波利亞的怎樣解題表-教學(xué)文案

1、精品文檔波利亞的怎樣解題表陜西師范大學(xué)羅增儒 羅新兵1 喬治波利亞喬治 波利亞（George Polya ,18871985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.在解題方面，是數(shù)學(xué) 啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法 ）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就 和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他 93歲高齡時(shí)，還被ICME（國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席.作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以波利亞”命名的定理或術(shù)語；他與其他數(shù)學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù)變量

2、等書堪稱經(jīng)典；而以 200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集， 在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題（1945年）、數(shù)學(xué)與似真推理（1954年）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962年）三部世界名著上，涉及解題理論”、解題教學(xué)”、教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域.波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過怎樣解題”表來實(shí)現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說法他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找 出可以機(jī)械地用于解決一切問題的萬能方法”，而是希望通過對(duì)于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法

3、或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.他所總結(jié)的模式和方法，包括笛 卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與 類比、考慮相關(guān)輔助問題、對(duì)問題進(jìn)行變形等，都在解題中行之有效尤其有特色的是，他將上述的模式與方 法設(shè)計(jì)在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達(dá)出來，使得更有啟發(fā)意義著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士 蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說過：每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”（1952年2月2日）.2 怎樣解題表波利亞是圍繞怎樣解題”、怎樣學(xué)會(huì)解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對(duì)問題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同

4、時(shí)也表明其對(duì) 問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上波利亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的 怎樣解題表”，正是一部 啟發(fā)法小詞典”.2.1怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清冋題第一，你必須弄清問題未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能 ？要確定未知，條件是否充 分?或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào).把條件的各個(gè)部分分開你能否把它們寫下來？擬定計(jì)劃第二，找出已知 數(shù)與未知 數(shù)之間的 聯(lián)系如果 找不出直 接的聯(lián)系，你可能不 得不考慮 輔助問題.你應(yīng)該最 終得出一 個(gè)求解的你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題

5、 ？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素 ？你能不能重新敘述這個(gè)問題 ？你能不能用不冋的方法重新敘述它？回到定義去.如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題 ？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這 個(gè)問題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分.這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度 ？它會(huì)怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出

6、某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新計(jì)劃數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件 ？你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？實(shí)現(xiàn)計(jì)劃第三，實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的 ？回 顧第四，驗(yàn)算所得到的解.你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證 ?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來，栩栩如生.2.2怎

7、樣解題”表的實(shí)踐例1給定正四棱臺(tái)的高 h,上底的一條邊長(zhǎng) a和下底的一條邊長(zhǎng) b，求正四棱臺(tái)的體積 F （學(xué)生已學(xué) 過棱柱、棱錐的體積）【講解】第一，弄清問題.問題1你要求解的是什么 ？要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征性地表示出來（圖1）.問題2 .你有些什么？一方面是題目條件中給出的 3個(gè)已知量a、b、h ;另一方面是已學(xué)過棱柱、棱錐的體積公式，并積累有 求體積公式的初步經(jīng)驗(yàn).把已知的三個(gè)量添到圖示處（圖2），就得到新添的三個(gè)點(diǎn) a、b、h;它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來.第二，擬定計(jì)劃.問題3 怎樣才能求得F?由于我們

8、已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)（棱臺(tái)的定義）告訴我們，棱臺(tái)是 用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐 ”從一個(gè)大棱錐中截去一個(gè)小棱錐所生成的. 如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積 B和A, 我們就能求出棱臺(tái)的體積F = EA.我們?cè)趫D示上引進(jìn)兩個(gè)新的點(diǎn)A和B，用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來，以此表示這三個(gè)量之間的聯(lián)系 （圖3,即式的幾何圖示）.這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B .問題4 .怎樣才能求得 A與B?依據(jù)棱錐的體積公式（V = Sh ），底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個(gè)棱錐的高.并 且，一旦求出小棱錐的高 X,大棱錐的高也就求出，為x + h.我們?cè)趫D示上引進(jìn)一個(gè)新的點(diǎn)x,用斜線把A

