2021考研數(shù)學(xué)歸納筆記

1、2021考研數(shù)學(xué)歸納筆記 第一章 集合與映射 1.集合 2.映射與函數(shù) 本章教學(xué)要求：理解集合的概念與映射的概念，把握實(shí)數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函數(shù)的一些基本性質(zhì)。 其次章 數(shù)列極限 1.實(shí)數(shù)系的連續(xù)性 2.數(shù)列極限 3.無(wú)窮大量 4.收斂準(zhǔn)則 本章教學(xué)要求：把握數(shù)列極限的概念與定義，把握并會(huì)應(yīng)用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則，理解實(shí)數(shù)系具有連續(xù)性的分析意義，并把握實(shí)數(shù)系的一系列基本定理。 第三章 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù) 1.函數(shù)極限 2.連續(xù)函數(shù) 3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階 4.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 本章教學(xué)要求：把握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量階的估量，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基

2、本性質(zhì)。 第四章 微 分 1.微分和導(dǎo)數(shù) 2.導(dǎo)數(shù)的意義和性質(zhì) 3.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算和反函數(shù)求導(dǎo)法則 4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及其應(yīng)用 5.高階導(dǎo)數(shù)和高階微分 本章教學(xué)要求：理解微分,導(dǎo)數(shù),高階微分與高階導(dǎo)數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關(guān)系，嫻熟把握求導(dǎo)與求微分的方法。 第五章 微分中值定理及其應(yīng)用 1.微分中值定理 2.lhospital法則 3.插值多項(xiàng)式和taylor公式 4.函數(shù)的taylor公式及其應(yīng)用 5.應(yīng)用舉例 6.函數(shù)方程的近似求解 本章教學(xué)要求：把握微分中值定理與函數(shù)的taylor公式，并應(yīng)用于函數(shù)性質(zhì)的討論，嫻熟運(yùn)用lhospital法則計(jì)算極限，嫻熟應(yīng)用微分于求解函數(shù)的極值問(wèn)題與函數(shù)作圖

3、問(wèn)題。 第六章 不定積分 1.不定積分的概念和運(yùn)算法則 2.換元積分法和分部積分法 3.有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用 本章教學(xué)要求：把握不定積分的概念與運(yùn)算法則，嫻熟應(yīng)用換元法和分部積分法求解不定積分，把握求有理函數(shù)與部分無(wú)理函數(shù)不定積分的方法。 第七章 定積分 1.定積分的概念和可積條件 2.定積分的基本性質(zhì) 3.微積分基本定理 4.定積分在幾何中的應(yīng)用 5.微積分實(shí)際應(yīng)用舉例 6.定積分的數(shù)值計(jì)算 本章教學(xué)要求：理解定積分的概念，堅(jiān)固把握微積分基本定理：牛頓萊布尼茲公式，嫻熟定積分的計(jì)算，嫻熟運(yùn)用微元法解決幾何，物理與實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，初步把握定積分的數(shù)值計(jì)算。 第八章 反常積分 1.反常積

4、分的概念和計(jì)算 2.反常積分的收斂判別法 本章教學(xué)要求：把握反常積分的概念，嫻熟把握反常積分的收斂判別法與反常積分的計(jì)算。 第九章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性 2.上級(jí)限與下極限 3.正項(xiàng)級(jí)數(shù) 4.任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 5.無(wú)窮乘積 本章教學(xué)要求：把握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級(jí)限與下極限的概念，嫻熟運(yùn)用各種判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)與無(wú)窮乘積的斂散性。 第十章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的全都收斂性 2.全都收斂級(jí)數(shù)的判別與性質(zhì) 3.冪級(jí)數(shù) 4.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)綻開(kāi) 5.用多項(xiàng)式靠近連續(xù)函數(shù) 本章教學(xué)要求：把握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)序列）全都收斂性概念，全都收斂性的判別法與全都收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，把握

5、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)嫻熟綻開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù)，了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)的重要應(yīng)用。 第十一章 euclid空間上的極限和連續(xù) 1.euclid空間上的基本定理 2.多元連續(xù)函數(shù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 本章教學(xué)要求：了解euclid空間的拓?fù)湫再|(zhì)，把握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)概念之間的區(qū)分，把握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 第十二章 多元函數(shù)的微分學(xué) 1.偏導(dǎo)數(shù)與全微分 2. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.taylor公式 4.隱函數(shù) 5.偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用 6.無(wú)條件極值 7.條件極值問(wèn)題與lagrange乘數(shù)法 本章教學(xué)要求：把握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)概

