圣維南原理的概念及應(yīng)用

1、高等巖石力學(xué)高等巖石力學(xué)第二講：特殊邊界處理與網(wǎng)格劃分問題平面問題的基本方程平面問題的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程（2-2）2. 幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）3. 物理方程物理方程（平面應(yīng)力問題）（平面應(yīng)力問題）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）4. 邊界條件邊界條件位移：位移：vvuuss（2-17）應(yīng)力：應(yīng)力：（2-18）00yyxyxyxxfyxfyxysxysyxsxysxflmfml)()()()(例例1 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2),

2、 ax 0, 1mlysxysyxsxysxflmfml)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq說明：說明：x = 0 的邊界條件，是有矛的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：盾的。由此只能求出結(jié)果：. 0, 0vu0, 0yxff0, 0yxff0,xyffq例例3 圖示水壩，試寫出其邊界條件。圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosmlsinyfycosxyf 由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，

3、有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右側(cè)面：右側(cè)面：sin,cosmltanyxtanyx 0yxff0cossinxyyx0sincosxyx例例4圖示薄板，在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無應(yīng)處無應(yīng)力存在。力存在。解：解： 平面應(yīng)力問題，在平面應(yīng)力問題，在 AC、AB 邊界上無面邊界上無面力作用。即力作用。即0yxffAB 邊界：邊界：111sin,cosml由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有ysxysyxsxysx

4、flmfml)()()()(0cossin0sincos2222xyyxyx（1）AC 邊界：邊界：1222sincosml代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 點(diǎn)同處于點(diǎn)同處于 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，滿足式（滿足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 點(diǎn)處無應(yīng)力作用點(diǎn)處無應(yīng)力作用ZSRock Mass Mechanics1.靜力等效2.圣維南原理及其應(yīng)用2021-11-18ZSZSRock Mass Mechanics1.為什么要用圣維南原理？為什么要用圣維南原理？2.如何應(yīng)用圣維南原理？如何應(yīng)用圣

5、維南原理？3.圣維南原理中主矩的方向是如何定義的？圣維南原理中主矩的方向是如何定義的？4.圣維南原理中主矩是對(duì)那個(gè)點(diǎn)取矩？圣維南原理中主矩是對(duì)那個(gè)點(diǎn)取矩？5.圣維南原理中邊界的面力和應(yīng)力的關(guān)系？圣維南原理中邊界的面力和應(yīng)力的關(guān)系？6.什么是主要邊界？什么是次要邊界？什么是主要邊界？什么是次要邊界？7.為什么正應(yīng)力對(duì)中心點(diǎn)取矩不為零？為什么正應(yīng)力對(duì)中心點(diǎn)取矩不為零？問題的提出：?jiǎn)栴}的提出：PPP 求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足形變分量、位移分量完全滿足8個(gè)基本方程個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，往往相對(duì)容易，但要使邊界條件完

6、全滿足，往往很困難。很困難。 如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。件無法列寫。1. 、靜力等效的概念、靜力等效的概念 兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為為靜力等效力系靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種這種等效等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來而言完全正只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。2.、圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一

7、小部分邊界上的面力，變換為分布，變換為分布不同但不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應(yīng)力分布將有的應(yīng)力分布將有顯著改變，而顯著改變，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP3.、圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用(1) 對(duì)對(duì)復(fù)雜的力邊界復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移邊界位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：(1) 必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；(2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理

8、，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界ZSRock Mass Mechanics例72021-11-18ZS例例7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0hxxyhxxy右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,yxfyf代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有00hxxyh

9、xx上端面：上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！yPxyyx上端面：上端面：（方法（方法2）取圖示微元體，取圖示微元體，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可見，與前面結(jié)果相同?？梢?/p>

10、，與前面結(jié)果相同。注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，例例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力壓應(yīng)力 =0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。xyxy解解材料力學(xué)解答：材料力學(xué)解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）滿足）滿足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否