9、與x、a連結(jié)起來，表示 A能由a、x得出，A = a 2x;類似地，用斜線把 B與b、h、x連結(jié)起來，表示 B可由b、h、x得出，E= b 2 （x + h）（圖4），這 就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x.問題5 怎樣才能求得X?為了使未知數(shù)x與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來，建立起一個(gè)等量關(guān)系我們調(diào)動(dòng)處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行 平面化”的思考用一個(gè)通過高線以及底面一邊上中點(diǎn)（圖5中，點(diǎn)Q）的平面去截兩個(gè)棱錐，在這個(gè)截面上有兩個(gè)相似三角形能把a(bǔ)、b、h、x聯(lián)系起來（轉(zhuǎn)化為平面幾何問題），由AVPO 1VQO 2得這就將一個(gè)幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解.解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜

10、線將x與a、b、 h連結(jié)起來.至此，我們已在 F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通.第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.作輔助線（過程略）如圖5，由相似三角形的性質(zhì)，得，解得x=.進(jìn)而得兩錐體的體積為 A= a 2x =,B= b 2（x + h）=,得棱臺(tái)體積為F = B A= =（a2 + ab + b2） h .第四，回顧.（1）正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的.再作特殊性檢驗(yàn)，令at 0,由可得正四棱錐體的體積公式；令a tb,由可得正四棱柱體的體積公式這既反映了新知識(shí)與原有知識(shí)的相容性，又顯示 出棱臺(tái)體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識(shí)聯(lián)系，又

11、可增進(jìn)三個(gè)體積公式的聯(lián)系記憶.（2）回顧這個(gè)解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息（如圖1所示，有棱臺(tái)，a、b、h、F共5條信息），同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息（如回想：棱臺(tái)的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運(yùn)算、調(diào)動(dòng)求解立體幾何問題的經(jīng)驗(yàn)積累等不下6條信息），并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個(gè)解題者還可以根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)各自進(jìn)一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計(jì)劃的普遍建議或模 式.（3）在解題方法上，這個(gè)案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的

12、充分條件.為了求F，我們只需求A、B（由棱臺(tái)體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化 一一由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我們只需求 x（由體積計(jì)算到線段計(jì)算的轉(zhuǎn)化 一一由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，降維）；為了求x，我們只需建立關(guān)于 x的方程（由幾何到代 數(shù)的轉(zhuǎn)化一一數(shù)形結(jié)合）；最后，解方程求X,解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫面上（圖1），形成了一個(gè)聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)（圖5）,書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述.這個(gè)過程顯示了分析與綜合的關(guān)系，分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個(gè)計(jì)劃，綜合是執(zhí)行這個(gè)計(jì)劃”.（4）在思維策略上，這個(gè)案例是 三層次解決”的一次成功應(yīng)用.首先

13、是一般性解決（策略水平上的解決）,把F轉(zhuǎn)化為A，B的求解（F = AE），就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對(duì)推理步驟和運(yùn)算細(xì)節(jié)作實(shí)際完成.（5）在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出激活一一擴(kuò)散”的基本過程首先在正四棱臺(tái) （條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計(jì)算的接線向外擴(kuò)散，依次激活截面知識(shí)、相似三角形知識(shí)、解方程知識(shí)（參見圖1圖5）,直到條件與結(jié)

14、論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通這種擴(kuò)散一一激活”的觀點(diǎn)，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋.（6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是組合與分解”的一次成功應(yīng)用首先把棱臺(tái)補(bǔ)充（組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺(tái)并作出截面，這種做法在求棱錐體積時(shí)曾經(jīng)用過（先組合成一個(gè)棱柱、再分解為三個(gè)棱錐），它又一次向我們展示能割善補(bǔ)”是解決立體幾何問題的一個(gè)訣竅，而 平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁這些都可以用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學(xué)科.（7）你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？ ”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地做出肯定的回答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問題或暫