6、念之間的區(qū)分，嫻熟把握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，把握偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，把握求多元函數(shù)無(wú)條件極值與條件極值的方法。 第十三章 重積分 1.有界閉區(qū)域上的重積分 2.重積分的性質(zhì)與計(jì)算 3.重積分的變量代換 4.反常重積分 5.微分形式 本章教學(xué)要求：理解重積分的概念，把握重積分與反常重積分的計(jì)算方法，會(huì)嫻熟應(yīng)用變量代換法計(jì)算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應(yīng)用。 第十四章 曲線積分與曲面積分 1.第一類曲線積分與第一類曲面積分 2.其次類曲線積分與其次類曲面積分 3.green公式，gauss公式和stokes公式 4.微分形式的外微分 5.場(chǎng)論初步 本章教學(xué)要求：

7、把握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計(jì)算方法，把握green公式，gauss公式和stokes公式的意義與應(yīng)用，理解外微分的引入在給出green公式，gauss公式和stokes公式統(tǒng)一形式上的意義，對(duì)場(chǎng)論學(xué)問(wèn)有一個(gè)初步的了解。 第十五章 含參變量積分 1.含參變量的常義積分 2.含參變量的反常積分 3.euler積分 本章教學(xué)要求：把握含參變量常義積分的性質(zhì)與計(jì)算，把握含參變量反常積分全都收斂的概念，全都收斂的判別法，全都收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計(jì)算中的應(yīng)用，把握euler積分的計(jì)算。 第十六章 fourier級(jí)數(shù) 1.函數(shù)的fourier級(jí)數(shù)綻開(kāi) 2. fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法

8、 3. fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì) 4. fourier變換和fourier積分 5.快速fourier變換 本章教學(xué)要求：把握周期函數(shù)的fourier級(jí)數(shù)綻開(kāi)方法，把握f(shuō)ourier級(jí)數(shù)的收斂判別法與fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)fourier變換與fourier積分有一個(gè)初步的了解。 試題 一、解答下列各題 求極限lim 1、2、 tanx tan2 . x 2sinln(x 1) 求 (ex 1)3exdx. 100x2 10x 1 求極限lim32x x 01.x 0.01x 0.0013、 4、 設(shè)y x2 sin2tdt，求y 3x x2 x 1，x 1； 設(shè)f(x) 求f(1 a)

9、f(1 a)，其中a 02 2x x，x 15、 x2 1 求極限lim x 1lnx 6、 7、設(shè)y (3x 1)ln(3x 1)，求y 1 8、 求 x3 x 2 x 1 3 2x 設(shè)y(x) xe，求dy9、 求由方程x y a(常數(shù)a 0)確定的隱函數(shù) 2 3 10、y y(x)的微分dy 設(shè)y y(x)由x (1 s2)和y (1 s2)所確定, dy試求 dx11、 12、設(shè)y y(x)由方程y e x y x 所確定,求y 22 若x 0,證明x ln(1 x) 2x 13、 14、15、16、 求 16 dx 12 求 1 x x dx 2 x4 x 求 dx 2 (x 1)(

10、x 1) 二、解答下列各題 ,其母線長(zhǎng)20cm,要使其體積最大,問(wèn)其高應(yīng)為多少? 1、要做一個(gè)圓錐形漏斗 2、求曲線y 2 x與y x所圍成的平面圖形的面積. 2 , 上所圍成的平面圖形的面積. 3、求曲線y x和y x在 01 三、解答下列各題 2 3 四、解答下列各題 證明方程x5 7x 4在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 判定曲線y (x 3)x在0， 上的凹凸性 其次部分 （1） 課程名稱：微分幾何 （2） 基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主要內(nèi)容有： 曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切向量與弧長(zhǎng)；主法向量與從法向量；曲率與擾率；frenet標(biāo)架與frenet公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；

11、曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，如切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點(diǎn)定理與cauchy-crofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的crofton公式，fenchel定理與fary-milnor定理。 曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊(yùn)量；曲面的其次基本形式；曲面上的活動(dòng)標(biāo)架與基本公式；weingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)；gauss映照與第三基本形式；全臍曲面、微小曲面與常gauss曲率曲面；曲面論

