計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第章導(dǎo)數(shù)與微分PPT課件

1、對于勻速直線運動來說，其速度公式為: 路路程程速速度度時時間間一物體作變速直線運動，物體的位置 與時間st00()( )ss tts t 的函數(shù)關(guān)系為 , 稱為位置函數(shù)( )ss t 2.1.1 引例到時刻0tt s 設(shè)物體在時刻內(nèi)經(jīng)過的路程為0t例1 變速直線運動的速度2.1 導(dǎo)數(shù)的概念第1頁/共51頁00()()s tts tsvtt 00000()( )( )limlimttss tts tv ttt 0( )v t瞬時速度無限變小時，平均速度就無限接近于vt 0( )v t時刻的越小,平均速度 就越接近于物體在0tt v0t0t 時，平均速度的極限值就是物體在v時刻的瞬時速度 ，即0(

2、 )vt0tt 到時刻0t于是，物體在時刻的平均速度為第2頁/共51頁例2 平面曲線的切線斜率 曲線 的圖像如圖所示,在曲線上任取兩點 和 ，作割線 ，割線的斜率為)(xfy 00()M x ,y),(00yyxxN 00()()tanMNf xxf xykxx MNyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP第3頁/共51頁這里 為割線MN的傾角，設(shè) 是切線MT的傾角，當(dāng) 時，點N沿曲線趨于點M。若上式的極限存在，記為k，則此極限值k就是所求切線MT的斜率，即xxfxxfxykxxx )()(limlimtanlimtan00000 0 xyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP第4

3、頁/共51頁定義 設(shè)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記 若存在，則稱其極限值為y = f (x)在點x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念第5頁/共51頁導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若y =f (x)在x= x0 的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點x0 處可導(dǎo)，反之稱y = f (x)

4、在x = x0 不可導(dǎo)，此時意味著不存在.函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化(增大或減小)的快慢.第6頁/共51頁2.左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù):.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右導(dǎo)數(shù):.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù),)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理3.1 y = f (x)在x =x0可導(dǎo)的充分必要條件是y = f (x)在x=x0 的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.第7頁/共51頁3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 當(dāng)

5、自變量 從變化到 時，曲線y=f(x)上的點由 變到).(,(00 xxfxxM此時 為割線兩端點M0，M的橫坐標(biāo)之差，而 則為M0，M 的縱坐標(biāo)之差，所以 即為過M0，M兩點的割線的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0第8頁/共51頁 曲線y = f (x)在點M0處的切線即為割線M0M當(dāng)M沿曲線y=f(x)無限接近 時的極限位置M0P，因而當(dāng) 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲線y = f (x) 在點M0(x0,f(x0)處的切線斜率.)(0 xf M0M0 x

6、xx0P P0 0M 第9頁/共51頁 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為： 而當(dāng) 時,曲線 在 的切線方程為0001()().()yf xxxfx 0 xx (即法線平行y軸).0 xx 000()()().yf xfxxx 當(dāng) 時,曲線 在 的法線方程為0()0fx ( )f x0M而當(dāng) 時,曲線 在 的法線方程為0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M第10頁/共51頁例3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取極限: 同理可得:特別地, . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxx

7、y2xxxxyyxx2)2(limlim00為正整數(shù)）nnxxnn()(111( )()xn 第11頁/共51頁例4 求曲線 在點 處的切線與法線方程.解:因為 ,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別為: 于是所求的切線方程為:即法線方程為:3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx第12頁/共51頁2.1.3 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2 若函數(shù)y = f (x)在點x0處可導(dǎo)，則f(x)在點x0 處連續(xù).證 因為f (x)在點x0處可導(dǎo)，故有00()l

8、im.xyfxx 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得:00()lim0.xyfxx ，其其中中兩端乘以 得:0()yfxxx x由此可見:000limlim()0.xxyfxxx 即函數(shù)y = f (x)在點x0 處連續(xù).證畢.第13頁/共51頁例5 證明函數(shù) 在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).|yx 證 因為0lim| 0 xx 所以 在x =0連續(xù)|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而即函數(shù) 在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在|yx x=0不可導(dǎo).由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).第14頁/

9、共51頁 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x) 在點x處均可導(dǎo)，則:定理一(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),u x v xu x v xu x v xuCCuCCxv ) (,()(,則則為常數(shù)）為常數(shù)）特別地特別地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2 求導(dǎo)法則特別地,如果可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x 第15頁/共51頁wvuwvu )(注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形wu

10、vwvuvwuuvw )(例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導(dǎo)，則第16頁/共51頁)3lnsin(3 xexyx解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例2 設(shè)52 ,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求設(shè)設(shè)3lnsin3例1第17頁/共51頁)(tan xy)cossin( xx解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即 2(tan)secxx 2(cot)cscxx 類似可得例3 求y = tan

