2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題08圓中證明及計算問題解析版

1、2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題 08圓中證明及計算問題【例1】(2019 葉縣一模)如圖，。O是 ABC勺外接圓，點O在BC邊上，/ BAC勺平分線交。O于點D,連接BD CD過點D作BC的平行線與 AC的延長線相交于點 P.(1)求證：PD是。的切線；(2)求證：AB?CP= BD?CD(3)當(dāng)AB= 5 cm AC= 12 cm時，求線段 PC的長.ap【變式1-1 (2018 焦作一模)如圖， ABE接于。0,且ABAC延長BC到點D,使CI=CA連接AD交。0于點E.(1)求證： AB白 CDE(2)填空:當(dāng)/ ABCJ度數(shù)為 時，四邊形 A0CE1菱形;若AE=6, BE=8,

2、則EF的長為.C為AB上方的圓上一動點，過點 C作。0的【例2】(2019 省實驗一模)如圖， AB為。0的直徑，點切線l ,過點A作直線l的垂線AD,交O 0于點D,連接0C CD BC BD且BD與0能于點E.(1)求證： CD降 CBE(2)若AB= 4,填空：當(dāng)弧CD的長度是 時， 0B屋等腰三角形;當(dāng)BC=時，四邊形 0ADC；菱形.【變式2-1(2019河南南陽一模)如圖，四邊形ABC國。的內(nèi)接四邊形，。的半徑為2,/B=135° ,則弧AC的長為()A 2n強化精煉:C.-2D.-31. (2018 洛陽三模)如圖，在RtAABO, / ACB90 ,以AC為直徑的。O

3、與余邊 AB交于點D, E為BC邊的中點，連接DE(1)求證：DE是。的切線;(2)填空：若/ B=30° , AG2J3,則 BD當(dāng)/ B=時，以O(shè) D E、C為頂點的四邊形是正方形2. (2018 河南第一次大聯(lián)考)已知ABC內(nèi)接于以AB為直徑的。0,過點C作。O的切線交BA的延長線于點D,且DA： AB=1 : 2.(1)求/ CDB勺度數(shù)；(2)在切線DC上截取CE=CD連接EB判斷直線EB與。0的位置關(guān)系，并證明.3. (2019 偃師一模)如圖，在 RtABC中，Z AC=90 ,以 AC為直徑的。O與斜邊AB交于點D, E為BC邊上一點，且 DE是。的切線.(1)求證：

4、BE=EC(2)填空：若/ B=30° , AG2T3 則 DE當(dāng)/ B=。時，以Q D, E, C為頂點的四邊形是正方形.4. (2017 新野一模)如圖， AB為。的直徑，C為半圓上一動點，過點 C作。的切線l的垂線BD 垂足為D, BD與O O交于點E,連接OC CE AE AE交O。點F.(1)求證： CDM EFC(2)若 AB=4,連接 AC當(dāng)AC=時，四邊形 OBECJ菱形；當(dāng)AC=時，四邊形 EDC的正方形.5. (2019 三門峽二模)如圖，AB是半圓O的直徑，D為半圓上的一個動點(不與點A B重合)，連接AD過點O作AD的垂線，交半圓 O的切線 AC于點C,交半圓

5、 O于點E.連接BE DE(1)求證：/ BEO / C.(2)連接 BD OD CD填空:當(dāng)/ ACO勺度數(shù)為 時，四邊形OBD西菱形；當(dāng)/ ACO勺度數(shù)為 時，四邊形AODC;正方形.C M6. (2019 開封模擬)如圖， CD是。的直徑，且 CD= 2cmi點P為CD的延長線上一點，過點 P作。O 的切線PA PB,切點分別為 A B.(1)連接AC若/ AP住30° ,試證明 AC沈等腰三角形；(2)填空：當(dāng)弧AB的長為 cm時，四邊形 AOBDI菱形；當(dāng)DP=cm時，四邊形AOBP1正方形.7. (2019 西華縣一模)如圖， AB為。O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接 O