11、滿足）是否滿足邊界條件？邊界條件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）顯然，顯然，平衡微分方程平衡微分方程滿足。滿足。00 yIPyIP0000式（式（a）滿足）滿足相容方程。相容方程。再驗(yàn)證，式（再驗(yàn)證，式（a）是否滿足）是否滿足邊界條件？邊界條件？0, 022hyyxhyy 滿足滿足00 xx滿足滿足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似滿足近似滿足近似滿足近似滿足結(jié)論：式（結(jié)論：式（a）為正確解）為正確解0)(2222yxyx代入代入相容

12、方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：右側(cè)邊界：右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：ZSRock Mass Mechanics圓孔應(yīng)力集中：應(yīng)力集中程度2021-11-18ZSZSRock Mass Mechanics1. 孔邊應(yīng)力集中概念孔邊應(yīng)力集中概念 由于彈性體中存在小孔，使得由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。稱為孔邊的稱為孔邊的應(yīng)力集中。應(yīng)力集中。應(yīng)力集中系數(shù)：應(yīng)力集中系數(shù)：maxK與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；與孔的大小幾乎無關(guān)。與孔的

13、大小幾乎無關(guān)。（圓孔為最小，其它形狀較大）（圓孔為最小，其它形狀較大）2. 孔邊應(yīng)力集中問題的求孔邊應(yīng)力集中問題的求解解（1）問題：）問題：max 帶有圓孔的無限大板（帶有圓孔的無限大板（B a），圓），圓孔半徑為孔半徑為 a，在無限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力，在無限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力 q 作用。作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。求：孔邊附近的應(yīng)力。ZSRock Mass Mechanics（2）問題的求解）問題的求解 問題分析問題分析坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。),(rA 取一半徑為取一半徑為 r

14、 =b (ba），在其上取一），在其上取一點(diǎn)點(diǎn) A 的應(yīng)力：的應(yīng)力：OxybAqxArrrA由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原問題轉(zhuǎn)化為：原問題轉(zhuǎn)化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。rrbZSRock Mass Mechanicsrr新問題的邊界條件可表示為：新問題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）問題問題12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2co

15、s2qr2sin2qrba問題問題2將外邊界條件（將外邊界條件（a）分解為兩部分：）分解為兩部分：ZSRock Mass Mechanics問題問題12qrba 問題問題1的解：的解：內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2qbrr0brr（b） 該問題為軸對(duì)稱問題，其解為該問題為軸對(duì)稱問題，其解為2112222qbarar2112222qbara0r 當(dāng)當(dāng) ba 時(shí)，有時(shí)，有2122qrar2122qra0r（d）ZSRock Mass Mechanics 問題問題2的解：的解：rrba問題問題2（非軸對(duì)稱問題）（非軸對(duì)稱問題）內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrr2s

16、in2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr 由邊界條件（由邊界條件（c），可假設(shè)：），可假設(shè)： 為為 r 的某一函數(shù)乘的某一函數(shù)乘以以 ； 為為r 的某一函數(shù)乘以的某一函數(shù)乘以 。 r2cosr2sin 又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：22211rrrrrrr1 可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：2cos)(rf 將其代入相容方程：將其代入相容方程：011222222rrrrZSRock Mass Mechanics02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdf

17、rdrrfdrdrrfdrdrrfd 與前面類似，與前面類似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 該方程的特征方程：該方程的特征方程：01644234特征根為：特征根為：, 41, 22, 0324方程的解為：方程的解為：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrArZSRock Mass Mechanics2cos1224rDCBrArrrba問題問題22sin2qr2cos2qr 相應(yīng)的應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分量：22211rrrr2cos)642(42

18、rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有有內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）ZSRock Mass Mechanics264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后令，然后令 a / b = 0，得，得rrba問題問題22sin2qr2cos2qr, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入應(yīng)力分量式（代入應(yīng)力分量式（e）, 有有

19、2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）ZSRock Mass Mechanics將將問題問題1和和問題問題2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-17）討論：討論： （1） 沿孔邊，沿孔邊，r = a，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)2cos21 ( q （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 軸，軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)

