導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算

1、1導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算1.平均變化率與瞬時(shí)變化率：平均變化率：已知函數(shù)y = f（x）,勺,齊是貝立義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記：Ar = x,-x0. =X = /（州）一 /（兀）=/（兀）+ ） /（-vo），則當(dāng)厶丫 工0時(shí)，=兒+） / （心）稱(chēng)作函數(shù)y = y（X）在區(qū)間心禺+心（或兀+心,X。）Av（無(wú) +Av）一x0的平均變化率.瞬時(shí)變化率：當(dāng)殲趨近于心時(shí)，即心趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的常數(shù)，lim = lim丿（+山）-/（%），那么這個(gè)值就是函數(shù)y = f（x）在點(diǎn)兒的瞬時(shí)變化率.At（）比ATO（X0+ Ax） _ x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)通常用符號(hào)廣（忑）表示，記作：fx = li

2、mZCVAV）Z（AO）z （x0+ Av）-x03導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = /（x）在點(diǎn)心處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y = /（A）在點(diǎn)Pg,/（無(wú)）處切線的斜率，即k =相應(yīng)的切線方程是:兒=廣（）匕一兀）4基本初等函數(shù)的求導(dǎo):1C = O；(x11 = nx:(sinx) = cosx：(cosx) = -sinx ：(ax)f= a Ana；(g)(exY = ex:(lognx)f= !:(Inx =. xnax5導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: (/(x) g(x)f= f(x)gx):2(fW g(x)y =廣(x)g(x) + f(x)gXx)(特別地有(c f(x)Y = c f(x)，其中c為常數(shù)

3、)3(/(x)y =廣(x)g(Q-/(x)g&)2 gM _(g(x)22在數(shù)學(xué)中，稱(chēng)點(diǎn)瞬時(shí)變化率耙譽(yù)耙/;：my為函數(shù)y =/（羽在(g(X)HO)2理6復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：復(fù)合函數(shù)y = f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y = /() u = g(x)的導(dǎo)數(shù)間 的關(guān)系為y； = y： ；,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)的導(dǎo)數(shù)與“對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.1 2例：求y = ln(2x + l)的導(dǎo)數(shù),y = nu.u = 2x + /. yrx= y：= -2 =-u2x + 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性：一般地，在區(qū)間( 0單調(diào)遞壇r(x)o單調(diào)遞邀fM 0常函數(shù))=08.導(dǎo)數(shù)與極值:(1)極小值

4、點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x = a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x = a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，廣)=0：而且在點(diǎn)x = d附近的左側(cè)fx) 0.則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y = f(x)的極小值點(diǎn)，/)叫做函數(shù)y = fW的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x = b的函數(shù)值于)比它在點(diǎn)x = b附近苴他點(diǎn)的函數(shù)值都大,fb) = 0；而且在點(diǎn)x = b的左側(cè)f(x) 0 ,右側(cè)fx) 0,右側(cè)fx) 0 ,那么f(心)是極大值.如果在劉附近的左側(cè)f(x) 0,那么f(x“)是極小值.定積分：9.泄積分的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y= /(x)在區(qū)間G,甸上有左 義，將

5、區(qū)間山,糾等分為個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為山h n(Ar = -),在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為召作和：S” = /()Ax + *)& + + g)Ax,如果當(dāng)心TO(即時(shí)，SjS為常數(shù)，那么稱(chēng)常數(shù)S為函數(shù)/(X)在區(qū)間“上上的泄積分，記為：S=/(%)心.其中，/(X)稱(chēng)為被積函數(shù)，0,6稱(chēng)為積分區(qū)間，d稱(chēng)為積分下限，b稱(chēng)為積分上限.10.上積分的幾何意義：定積分jMdx表示在區(qū)間1“，創(chuàng)上曲線y= fM與直線x=a, x=b以及x軸所用成 的平面圖形(曲邊梯形)的而積的代數(shù)和.即：7UX =5IMI方S鼬下方(在x軸上方 的面積取正號(hào)，在x軸下方的而積取負(fù)號(hào))1當(dāng)xa,b時(shí)，若

6、f(x) 0 ,由直線x = a, x = b以及x軸和曲線y = f(x)所用成fb的曲邊梯形的而積S = f(x)dx2當(dāng)xa,b時(shí)，若/(x)0,由直線x = x = b以及X軸和曲線y = .f(x)所圍成 的曲邊梯形的而積S =1 jx)dx 1= - f(x)dx圖411.泄積分的性質(zhì)：1f燈Wdx = kJ： jx)dx ( k為常數(shù))：2/W g(x)x = fx)dx J：g(x)x :3J f(x)dx = j /(x)Jx +j f (x)dx(其中a c 0,671)；13.曲邊梯形與而積：若兩條曲線/(A), g(x) ( /(A-)(A-)與直線x = a,x = h (a 0 )在時(shí)間區(qū) 間上的泄積分，即：S=”(/)2變力做功物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=“移j0=c (c為常數(shù)) J dx