6、F并延長交弧 AC于點D 過點D作。O的切線，交BA的延長線于點 E.(1)求證：AC/ DE(2)連接CD若O盒AE=2時，求出四邊形 ACDE勺面積.8. (2019 關(guān)B州聯(lián)考)已知：如圖， ABS接于。O AB為直徑，/ CBA勺平分線交 AC于點F,交。O于點D, DEI AB于點E,且交 AC于點P,連結(jié) AD.(1)求證：/ DAC= / DBA(2)求證：P是線段AF的中點；(3)連接CD若CD= 3, BD= 4,求。O的半徑和 DE的長.9. (2019 安陽二模)如圖，在矩形 ABCDfr,點O在對角線 AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓 O與AD AC 分別交于點 E, F,

7、且/ ACB= Z DCE(1)判斷直線 CE與。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若 tan/ACB= - , BC= 4,求。的半徑.210. (2019 平頂山三模)如圖，在 ABC43, AC= BC AB是。C的切線，切點為點 D,直線AC交O C一，_ _ 一一 1 一于點E、F,且CF=1AC 2(1)求證： ABF是直角三角形；(2)若AC= 6,則直接回答 BF的長是多少.2020年中考數(shù)學(xué)三輪易錯復(fù)習(xí)：專題 08圓中證明及計算問題【例1】(2019 葉縣一模)如圖，。O是ABC勺外接圓，點O在BC邊上，/ BAC勺平分線交。O于點D,連接BD CD過點D作BC的平行線與 A

8、C的延長線相交于點 P.(1)求證：PD是。的切線；(2)求證：AB?CP= BD?CD(3)當(dāng)AB= 5 cm AC= 12 cm時，求線段 PC的長.【答案】見解析.【解析】（1）證明：連接OD月、口F. / BAD= / CAD，弧 BD=M CD ./ BOD= / COD= 90° ,. BC/ PA ./ ODP= / BOD= 90° ,即 ODL PAPD是O O的切線.(2)證明：.BC/ PD, ./ PDC= / BCD. / BCD= / BAD .Z BAD= / PDC /ABD/ACD= 180° , /ACD/PCD= 180

9、76; , ./ ABD= / PCDBADo CDP,AB B£ CD CP，. AB?CP= BD?CD(3) BC是直徑， ./ BAC= / BDC= 90° ,AB= 5, AC= 12,由勾股定理得：BC= 13,由（1）知， BC英等腰直角三角形，BD= CD= 132 , 2. AB?C2 BD?CDPC= 169 . 10【變式1-1 （2018 焦作一模）如圖， ABCft接于。0,且ABAC延長BC到點D,使C悖CA連接AD交。0于點E.（1）求證： AB白 CDE（2）填空：當(dāng)/ ABC勺度數(shù)為 時，四邊形 A0CE1菱形；若AE=6, BE=8,則

10、EF的長為.【解析】（1）證明：連接CEiOX. AB=AC CD=CA / ABB/ACB AB=CD .四邊形ABCE!圓內(nèi)接四邊形， / ECD/ BCE=/ BAE+ / BCE=180 , / ECD/ BAE同理，/ CEB/ABC. / ABB/ACB/AEB / CED/AEB60;連接AO OC 四邊形ABCE!圓內(nèi)接四邊形， /ABG/AEC=180 ,/ AB060, /AEG/AOC120 ,OA=OC / OACZ OCA30 ,. AB=AC.ABO等邊三角形， / AC自60 ,. / ACS/ CAB / D, AC=CD / CAD/ D=30 , / AC巨

11、30 , / OAEC OCE60 ,即四邊形AOCEI平行四邊形，. OA=OC 四邊形AOCEI菱形；由（1）得： ABEE CDEBE=DE=8, AE=CE=6, Z D=Z EBC由/ CED/ABC=/ACB得 ECEh CFB,CE CF 6 = ，DE BC 8. /AFE=/BFG /AE屋/FCB . AEN BCF,EF CFAE BC ?即巴6, 68EF=9 .2【例2】（2019 省實驗一模）如圖，AB為。O的直徑，點C為AB上方的圓上一動點，過點 C作。的切線l ,過點A作直線l的垂線AD交O O于點D,連接OC CD BC BD且BD與0收于點E.(1)求證：