20、力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 齊爾西（齊爾西（G. Kirsch）解）解ZSRock Mass Mechanics（3） 沿沿 x 軸，軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4） 若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2ZSRock Mass Mechanics（4） 若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1

21、xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：疊加后的應(yīng)力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）（5） 任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：ZSRock Mass Mechanics（5） 任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。

22、作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：只要知道無孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：qqqqqqqq 45ZSRock Mass Mechanics應(yīng)力集中是在機(jī)械制造、航空航天、造船和建筑等工程應(yīng)用領(lǐng)域中最常見的問題，指構(gòu)件中應(yīng)力分布不均在局部增高的現(xiàn)象。開有圓孔或切口的板條受拉時(shí)，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域，應(yīng)力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。各種材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下，可以不考慮應(yīng)力集中的影響。（塑性材料有屈服階段，

23、當(dāng)局部應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，該處材料可繼續(xù)增長(zhǎng)，而應(yīng)力卻不增加。如果外力繼續(xù)增加，增加的力就有截面上尚未達(dá)到屈服極限的材料來承擔(dān)，使截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力相繼達(dá)到屈服極限。應(yīng)力不均勻程度大大降低，也限制了最大應(yīng)力值）ZSRock Mass Mechanics脆性材料沒有屈服階段，一直領(lǐng)先，首先達(dá)到強(qiáng)度極限，產(chǎn)生斷裂。所以要考慮應(yīng)力集中對(duì)零件承載能力的削弱。但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時(shí)，不論塑性材料還是脆性材料，應(yīng)力集中對(duì)零件都會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。（以上內(nèi)容來自材料力學(xué)）ZSRock Mass Mechanics高人的見解：應(yīng)力集中是指的在某一個(gè)區(qū)域內(nèi)應(yīng)力梯度較大，如果網(wǎng)格稀疏的話，就不會(huì)捕捉到梯

24、度變化較大的應(yīng)力。有應(yīng)力集中未必會(huì)是應(yīng)力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會(huì)發(fā)生應(yīng)力集中。但是應(yīng)力并不是無窮，即不存在應(yīng)力奇異。但是應(yīng)力奇異的地方一定存在應(yīng)力集中。應(yīng)力奇異是modelling過程造成的。我們知道實(shí)際問題中，奇異點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的。ZSRock Mass Mechanics應(yīng)力奇異可以來自與很多因素，比如荷載，邊界條件，邊界的光滑性，材料系數(shù)的光滑性，等等。 奇異點(diǎn)的存在導(dǎo)致有限元解的收斂速度很慢，尤其對(duì)于均勻劃分的網(wǎng)格。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網(wǎng)格情況下應(yīng)變能的變化。使用局部細(xì)化或hp方法的原因是因?yàn)檫@

25、兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應(yīng)力奇異點(diǎn)是不能夠消除的。你的模型固定了，你的奇異點(diǎn)也固定了，通過計(jì)算是消除不掉的，計(jì)算是一個(gè)用估計(jì)解逼近一個(gè)真實(shí)解（精確解），精確解本身帶有奇異點(diǎn)，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應(yīng)力奇異點(diǎn)的做法是錯(cuò)誤的。如果想消除應(yīng)力奇異點(diǎn)，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元，在某一節(jié)點(diǎn)處加集中力，那么此處就是一個(gè)奇異點(diǎn)。要消除它的話，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長(zhǎng)度很小的線上，奇異點(diǎn)就沒有了。ZSRock Mass Mechanics奇異點(diǎn)的定義就是在某一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無窮。舉一個(gè)L形區(qū)域的平面問題，某一個(gè)邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小，角點(diǎn)處的應(yīng)力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點(diǎn)。現(xiàn)在問題來了，一方面我們知道角點(diǎn)處的應(yīng)力無窮，另一方面我們知道對(duì)于很小的荷載，角點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的。問題出在什么地方呢？ZSRock Mass Mechanics首先數(shù)學(xué)模型都是