15、時(shí)現(xiàn)象對(duì)于本例，按照化棱臺(tái)為棱錐的同樣想法，可以有下面的解法.如圖6，正四棱臺(tái) ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1中，連結(jié) DA1 , D B1 , DC 1 , DB，將其分成三個(gè)四棱錐D -A 1 B 1 C 1D 1 , D -AA 1 B 1 B,D -BB 1 C 1C,其中=b2 h,=.（等底等高 ）為了求，我們連結(jié)AB1，將其分為兩個(gè)三棱錐D -ABB 1與D -AA 1 B 1（圖7），因故 =,但 = a 2 h= a2 h,故 =+=a2 h+ a2 h= (a2 + ab ) h.從而=+ +=(a2 + ab ) h+ (a2 +ab ) h+ b2 h=(a

16、2 + ab + b2) h .(8) 你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題？”能，至少我們可以由正四棱臺(tái)體積公式一般化為棱臺(tái)體積公式(方法是一樣的)注意到a2 = S 1, b2 =S 2 ,ab= ,可一般化猜想棱臺(tái)的體積公式為臺(tái)=(S 1+ +S 2) h.3 波利亞的解題觀對(duì)于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對(duì)波利亞解題思想的認(rèn)識(shí)(見參考文獻(xiàn))，我們將其歸結(jié)為5個(gè)要點(diǎn).3.1 程序化的解題系統(tǒng)怎樣解題表，就 怎樣解題”、教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把解題中典型有用的智力活動(dòng)”，按 照正常人解決問題時(shí)思維的自然過程分成四個(gè)階段一一弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，

17、從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng).既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論(普遍性)的自覺努力.這四個(gè)階段首先是一個(gè)四步驟的宏觀解題程序，其中實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”雖為主體工作，但較為容易完成，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，我們所需要的只是耐心”；其次， 弄清問題”是認(rèn)識(shí)問題、并對(duì)問題進(jìn)行表征的過程，應(yīng)成為成功解決問題的一個(gè)必要前提；與前兩者相比，回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法，在整個(gè)解題表中擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容.擬定計(jì)劃”的過程是在 過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí) ”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的

18、建議 是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系(模式識(shí)別等)；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，弓I進(jìn)輔助問題，為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定 義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化 問題這實(shí)際上是闡述和應(yīng)用解題策略并進(jìn)行資源的提取與分配.于是，這個(gè)系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實(shí)踐于一體.3.2 啟發(fā)式的過程分析(1) 還在當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，波利亞就有一個(gè)問題一再使他感到困惑：是的，這個(gè)解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢？

19、是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)好像還行，它看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)？而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”從解題論的觀點(diǎn)看，這實(shí)際上是既提出了怎樣解題”又提出了 怎樣學(xué)會(huì)解題”的問題，波利亞說，這 終于導(dǎo)致他寫出本書”(指怎樣解題).波利亞認(rèn)為 數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面”，用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).這兩個(gè)側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老.但從某一點(diǎn)說來，第 二個(gè)側(cè)面則是新的，因?yàn)橐郧皬膩砭蜎]有照本宣科地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十年的時(shí)間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其 怎樣解題”的基本思想就可以概

20、括為 知識(shí)+啟發(fā)法”.在解題表中，波利亞給出了啟發(fā)法小詞典”讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo)實(shí)踐，自己學(xué)會(huì)怎樣解題.這些看法來源于波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育宗旨的認(rèn)識(shí)，波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)教會(huì)年輕人去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神”；他認(rèn)為一個(gè)人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該受益終生，他贊成，良好的教育應(yīng) 該 系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”，應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”，學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)思維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣，他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識(shí)，還要

21、發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力”.教師要教學(xué)生證明問題”，也要教他們猜想問題”.波利亞提出 合情推理” 的概念，號(hào)召：讓我們教猜想吧！”(2) 在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律 ”.波利亞不斷地提問、不斷地建議，怎樣才能想出這樣的解答呢 ？”我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言中提出：領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)，可能是讀者解出一道題的時(shí)候，或是閱讀它的解法的時(shí)候，也可能是閱讀解法形成過程的時(shí)候”.波利亞書中的例題，其實(shí)就是對(duì)典型例題進(jìn)行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，也就是教人