11、x 的導(dǎo)數(shù)第18頁/共51頁)cos1( xxx2cossin )(sec xy解：xxtancos1 xx tansec 即(sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 類似可得例4 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù)第19頁/共51頁 定理二)(xu 如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的u處可導(dǎo)， 那么復(fù)合函數(shù))(xfy 在x處可導(dǎo)，且有dydy dudxdu dx或xuxyyu對于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則也稱鏈導(dǎo)法注：2.2.2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第20頁/共51頁xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例7yxy 求求,2ln

12、sin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：復(fù)合而成復(fù)合而成可看作可看作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例6第21頁/共51頁定理三, 0)( y 且且)(yx 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有1dydxdydx 1( )( )fxy 或證 因為 的反函數(shù) ( )( )yf xxy 是是( ) ( )xyf x所所以以有有dxdydydx 1上式兩邊對x求導(dǎo)得xyf 1或dydxdxdy1 或1( )( )fxy 所所以以 0)(ydydx 2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則第

13、22頁/共51頁）內(nèi)單調(diào)且可導(dǎo)，）內(nèi)單調(diào)且可導(dǎo)，在區(qū)間（在區(qū)間（而而2,2sin yx, 0cos)(sin yyy且且解：y = arcsinx 是x = siny 的反函數(shù)因此在對應(yīng)的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有)(sin1)(arcsin yxxycos1 y2sin11 211x 21(arcsin )1xxx 即同理21(arccos )1xxx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 求函數(shù)y = arcsinx 的導(dǎo)數(shù)例8 第23頁/共51頁基本導(dǎo)數(shù)公式表為常數(shù)）為常數(shù)）CC(0).(1 為常數(shù)）為常數(shù)） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)

14、xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)aaaxxln)(5 . .第24頁/共51頁xxx22cos1sec).(tan9 xxxtansec).(sec11 xxxcotcsc).(csc12 211).(arcsin13xx 211).(arccos14xx 211).(arctan15xx 21161.(arccot ) xx xxcosh).(sinh17 xxsinh).(cosh18 xxx22sin1csc).(cot10 第25頁/共51頁)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322

15、xxxx )sin2(32 xxy解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyxxy求求設(shè)設(shè)例5第26頁/共51頁22xyxyeyex 1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例9 求方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩端對x求導(dǎo)得0)2(2 xyeyxxyye)0(2 xey2.2.5 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)即是由 所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導(dǎo)，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye即第27頁/共51頁例10dxdyyxy求求設(shè)設(shè)),2arctan( 解：兩邊對x求導(dǎo)得)21()2(112y

16、yxy 1)2(12 yxy得得解解出出 ,y 第28頁/共51頁)1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以寫寫成成函函數(shù)數(shù)解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求設(shè)設(shè),)1(2例11第29頁/共51頁)1ln(ln2xxy 兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxxxyx 解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)注：兩邊取自然對

17、數(shù)兩邊取自然對數(shù)將函數(shù)將函數(shù)xxy)1(2 解二第30頁/共51頁)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：將函數(shù)取自然對數(shù)得)1(21)43(23112 xxxxyy兩邊對x求導(dǎo)得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxxxxx 所所以以yxxxy 求求設(shè)設(shè), ) 1)(43)(1(2例12第31頁/共51頁且)(tx )(),(tytx 設(shè)均可導(dǎo),具有單值連續(xù)反函數(shù))(1xt ，則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成)(ty 與)(1xt 復(fù)合而成的函數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)法則有：求得y對x的導(dǎo)數(shù)對參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x),可利用參數(shù)方程直接dydy dtdxdt

18、dx dtdxdtdy1 )(1)(tt ( )( )tt 此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系有時是由參數(shù)方程)()(txty 確定的，其中t 稱為參數(shù)第32頁/共51頁 解：曲線上對應(yīng)t =1的點（x, y)為（0,0）,曲線t =1在處的切線斜率為1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切線方程為 y =x123 txtty求曲線在t =1處的切線方程例13第33頁/共51頁 dxdydxddxyd22即,)( yy )()( xfxf或22)(dxxfd,y 記作),(xf 22dxyd或二階導(dǎo)數(shù)：)(xfy 如果函數(shù)f(x

19、)的導(dǎo)函數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱)(xfy 的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：( )( )( )( )nnnnd ddd yf xfxydx dxdxdx二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計算：運用導(dǎo)數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)2.2.6 高階導(dǎo)數(shù)第34頁/共51頁,lnaayx 解：nxnaay)(ln)( ,)(ln2aayx ,特別地,)(xxee xnxee )()(,)(xxee ,例15)(,sinnyxy求求設(shè)設(shè) )2sin( xy)2cos( x)22sin( x解：)(sin xyxcos )2sin( x )22sin( xy)23sin( x)2sin