12、CD降 CBE(2)若AB= 4,填空:當(dāng)弧CD的長度是 時， OB里等腰三角形;當(dāng)BC=時，四邊形 OADC；菱形.【答案】（1）見解析；（2） ; 2.2【解析】（1）證明：延長 AD交直線l于點F,ADfi直于直線l , .Z AFC= 90 ,直線l為。O切線, ./ OCF= 90 , ./ AFC= / OCF= 90 ,. AD/ OC.AB為。O直徑， ./ADB= 90 ,，/ OEB90 ,. OCL DBDE= BE / DEC / BEG= 90. CE= CE . CDM CBE(2)如圖2,連接OD由（1）知/ OEB= 90° ,當(dāng) OB翼等腰三角形時，

13、則4 OEB等腰直角三角形， .Z BOE= / OBm45 ,. OD= OB OEL BD / DO© / BOE= 45° ,AB= 4,O氏2,，弧CD的長=竺一2 二 一; 1802當(dāng)四邊形 OADC；菱形時，則 AD= DC= OC= AO= 2,由（1）知，BC= DCBC= 2.【變式2-1（2019河南南陽一模）如圖，四邊形ABCD!OO的內(nèi)接四邊形，OO的半徑為2,ZB=135 ,則弧AC的長為（A 2 nBnC. D._【分析】根據(jù)弧長公式l nl,需先確定弧AC所對的圓心角/ AOC勺度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓心角 180是圓周角的2倍得到/ AOC2

14、/D,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形又角互補，求出/D=180° -Z B=45 ,再代入弧長公式求解即可.【解析】解：.四邊形 ABC星。的內(nèi)接四邊形,D=180° B=45 ,，弧AC所對圓心角的度數(shù)為：2X45° =90° ,O的半徑為2,弧AC的長為:90 2=支，180故選B.強化精煉:1. (2018 洛陽三模)如圖,在 RtAABO, / ACB90 ,以AC為直徑的。O與余邊 AB交于點D, E為BC邊的中點，連接DE(1)求證：DE是。的切線;(2)填空：若/ B=30° , AG2J3,則 BD當(dāng)/ B=時，以O(shè) D E、C為頂點的四邊形

15、是正方形【答案】見解析【解析】解：(1)連接OD.AC為直徑， / ADC90 , / CDB90 ,E是BC的中點，DE=CE=BE / DCEZ EDC. OD=OC / OCDZ ODCODC/CDm/OCD/DCE90 ,即/ ODE90 , .DE是OO的切線；(2) 3; 45° ,理由如下：/ B=30 , AG2T3, / BCA90 ,BC= AO tan 30° =6,DE=3,由/ B=ZA=45 ,OAOD 得 /ADO/ AOD45 , .ZAOD90 , / DOC90 ,又/ ODE90 , 四邊形ODE基矩形，OD=OC 四邊形ODE基正方形

16、.2. (2018 河南第一次大聯(lián)考)已知 ABC內(nèi)接于以AB為直徑的。0,過點C作。O的切線交BA的延 長線于點D,且DA： AB=1 : 2.(1)求/ CDB勺度數(shù);(2)在切線DC上截取CE=CD連接ER判斷直線EB與。O的位置關(guān)系，并證明.【答案】見解析.【解析】解：(1)如圖，連接OC. CDbO O的切線， .ZOCD90 . DA AB=1： 2,. DA=OC DG2OC1在 RtA DO阱,sin / CDO1 ,2 / CDO30 ,即/ CDB30 .(2)直線EB與。O相切.證明：連接OC由(1)可知/ CDO30 , / COD60 ,. OC=OB / OBC/

