陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 聚焦反證法拓展資料素材 北師大版選修

1、聚焦反證法反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問題的有力工具對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理1定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法2反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾它可以用下面的程序來表示：“否定推理矛盾肯定”“否定”假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立“推理”從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理“矛盾”通過推導(dǎo)，推出與實(shí)際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定

2、理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設(shè)”矛盾、自相矛盾等“肯定”由于推理過程正確故矛盾是由假設(shè)所引起的，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的3應(yīng)用反證法的原則：正難則反，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法4宜用反證法證明的題型：易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；一些基本定理；“否定性”命題；“惟一性”命題；“必然性”命題；“至少”、“至多”命題等5注意事項(xiàng)：（）應(yīng)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必須恰當(dāng)如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等（2）用反證法證明時(shí)最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評(píng)卷下面舉例說明“反證法”在證題中的應(yīng)用例1設(shè)

3、的公比分別為假設(shè)是等比數(shù)列，則有只需證由于，而從而有，而，故有，即，這與已知相矛盾因此假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)列點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時(shí)，常常采用反證法例2求證：兩條平行線中一條與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交2 / 4已知：平面，如圖1所示求證：直線和平面相交證明：假設(shè)和平面不相交，即或（1）若，因?yàn)椋?，這與相矛盾（2）如果，因?yàn)?，所以和確定一個(gè)平面，顯然平面與平面相交設(shè)，因?yàn)?，所以又，從而且故，這與矛盾由（1），（2）可知，假設(shè)不成立故直線與平面相交例3求證：正弦函數(shù)沒有比小的正周期證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立令，得，即，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，這與矛盾所以正弦函數(shù)沒有比小的正周期例4今有50位同學(xué)，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女？證明結(jié)論解：不存在這樣的座位安排證明：假設(shè)存在這樣的安排，則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰，若以表示男同學(xué)，表示女同學(xué)，則每一對(duì)相鄰而坐的男性（女性）同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對(duì)相鄰而坐的女性（或男性）同學(xué)，如圖2所示，因此男性或