22、怎樣學(xué)會(huì)解題”.在例1中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領(lǐng)會(huì)到了這樣的意圖， 也見到了這樣的行動(dòng).波利亞對(duì)解題過程淋漓盡致的剖析，實(shí)質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué)或思維學(xué)的相關(guān)名詞，基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗(yàn)的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗(yàn)發(fā)揮了重要作用.這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢(shì)，處處有數(shù)學(xué)的真刀真槍”，絕非 紙上談兵”.波利亞說 貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本 ”，在 知識(shí)”與 組織良好”之間，波利亞更強(qiáng)調(diào)后者，他說良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛更為重要.”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強(qiáng)調(diào)了原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

23、”和 優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”對(duì)問題解決的基礎(chǔ)作用.3.3 開放型的念頭誘發(fā).波利亞解釋說： 我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實(shí)際上，所有的問題和建議都與它有關(guān)（可以說解題表中的每一個(gè)問句，都是從認(rèn)知或元認(rèn)知的角度向讀者啟發(fā)解題念頭.），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；擬訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我們?cè)噲D更好地利 用它.”他強(qiáng)調(diào)指出： 老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭.”在怎樣解題一書里，出現(xiàn)念頭”這個(gè)詞不下四五十次.念頭有什么用？波利亞說： 它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑 ”.也許有些念頭會(huì)把你引入歧途 ”，

24、但 這并不可怕， 在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會(huì)突然閃出一個(gè)好念頭；'最糟糕的是沒有任何念頭，還 笨頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨，而不會(huì)做任何事情去加速其來到.”這里說的念頭不僅在字面上比問題表征”更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富，其實(shí)質(zhì)是開展積極活躍的思維活動(dòng)，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語.那么產(chǎn)生念頭的基礎(chǔ)是什么呢？波利亞的回答是：過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”.（解題力量）如果我們對(duì)該論題知識(shí)貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的.如果我們 完全沒有知識(shí)，則根本不可能產(chǎn)生好念頭.”波利亞一再提到 好念頭”，其實(shí)這就是直覺、頓悟或靈感，想出一個(gè)好念頭是一種 靈感運(yùn)動(dòng)；想像力有了一

25、個(gè)突然的跳躍，產(chǎn)生了一個(gè)好念頭，這是天才的一次閃爍”，是我們觀點(diǎn)上的重大突變，我們看問題方式的一個(gè)驟然變動(dòng)，在解題步驟方面的一個(gè)剛剛露頭的有信心的預(yù)感”.波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動(dòng)的激發(fā)與激活.3.4 探索性的問題轉(zhuǎn)換這里說的 問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解題一書中亦叫變化問題”、題目變更”，它揭示了探索解題思路的數(shù)學(xué)途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實(shí)際運(yùn)用.波利亞強(qiáng)調(diào)： 解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面 去試驗(yàn)，我們變更問題.”變化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了

26、和我們有關(guān)的元素 接觸的新可能性.”新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識(shí)的新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復(fù)蘇通 過變化問題，顯露它的某個(gè)新方面，新問題使我們的興趣油然而生”.在 怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個(gè)問句或建議：把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題，先解決一個(gè)更特殊的問題、或更 一般的問題、或類似的問題 那些啟發(fā)新念頭的問句，也往往與問題轉(zhuǎn)換有關(guān).如果我們不用 題目變更'幾乎是不能有什么進(jìn)展的”一-就是波利亞的結(jié)論.3.5 樸素的數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知觀念.元認(rèn)知是對(duì)認(rèn)知的再認(rèn)知，包括元認(rèn)知知識(shí)，元認(rèn)知體驗(yàn)和

