磁場各種電磁場CADCAD商業(yè)化軟件的研發(fā)，產(chǎn)生了重大效益；商業(yè)化軟件的研發(fā)，產(chǎn)生了重大效益； 理論與方法的日益完善，成為一門新興的應(yīng)用學(xué)科。理論與方法的日益完善，成為一門新興的應(yīng)用學(xué)科。基于積分方程：基于積分方程： 模擬電荷法模擬電荷法 (Charge Simulation Method, CSM); 邊界

53、單元法邊界單元法 (Boundary Element Method, BEM); 矩量法矩量法(Moment Method,MM)。研究意義：研究意義：1.7.2 有限差分法（有限差分法（FDM法）法）有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于）是基于差分原理差分原理的一種數(shù)值計算法。的一種數(shù)值計算法?；舅枷牖舅枷耄簩鲇螂x散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上的泊松方程問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上 的差分方程組的問題。的差分方程組的問題。2022002020

54、200020000000000)()()()()()()()()()()()()()21()21()()()(0 dxxfdhxfhxfxxfxfdxfhxfxfdxxdfhxfhxfxxfxdfhxfhxfxfhxfxfhdxhx，差分運算差分運算二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式)(2222sfFyxL二維二維平行平面靜電場平行平面靜電場邊值問題：邊值問題：),(yxF思考討論：思考討論： 邊值問題如何和邊值問題如何和“差分原理差分原理”結(jié)合在一起呢？結(jié)合在一起呢？ 0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)

55、(hxxx2)(3102402222)(0hyyy 2301xx22h2x0)(hyyy2)(420)(2222sfFyxL邊值問題：邊值問題： 2043214Fh)(41243210Fh當(dāng)場域中當(dāng)場域中0)(4143210FDM迭代格式迭代格式0404321迭代求解方法迭代求解方法412)(1,)(, 1)(1,)(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji), 2, 1, 0, 2, 1,( kji， 迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。迭代順序可按先行后列，或先列后行進行。 迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有

56、節(jié)點電位滿足式，直到所有節(jié)點電位滿足 為止。為止。wkjikji)(,)1(,)(41243210Fh迭代過程：迭代過程：) 1( k)(k)(k)(k)(k412)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji超松弛迭代法超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4 ：加速收斂因子：加速收斂因子)(21412)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji Gauss-Seidel迭代迭代 超松弛迭代法超松弛迭代法例例 應(yīng)用應(yīng)用有限差分法

57、有限差分法，計算下列靜電場邊值問題，計算下列靜電場邊值問題的近似解：的近似解：例題分析例題分析100),20( 0), 0 (0)10,() 0 ,(10)y0 200 ( 02222yuyuxuxuxyuxu，0 xy0u0u0u100u10200 xy0u0u0u100uu11 u12 u13 u14 u15u1 u2 u3 u4 u5u6 u7 u8 u9 u10？(1)(1) 劃分網(wǎng)格：劃分網(wǎng)格： 節(jié)點編號、坐標的形成。節(jié)點編號、坐標的形成。例題分析例題分析(2) (2) 對電位未知點賦電位初值：對電位未知點賦電位初值： 隨意，盡可能靠近真實解。隨意，盡可能靠近真實解。 比如本題比如本

58、題u7=2.0，u8=7.5，u9=30。(3)(3) 邊界條件：對已知點賦電位值。邊界條件：對已知點賦電位值。u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0；u5,u10,u15=100。5hu11 u12 u13 u14 u15u1 u2 u3 u4 u5u6 u7 u8 u9 u10？例題分析例題分析5h（4 4） 迭代格式迭代格式: :u7=(u2+u6+u8+u12)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4258419)97(4188417)1()1()()1()1()()1(kkkkkkkuuuuuuu(5) (5) 反復(fù)

59、迭代，直至滿足給定誤差：反復(fù)迭代，直至滿足給定誤差：)(|)1()(給定WuuMaxkikiu11 u12 u13 u14 u15u1 u2 u3 u4 u5u6 u7 u8 u9 u10例題分析例題分析K（迭代次數(shù)）（迭代次數(shù)）u7u8u9027.53011.8757.96926.99221.9927.24626.81231.8127.15626.78941.7897.14526.78651.7867.14326.78661.7867.14326.786對應(yīng)對應(yīng)W=510-5的迭代結(jié)果的迭代結(jié)果u11 u12 u13 u14 u15u1 u2 u3 u4 u5u6 u7 u8 u9 u10對

60、應(yīng)程序介紹對應(yīng)程序介紹%Part 1: Initializing data; Nx=4; Ny=2; Lx=20; Ly=10; Hx=Lx/Nx; Hy=Ly/Ny; Nmax=160; u=zeros(Ny+1,Nx+1);劃分網(wǎng)格；劃分網(wǎng)格；初始化電位初始化電位矩陣矩陣%Part 2: Calculating coordinates for each point and applying loads at boundary;for i=2:Nx u(1,i)=0; u(Ny+1,i)=0;end;for i=1:Ny+1 u(i,1)=0; u(i,Nx+1)=100;end;u11 u