高等數(shù)學(xué)課件：3-1微分中值定理

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3 33 3 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 3 34 4 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3 35 5 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則3 36 6 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式1 1 費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)(Fermat)引理引理000000( )()( )()( )()()0.f xxU xf xxxU xf xf xfx 在在 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義且且在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo). .如如果果對對任任意意的的，都都有有，則則() 或或xyo0 xxyo0 x證證00()(

2、)()xU xf xf x不不失失一一般般性性，假假設(shè)設(shè)對對任任意意的的，都都有有，00()xU xxx則則當(dāng)當(dāng)且且時時，00( )()0f xf xxx 0( )f xx在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則由由極極限限的的保保號號性性, ,00000( )()()()lim0 xxf xf xfxfxxx 00()xU xxx則則當(dāng)當(dāng)且且時時，00( )()0f xf xxx 由由極極限限的的保保號號性性, ,00000( )()()()lim0 xxf xf xfxfxxx 0()0.fx 所所以以，2 2 羅爾羅爾(Rolle(Rolle) )定理定理( )(1) , (2)( , )(3)( )(

3、) ( , )( )0.f xa ba bf af ba bf 設(shè)設(shè)滿滿足足：在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；在在開開區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)；則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得Rolle定Rolle定理理. 幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy ,.xABC在等高的處處有不在等高的處處有不垂直于 軸的切線的垂直于 軸的切線的曲線弧上，至少曲線弧上，至少有一點(diǎn)在該點(diǎn)處有一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線是水平的的切線是水平的C證證( ) , f xa b在在上上連連續(xù)續(xù)，( ) , .f xa bMm則則在在上上必必可可取取得得最最大大值值和和最最小小值值(1)Mm ( )f xM 為為

4、常常數(shù)數(shù)( , )( )0.a bf 則則對對任任意意的的，都都有有(2)Mm ( )( )f af b .最最大大值值和和最最小小值值不不可可能能同同時時在在端端點(diǎn)點(diǎn)處處取取得得( )f aM 不不妨妨設(shè)設(shè)( , )( ).a bfM 則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得( )0.f 由由費(fèi)費(fèi)馬馬引引理理可可知知，注：注：1. 羅爾定理的三個條件，缺一不可羅爾定理的三個條件，缺一不可.例如例如: (0,1(1) ( )10 xxf xx ，不滿足條件不滿足條件(1)(2) ( ) 1,1f xxx ，不滿足條件不滿足條件(2)(3) ( )0,1f xxx ，不滿足條件不滿足條件

5、(3)2. 羅爾定理只是指出了羅爾定理只是指出了 點(diǎn)的存在性，但不能確定點(diǎn)的存在性，但不能確定 它的位置它的位置.例例1 1解解( )sin0, f xx 驗驗證證羅羅爾爾定定理理對對函函數(shù)數(shù)在在上上的的正正確確性性. .( )sin(1)0, (2)(0, )(3)(0)( )0f xxff 滿滿足足：在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；在在開開區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)；(0, )( )0.f 由由羅羅爾爾定定理理，在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得( )cos0.2f 由由，可可得得例例2 255101.xx 證證明明方方程程有有且且僅僅有有一一個個小小于于 的的正正實(shí)實(shí)根根證證, 15)

6、(5 xxxf設(shè)設(shè), 1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx )1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾，得證矛盾，得證.00(0,1)()0 xf x 則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得( )0.f 例例3 3( )(1)(2)(3)( )0f xx xxxfx 設(shè)設(shè)判判斷斷有有

7、幾幾個個實(shí)實(shí)根根. .證證(0)(1)(2)(3)0ffff，11( )0,1(0,1)()0f xf 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，故故存存在在，使使得得；22( )1,2(1,2)()0f xf 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，故故存存在在，使使得得；33( )2,3(2,3)()0f xf 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，故故存存在在，使使得得；( )fx 即即至至少少有有三三個個實(shí)實(shí)根根( )fx 又又是是三三次次多多項項式式，至至多多有有三三個個零零點(diǎn)點(diǎn)，( )fx 恰恰好好有有三三個個實(shí)實(shí)根根. .3 3 拉格朗日拉格朗日 (Lagran