20、()( nxyn即( )(sin)sin()2nxxn 同理( )(cos )cos()2nxxn )(,nxyay求求設(shè)設(shè) 例14第35頁/共51頁解如圖，正方形金屬片的面積 A 與邊長 x 的函數(shù)關(guān)系為A = x2 , 受熱后當(dāng)邊長由x0伸長到x0+ 時, 面積A相應(yīng)的增量為x2.3.1 微分的概念例1 設(shè)有一個邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了 ，問其面積增加了多少？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020)(2)(xxxxxxA 2.3 微分第36頁/共51頁的線性函數(shù)同階的無窮??；同階的無窮??；時與時與是當(dāng)是當(dāng)xxxx 0,20從上式可

21、以看出，xA是分成兩部分：第一部分xA 是是分分成成兩兩部部分分：第第一一部部分分高階的無窮小。高階的無窮小。時比時比是當(dāng)是當(dāng)?shù)诙糠值诙糠謝xx 0,)(2這表明的的近近似似值值：數(shù)數(shù)作作為為很很小小時時，可可用用其其線線性性函函Ax 02.Axx這部分就是面積A 的增量的主要部分（線性主部）,2)()(0200 xxxxx A A因因為為所以上式可寫成0().AA xx 第37頁/共51頁)()(00 xfxxfy 可以表示為定義設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量0 x在點)(xf如果函數(shù)),( xoxAy 于是,（2.3.1)式可寫成0 xxdAA 處的微分，0 x

22、)(xfxA 可微，稱為在點0 x處在點)(xf高階的無窮小，則稱函數(shù)時0 x)( xo x其中A是與無關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)比x00 d | d |.x xx xyyAx，即即記為第38頁/共51頁由微分定義，函數(shù)f (x)在點x0處可微與可導(dǎo)等價，且0()Afx ,因而)(xf在點 x0處的微分可寫成00d()x xyf xx上式兩端同除以自變量的微分，得d( )dyf xx因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a , b)內(nèi)每一點都可微， 則稱該函數(shù)在(a , b)內(nèi)可微。00d()dx xyf xx于是函數(shù)通常把x 記為，稱自變量的微分，f (x)在點x0 處的微分又可寫成d xd( )

23、dyfxxf(x) 在(a,b)內(nèi)任一點x處的微分記為第39頁/共51頁解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例2 求函數(shù) y=x2 在 x=1,01. 0 x時的改變量和微分。于是 110.010.01d20.02xxxxyx x 面積的微分為 d2.rssrr r .)(2)(222rrrrrrs解：面積的增量面積的增量與微分r當(dāng)半徑增大2rs例3半徑為r的圓的面積時，求2d()2yxxx x 在點1x處，第40頁/共51頁2.3.2 微分的幾何意義x當(dāng)自變量x有增量時，切線MT 的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量tan( )dPxf xxy Q( , )M x y因此，微分d( )yfx

24、x幾何上表示當(dāng)x有增量x時，曲線 ( )yf x在對應(yīng)點處的切線的縱坐標(biāo)的增量 y用d y近似代替dyyPN 就是用QP近似代替QN，并且tan( )f x設(shè)函數(shù)y = f (x)的圖形如下圖所示.過曲線y = f (x)上一點M(x,y)處作切線MT,設(shè)MT的傾角為則則, y ( )yf x MNOxy d yxxx Q QPT第41頁/共51頁2.3.3 微分的運算法則1. 微分的基本公式：(1) d0 () CC為為常常數(shù)數(shù)1(2) dd () aaxaxxa 為為常常數(shù)數(shù)(4) dee dxxx 1(6) dlndxxx (8) dcossin dxx x (3) dln d (01)

25、xxaaaxa,a11(5) dlogd (01)lnaxxa,axa(7) dsincos d xx x 第42頁/共51頁21(16) d arccot d 1xxx 21(14) d arccos d1xxx 21(13) darcsin d1xxx 21(15) d arctan d 1xxx 2(10) dcotcscdxx x 2(9) d tan secdxx x (12) dcsc csccot dxxx x (11) dsec sectan dxxx x 續(xù)前表第43頁/共51頁2. 微分的四則運算法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)均可微 ，則d()dd ;uvuvd()dd ;uvv uu vd()dCuCu （C 為常數(shù)）；2ddduvuu vvv0().v 第44頁/共51頁3復(fù)合函數(shù)的微分法則都是可導(dǎo)函數(shù)，則( )( )yf uux，設(shè)函數(shù)的微分為)(xfy復(fù)合函數(shù)d( )d( ) ( )dxyfxxf uxx 利用微分形式不變性，可以計算復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分.這就是一階微分形式不變性.可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，d(