12、的基本定理；測(cè)地曲率與測(cè)地線； 向量的平行移動(dòng)。 基本要求：通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，同學(xué)應(yīng)把握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與討論微分幾何的一些常用方法。以便為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)、討論現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)；另一方面培育同學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的力量。 二、講授綱要 第一章 三維歐氏空間的曲線論 1 曲線 曲線的切向量 弧長(zhǎng) 教學(xué)要求：理解曲線的基本概念、會(huì)求曲線的切向量與弧長(zhǎng)、會(huì)用弧長(zhǎng)參數(shù)表示曲線。 2 主法向量與從法向量 曲率與擾率 教學(xué)要求：理解曲率與撓率,主法向量與從法向量,親密平面與從切平面等基本概念，會(huì)計(jì)算曲率與撓率。 3 frenet標(biāo)架 frenet公式 教學(xué)要求：把握f(shuō)ren

13、et公式，能運(yùn)用frenet公式去解決實(shí)際問(wèn)題。 4 曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì) 教學(xué)要求：能表達(dá)曲線在一點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號(hào)的集合意義。 5 曲線論基本定理 教學(xué)要求：把握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡(jiǎn)潔的曲線。 6 平面曲線的一些整體性質(zhì) 61 關(guān)于閉曲線的一些概念 62 切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理 63 凸曲線* 64 等周不等式* 65 四頂點(diǎn)定理* 66 cauchy-crofton公式* 教學(xué)要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡(jiǎn)潔曲線、切線像、相對(duì)全曲率、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)、凸曲線。把握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡(jiǎn)潔閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式

14、，四頂點(diǎn)定理與cauchy-crofton公式。 7 空間曲線的整體性質(zhì) 71 球面的crofton公式* 72 fenchel定理* 73 fary-milnor定理* 教學(xué)要求：理解全曲率的概念。把握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的crofton公式，fenchel定理與fary-milnor定理。 其次章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何 1 曲面的表示 切向量 法向量 11 曲面的定義 12 切向量 切平面 13 法向量 14 曲面的參數(shù)表示 15 例 16 單參數(shù)曲面族 平面族的包絡(luò)面 可展曲面 教學(xué)要求：把握曲面的三種局部解析表示；會(huì)求曲面的切平面與法線；了解旋轉(zhuǎn)曲面與直紋面的表示；把握

15、可展曲面的特征。 2 曲面的第一、其次基本形式 21 曲面的第一基本形式 22 曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng) 23 等距對(duì)應(yīng) 曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何 24 共形對(duì)應(yīng) 25 曲面的其次基本形式 教學(xué)要求：把握曲面的第一基本形式及相關(guān)量曲面上曲線的弧長(zhǎng)、兩相交曲線的交角與面積的計(jì)算，并理解其幾何意義；了解等距對(duì)應(yīng)與共形對(duì)應(yīng)；把握其次基本形式。 3 曲面上的活動(dòng)標(biāo)架 曲面的基本公式 31 省略和式記號(hào)的商定 32 曲面上的活動(dòng)標(biāo)架 曲面的基本公式 33 weingarten變換w 34 曲面的共軛方向 漸近方向 漸近線 教學(xué)要求：把握曲面上的活動(dòng)標(biāo)架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)絡(luò)系數(shù)；理解weingar

16、ten變換與共軛方向、漸近方向，會(huì)求一些簡(jiǎn)潔曲線的漸近曲線。 4 曲面上的曲率 41 曲面上曲線的法曲率 42 主方向 主曲率 43 dupin標(biāo)線 44 曲率線 45 主曲率及曲率線的計(jì)算 總曲率 平均曲率 46 曲率線網(wǎng) 47 曲面在一點(diǎn)的鄰近處的外形 48 gauss映照及第三基本形式 49 總曲率、平均曲率滿意某些性質(zhì)的曲面 教學(xué)要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意義，并會(huì)對(duì)它們進(jìn)行計(jì)算；把握gauss映照及第三基本形式；能對(duì)全臍曲面與總曲率為零的曲面進(jìn)行分類；把握微小曲面的幾何意義并會(huì)求一些簡(jiǎn)潔的微小曲面。 5 曲面的基本方程及曲面論的基本定理 51