8、ge)(Lagrange)中值定理中值定理( )(1) , (2)( , )( , )( )( )( ).f xa ba ba bf bf afba 設(shè)設(shè)滿滿足足：在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；在在開開區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ， 使使得得 L La ag gr ra an ng ge e中中值值定定理理).()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意( )( )( )().f bf afba 結(jié)結(jié)論論也也可可以以寫寫成成 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCA

9、B線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條條件件中中與與羅羅爾爾定定理理相相差差).()()()(axabafbfafy 弦弦AB方程為方程為,)(ABxf減去弦線減去弦線曲線曲線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線在在ba).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意：注意：拉格朗日中值公式精確地表達(dá)了函數(shù)在某拉格朗日中值公式精確地表達(dá)了函數(shù)在某一區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的導(dǎo)一區(qū)間上的增量

10、與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( , )( )0.a bF 則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得( )( )( )0f bf afba 即即( )( )( )().f bf afba 或或 ).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：增量增量 y的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式( )( , )f xa b在在

11、內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當(dāng)當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè))0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即( )0, f xx在在區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的條條件件，定理定理1 1( )( )0,( ).f xIfxIf x 如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微，且且則則在在區(qū)區(qū)間間 上上，常常數(shù)數(shù)證證1212,()x xIxx 設(shè)設(shè)為為區(qū)區(qū)間間 上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn) 由由

12、拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，得得2121()()( )()f xf xfxx 12,( )x xf xI由由的的任任意意性性可可知知，在在區(qū)區(qū)間間 上上恒恒為為常常數(shù)數(shù). .12(,)x x 0 12()()f xf x例例5 5證證 arcsinarccos, 1,12xxx 證證明明 1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即定理定理2 2( ), ( )( )( )( )( ),.f xg xIfxg xf xg xC xIC如如果果函函數(shù)

13、數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微，且且其其中中 為為常常數(shù)數(shù)證證( )( )( )h xf xg x 令令( )( )( )( )0h xIh xfxg x在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微且且1則則由由定定理理 可可知知，( )( )( ),Ch xf xg xC 存存在在某某個個常常數(shù)數(shù) ，使使得得( )( ).f xg xC即即 4 4 柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理( )( )(1) , (2)( , )(3)Cauchy( )( , )( , )( )( )( ).( )( )( )f xg xa ba bg xa ba bf bf afg bg ag 設(shè)設(shè)及及滿滿足足

14、：在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)；在在開開區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)；在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)處處處處不不為為零零則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ， 使使得得 中中值值定定理理幾何解釋幾何解釋:( ( ),( ),.ABC gfAB在曲線弧上至少有一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線平行于弦作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )Xg xYf xoABCDNM( )g a1( )g( )g x2()g( )g b證證( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )f bf aF xf xf ag xg ag bg a ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF( , )( )0.a bF 則則在在內(nèi)內(nèi)至至少少存

15、存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得XY特別特別( )( )( )( )0( )( )f bf afgg bg a 即即( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( )g xx 當(dāng)當(dāng)， ( )( ),( )1g bg aba g x ( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( )( )( )f bf afba 例例6 6).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為,1 , 0)(),(條件條件上滿足柯西中值定

16、理的上滿足柯西中值定理的在在則則xgxf(0,1) 在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得(1)(0)( )102fff 2( )()xfxx 2( )g xx 設(shè)設(shè)(1)(0)( ),(1)(0)2fffgg ( )2 (1)(0).fff 即即(1)(0)(1)(0)ffgg 例例7 7證證( ) , ( , )0( , )1( )( )( )( )f xa ba baba baf bbf affab 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，求求證證在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為22( )( )( )( )1ffaf bbf aababa

17、b 22( )( )( )( )111xf bf axfxf xbaxbax 即即( )1()xf xxx ( )1( )( )f xxg xxx 令令，0ab ( ), ( ) , ,xg xa b 則則在在上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件( , )a b 在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得( )( )( )( )( )( )bag bg ag 1( )( )( )( ).af bbf affab 即即0( , )0( , )a ba b不不包包含含在在內(nèi)內(nèi)，即即小結(jié)小結(jié)羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理( )g xx)()(bfaf 注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.注：常見的函數(shù)構(gòu)造技巧注：常見的函數(shù)構(gòu)造技巧(1)( , )( )( )a bff 存存在在使使( )( )F xxf x (2)( , )( )( )0a bff 存存在在使