17、OCB30 , Z CBD/CDB. CD=CB. CD OO的切線， /OCE90 , / ECB60 ,又.C®CE.CB=CE， CB曰等邊三角形，EB盒/ EBG/CBB90 ,EB是。O的切線.3. (2019 偃師一模)如圖，在 RtABC中，Z AC=90 ,以 AC為直徑的。O與斜邊AB交于點D, E 為BC邊上一點，且 DE是。的切線.(1)求證：BE=EC(2)填空：若/ B=30° , AC=2j3 則 DE;當(dāng)/ B=。時，以Q D, E, C為頂點的四邊形是正方形.【答案】(1)見解析；(2)3;45.【解析】解：(1)證明：如圖，連接 OD .

18、ZACB90 , Ag。0的直徑, EC為。0的切線，.DE為。0的切線，EC=ED/ EDO90 , / BDE/ADO90 ,. OD=OA / ADO/ A, ./ BDE+ZA=90 , /A+/B=90。， .Z BDE=Z B,BE=E。(2)3;45,理由如下：在 RtAABC, / B=30 , AG=2T3,BC=6,由(1)知，E是BC中點,1 一DE=_ BC=3; 2ODEC;正方形，DEC90 ,DE=CE=BE/ B=45 ,故答案為：3; 45.4. (2017 新野一模)如圖，AB為。O的直徑，C為半圓上一動點，過點 C作。0的切線l的垂線BD垂足為 D, BD

19、與O 0交于點E,連接OC CE AE AE交OCT點F. 1)求證： CD降 EFC 2)若 AB=4,連接 AC當(dāng)AC=時，四邊形 OBEC；菱形；當(dāng)AC=時，四邊形EDC函正方形.【答案】見解析.【解析】(1)證明：如圖,. BDL CD /CDE90 ,.AB是直徑， .ZAEB90 , 。比切線， / FCB90 , 四邊形CFED巨形，. CF=DE EF=CDCE=CE . CDM EFC(2)解：當(dāng) AG2時，四邊形 OCE誕菱形.理由：連接OEAC=OAOC=2, .ACO1等邊三角形， / CAO/ AOC60 , / AF390 , / EAB30 , / AEB:90

20、,/ B=60° ,. OE=OB . OE泥等邊三角形， / EOB60 , / COE180 60° 60° =60° , C3OE.COE1等邊三角形， . CE=C(=OB=EB四邊形OCE屋菱形.故答案為2.當(dāng)四邊形DEFO正方形時,. CF=FE / CEE/FCE=45 ,. OCL AE，弧AG弧CE, / CA曰/ CE/=45 , / AC巨90 ,.AE是。的直徑， AOC1等腰直角三角形，. . AC=2>/2 .，AC=2拒時，四邊形DEFO正方形.故答案為2應(yīng).5. (2019 三門峽二模)如圖，AB是半圓O的直徑，D為

21、半圓上的一個動點(不與點A B重合)，連接AD過點O作AD的垂線，交半圓 O的切線AC于點C,交半圓O于點E.連接BE DE 1)求證：/ BED= / C. 2)連接 BD OD CD填空：當(dāng)/ ACO勺度數(shù)為 時，四邊形OBD的菱形；當(dāng)/ ACO勺度數(shù)為 時，四邊形 AODC;正方形.【答案】（1）見解析；（2） 30; 45.【解析】解：（1）證明：設(shè)AD OC交于點P,. OCL AD/ APC= 90. C+ZCAP= 90°.AC是半圓O的切線，/ CAO= / CAR/ BAD= 90 , ./ BAD= / C,. / BED= / BAD ./ BED= / C;(

22、2)30,理由如下：連接BD如圖：.AB是半圓O的直徑， ./ ADB= 90° , . / DAB= / ACO= 30° , / DBA 60. OEL AD 弧 AE=弧 AD, .Z DBE= / ABE= 30° . / DEB= / DAB= 30° , ./ DEB= / ABE DE/ AB. /ADB= 90° ,即 BDL AD OEL ADO曰 BD，四邊形OBDEM平行四邊形. OB= OE四邊形OBD遑菱形；故答案為30° ;45,理由如下：連接CD ODC -川-348 / BED= / ACO= 45 ,