17、 曲面的基本方程 52 曲面論的基本定理 教學(xué)要求：把握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。 6 測(cè)地曲率 測(cè)地線 61 測(cè)地曲率向量 測(cè)地曲率 62 計(jì)算測(cè)地曲率的liouville公式 63 測(cè)地線 64 法坐標(biāo)系 測(cè)地極坐標(biāo)系 測(cè)地坐標(biāo)系 65 應(yīng)用 66 測(cè)地?cái)_率 67 gauss-bonnet公式 教學(xué)要求：理解與把握測(cè)地曲率和測(cè)地線、測(cè)地?cái)_率、法坐標(biāo)系、測(cè)地極坐標(biāo)系與測(cè)地坐標(biāo)系的定義及其幾何意義；能用liouville公式計(jì)算測(cè)地曲率與測(cè)地線；能用測(cè)地極坐標(biāo)系對(duì)總曲率為常數(shù)的曲面進(jìn)行討論；理解（局部）gauss-bonnet公式。 7 曲面上的向量的平行移動(dòng) 71 向量沿曲面上一

18、條曲線的平行移動(dòng) 肯定微分 72 肯定微分的性質(zhì) 73 自平行曲線 74 向量繞閉曲線一周的平行移動(dòng) 總曲率的又一種表示 75 沿曲面上曲線的平行移動(dòng)與歐氏平面中平行移動(dòng)的關(guān)系 教學(xué)要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動(dòng)與肯定微分。 習(xí)題： 1. 證明推論2.3.1， 2. 設(shè)x，y為banach空間，x(t):a,b x是連續(xù)抽象函數(shù), 對(duì)有界線性算子 t:x y，證明：tx在a,b上r可積，并且 tx(t)dt t x(t)dt。 a a bb 3. 設(shè)ca,b到ca,b中的算子t由(tx)(t) t a (1 s2)x(s)2ds給出，t在任一元素x 處是否f可導(dǎo)？若答案確定，求導(dǎo)算子

19、t (x)。 4. 設(shè)f是r到r中的一個(gè)c映射。證明：f在x0 rn處沿方向h r的g微分 n 1n df(x0;h)等于 grad f (x0) ht, 這里 grad f =（ f f f f , ）, h (h1,h2, hn); x1 x2 x3 xn 在f(x1; ,x3) x1x2 xex3 xn 1xn 和 h (1,2,3,0,0, ,0,1), n 又問(wèn)：f在x r處的f導(dǎo)數(shù)是什么？x0 (n,n 1, ,3,2,1)的狀況下計(jì)算df(x0;h)， 23n 當(dāng)f(x) x1 x2 x3 xn時(shí)求f (x)。 5. 設(shè)t:r r由t(x,y) (x2 y2,xy2 3y,4x

20、5y)定義，求t在（1，2）處沿 方向（1，1）的g微分。 23 x2 y2 2y 2x x x 22 解：寫(xiě)t y y2xy 3 ， y xy 3y ，知t 4 4x 5y 5 2 4 2 1 1 1 4 1 故所求g微分為t 2 1 1 5 。 4 1 5 6. 設(shè)x、y是賦范線性空間，t：x y由tx ax y0, x x定義，其 y0 y，a b(x, y )，證明t在 x x處f可微，且求其f導(dǎo)算子。 解： x x, h x,t(x h) t(x) a(x h) yo (ax yo) ax ah yo ax yo ah ， 由于a b(x, y )，且h 7. 設(shè)t:r3 r2由t

21、(x,y,z) (3x2 2y,y2 2xz) r2, (x,y,z) r3確定，求t在（1，2，1）處的f導(dǎo)數(shù)。 1 且t (x) a。 0 0,(h 0),t在x處是f可微的， x x 3x2 2y 解：采納列向量表示，t將y變換成 2，故t在 y 處的 f 導(dǎo)數(shù)應(yīng)是變 z z y 2xz 6x 換t的jacobi矩陣 2z 22y 0 6 20 ，在處，此矩陣為(x,y,z) (1,2, 1) 242 ，2x 在列向量表示下，t在（1，2，1）處的f導(dǎo)數(shù)作為線性算子就是此常數(shù)矩陣打算的變 h1 h1 h1 6 20 3 6h1 2h2 r2故t在（1，h, h r, 換： h2 右端即

22、22 242 2h1 4h2 2h3 h h h 3 3 3 2，1）處的f導(dǎo)數(shù)就是將 (h1,h2,h3)變換為(6h1 2h2, 2h1 4h2 2h3)的線性變換。 備注1：這一答案保持了原題用行向量敘述的方式。 x 3x2 2y x x 23 r, y r，備注2：當(dāng)t:r r表示為ty 2我們可得t在 y z z y 2xz z 3 2 處的f導(dǎo)數(shù)是： x 6x 20 x h1 6x 20 h1 h1 h , h r3， ，即t y h2 t y z 2z2y2x z h 2z2y2x h2 h2 3 3 3 1 h1 故 t 2 h2 1 h 3 h 6h1 2h2 , h1 r3