27、元認(rèn)知監(jiān)控雖然元認(rèn)知概念提出較晚，但元認(rèn)知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認(rèn)知觀念.波利亞解題表的大量問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這是解題者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對(duì)象針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認(rèn)知性的；另一部分則以解題者自身 為對(duì)象，屬于元認(rèn)知性的.比如，你以前見過它嗎？”你是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問題 ？” “里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題你能不能利用它？ ”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對(duì)解題主體、對(duì)其解題思維活動(dòng)的反思，都屬于元認(rèn)知提問，而不完全是認(rèn)知提問.波利亞解題表中的 回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的檢驗(yàn)”

28、，主要是有分析地領(lǐng)會(huì)所得的解法 （參見例1的回顧），它包含著把 問題及其解法”（認(rèn)知）作為對(duì)象進(jìn)行自覺反思的元認(rèn)知意圖.至于解題表本身所給出的解題程序（一種程序性知識(shí)），所體現(xiàn)的解題策略（一種策略性知識(shí)）及所進(jìn)行的元認(rèn)知提問，都屬于元認(rèn)知知識(shí).波 利亞對(duì)具體范例的分析，基本上是對(duì)問題及其解法”的再認(rèn)知，已反映出開發(fā)元認(rèn)知的樸素意圖.波利亞的另一些問句，女口你能不能重新敘述這個(gè)問題 ？你能不能用不同的方法重新敘述它？”“能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？”（接近度），你能不能一下子看出它來？ ” （題感）等，則屬于樸素的元認(rèn)知體驗(yàn).至于解題表本身，則自始至終

29、體現(xiàn)著元認(rèn)知調(diào)控.綜上所述，解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，分析解題過程”是波利亞解題思想的思維實(shí)質(zhì)，念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實(shí)現(xiàn)，樸素的元認(rèn)知觀念是波利亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ)而這一切的背后，豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)是波利亞解題思想的物質(zhì) 基礎(chǔ)，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律 ”是波利亞解題思想的目標(biāo).4 波利亞解題研究的發(fā)展4.1 反思數(shù)學(xué)上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法，在邏輯實(shí)證主義占主導(dǎo)地位的歷史時(shí)期，關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法的 研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻(xiàn)就在于自覺承擔(dān)起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任，并提出合情推

30、理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法 的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ).20世紀(jì)80年代初期，美國(guó)數(shù)學(xué)教育界興起的問題解決”研究是對(duì)波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承，曾經(jīng)有 對(duì)波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、數(shù)學(xué)啟發(fā)法 幾乎成了問題解決的同義詞 ”等提法.但是，已 有數(shù)學(xué)實(shí)踐卻未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則，或 者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有效地解決問題，這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思.（1）波利亞構(gòu)建的 四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于四階段”對(duì)學(xué)會(huì) 數(shù)學(xué)地思維”而言是不是有點(diǎn)簡(jiǎn)單化了 ？對(duì)數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡(jiǎn)潔描述的復(fù)雜得多.（2）數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興

31、及其所取得的成功，無論怎樣評(píng)價(jià)都不算過分，但啟發(fā)法能不能看成影響問題解決能力的惟一要素？知識(shí)+啟發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重視 （如元認(rèn)知調(diào)節(jié)”、觀念”等）,好念 頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更為自覺的分析.(3) 波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強(qiáng)調(diào)解題實(shí)踐是一個(gè)值得繼承的研究方向(與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對(duì)照，也與那些對(duì)中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過關(guān)的研究者形成鮮明對(duì)照)，但局限于 解題”專注于技能技巧是不是狹窄了點(diǎn)？至少 問題發(fā)現(xiàn)(提出)”、實(shí)際應(yīng)用”都與解決問題有同樣的重要性.4.2 發(fā)展近十幾年來，通過反思和對(duì)解題實(shí)踐活動(dòng)的深入考察，數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在 問題解決”的全過程和 高級(jí)數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機(jī)制等研究方面取得了新的進(jìn)展，中國(guó)式的問題解決”也初成特色，這些都構(gòu)成了對(duì)