23、 ./ BOD= 2/ BED= 90° , / AOD 90° ,. OCL AD .OCB直平分AD ./ OCD= / OCA= 45° , / ACD 90° , /ACO= 90° ,，四邊形AOD磔矩形，. OA= OD四邊形AOD基正方形，故答案為456. （2019 開封模擬）如圖， CD是。O的直徑，且 CD= 2cm點P為CD的延長線上一點，過點 P作。O的切線PA PB,切點分別為 A B.（1）連接AC若/ APO= 30° ,試證明 ACP等腰三角形;（2）填空：當(dāng)弧AB的長為 cm時，四邊形 AOBDI菱形

24、；當(dāng)DP=cm時，四邊形AOBP1正方形.【答案】（1）見解析；（2） 2_;應(yīng)1.【解析】解：（1）連接AOPA是。O的切線， ./ PAO= 90° , . / APO= 30° , ./ AOP= 60° ,OA= OC/ C= / CAO= 30 ,/ C= / AP330 , . ACP等腰三角形；(2)若四邊形 AOBDI菱形，則 AO= AD). A0= OD .AOD1等邊三角形，/ AOD= 60。，AOB 120 ,. CD=2, 圓O的半徑為1,弧AB的長為:12012=2180 T若四邊形 AOBP；正方形時，則 PA= A0= 1,則 0

25、P= J2 , -0D=1,.PD=72 -1,所以答案為：72-1.7. (2019 西華縣一模)如圖， AB為。0的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接 OF并延長交弧 AC于點D過點D作。0的切線，交BA的延長線于點 E.(1)求證：AC/ DE(2)連接CD若OA=AE=2時，求出四邊形 ACDE勺面積.【答案】見解析.【解析】證明：(1) .F為弦AC (不是直徑)的中點, . AF=CF ODL AC.DE是。0的切線，ODL DE. AC/ DE(2)連接CD. AC/ DE OA=AE=2,. OF=FD. AF=CF /AFG/ CFD . AF羹 CFQSafO=SzCFD,S 四

26、邊形 ACD=Sa ode OHOAAE=2, .OE=4,由勾股定理得：DE=2 . 3 , S 四邊形 acdfSaode1=1 XOD< OE 2=1 X2X 2 73 2=2雜,8. (2019 關(guān)B州聯(lián)考)已知：如圖， ABCft接于。O AB為直徑，/ CBA勺平分線交 AC于點F,交。O于點D, D已AB于點E,且交AC于點P,連結(jié)AD.(1)求證：/ DAC= / DBA(2)求證：P是線段AF的中點；(3)連接CD若CD= 3, BD= 4,求。O的半徑和DE的長.口 OCR Li U 口 JJJUDJUO 工 U PTU 3 11 匚 R【答案】見解析.【解析】（1）

27、證明：.Bd分/ CBA .Z CBD= / DBADACf / CB*弧CD所對的圓周角, ./ DAC= / CBD ./ DAC= / DBA(2)證明：AB為直徑， ./ADB= 90 , DEL AB于 E, ./ DEB= 90° , /ADE/BDE= Z DBE-ZBDE= 90° , ./ ADE= / DBE= / DACPD= PA /DFA/DAf /ADEVBDE= 90° , ./ PDF= / PFDPD= PFPA= PF,即P是線段AF的中點；(3)解：. / CBD= / DBA CD= 3,. CD= AD= 3,由勾股定理得：AB= 5,即。O的半徑為2.5 ,由 DEX AB= ADx BD即：5DE= 3X4, DE= 2.4 .即DE的長為2.4 .9. (2019 安陽二模)如圖，在矩形 ABC用，點O在對角線 AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓 O與AD AC 分別交于點 E, F,且/ ACB= / DCE(1)