23、 2h 4h 2h 2 123 h3 1 6 20 或 t 2 ，算子對(duì)向量的作用以相應(yīng)的矩陣對(duì)向量的左乘表示。 1 242 第三部分 1. 高等代數(shù)基本定理 設(shè)k為數(shù)域。以kx表示系數(shù)在k上的以x為變?cè)囊辉囗?xiàng)式的全體。假如 f(x) a0xn a1xn 1 . an kx,(a0 0)，則稱n為f(x)的次數(shù)，記為 degf(x)。 定理（高等代數(shù)基本定理） cx的任一元素在c中必有零點(diǎn)。 命題 設(shè)f(x) a0xn a1xn 1 . an,(a0 0，n 1)是c上一個(gè)n次多項(xiàng)式，a是一個(gè)復(fù)數(shù)。則存在c上首項(xiàng)系數(shù)為a0的n 1次多項(xiàng)式q(x)，使得 f(x) q(x)(x a) f(a

24、) 證明 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法。 推論 x0為f(x)的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)(x x0)為f(x)的因式（其中degf(x) 1）。 命題（高等代數(shù)基本定理的等價(jià)命題） 設(shè)f(x) a0xn a1xn 1 . an (a0 0，n 1)為c上的n次多項(xiàng)式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在n個(gè)復(fù) 數(shù)a1,a2,.,an，使 f(x) a0(x 1)(x 2).(x n) 證明 利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3，對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法。 2高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式 定義 設(shè)k是一個(gè)數(shù)域，x是一個(gè)未知量，則等式 a0xn a1xn 1 . an 1x an 0 （1） （其中a0,a1,.,an k,

25、a0 0）稱為數(shù)域k上的一個(gè)n次代數(shù)方程；假如以x k帶入（1）式后使它變成等式，則稱 為方程（1）在k中的一個(gè)根。 定理（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式） 數(shù)域k上的n( 1)次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域c內(nèi)必有一個(gè)根。 命題 n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域c內(nèi)有且恰有n個(gè)根（可以重復(fù)）。 命題（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式）給定c上兩個(gè)n次、m次多項(xiàng)式 f(x) a0 a1x . anxng(x) b0 b1x . bmxm (an 0)， (bm 0)， 假如存在整整數(shù)l,l m,l n,及l(fā) 1個(gè)不同的復(fù)數(shù) 1, 2,., l, l 1，使得 f( i) g( i)(i 1,2,.,l 1)， 則f

26、(x) g(x)。 1.2.2 韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性 設(shè)f(x) a0x a1x n n 1 an，其中ai k,a0 0。設(shè)f(x) 0的復(fù)根為 ，則 1, 2, , n（可能有重復(fù)） n 1 f(x) (x i) (x 1)(x 2) (x n)a0i 1 xn ( 1 2 n)xn 1 1 2 n. 所以 a1 ( 1)1( 1 2 n)； a0 a2 ( 1)2 i1 i2； a00 i1 i2 n an ( 1)n 1 2 n. a0 我們記 0( 1, 2, , n) 1； 1( 1, 2, , n) 1 2 n； r( 1, 2, , n) i1i2 0 i1 i2

27、 ir n i； r n( 1, 2, , n) 1 2 n （ 1, 2, , n稱為 1, 2, , n的初等對(duì)稱多項(xiàng)式）。于是有 定理2.5 (韋達(dá)定理) 設(shè)f(x) a0xn a1xn 1 an，其中ai k,a0 0。設(shè) f(x) 0的復(fù)根為 1, 2, , n。則 a1 ( 1)1 1( 1, 2, , n)； a0 a2 ( 1)2 2( 1, 2, , n)； a0 an ( 1)n n( 1, 2, , n). a0 命題 給定r上n次方程 a0x a1x n n 1 . an 1x an 0， a0 0， 假如 a bi是方程的一個(gè)根，則共軛復(fù)數(shù) a bi也是方程的根。 證明 由已知， a0 n a1 n 1 . an 1 an 0. 兩邊取復(fù)共軛，又由于a0,a1,.,an r，所以 a0n a1n 1 . an 1 an 0. 高等代數(shù)試題 1、設(shè) l(v), v，并且 ， ( )， k 1( )都不等于零，但 k( ) 0， 證明： ， ( )， k 1( )線性無(wú)關(guān) 答案：按線性無(wú)關(guān)的定義證