上海八年級(jí)下平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面向量重難點(diǎn)突破1. 向量加法的運(yùn)算及其幾何意義。2. 對(duì)向量加法定義的理解。3. 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義。4. 對(duì)向量減法定義的理解。5. 實(shí)數(shù)與向量積的意義。6. 實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。7. 兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用。8. 對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用。每課一記一、求若干個(gè)向量的和的模(或最值)的問(wèn)題通常按下列步驟進(jìn)行：(1) 尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；(2) 用已知長(zhǎng)度的向量表示待求向量的模，有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì)。二、1.向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB =a，BC =b，則向量AC叫做a與b的和，記

2、作a+b，即a+b=AB + BC = AC。求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2. 向量加法的法則:(1) 向量加法的三角形法則 在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法則。 運(yùn)用這一法則時(shí) 要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)， 則由第 一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。零位移的合成可以看 作向量加法三角形法則的物理模型。(2) 平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則如圖4,以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 a b為鄰邊作平行四邊形，則以 0為起點(diǎn)的對(duì)角線0C就是a與b的和。我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量 加法的平行四邊形法則。3

3、. 向量a，b的加法也滿足交換律和結(jié)合律： 對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a=a 兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相 加，它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段。 當(dāng)a，b不共線時(shí)，|a+b| v|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊)；當(dāng)a，b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a，b共線且方向相反時(shí)，|a+b|=|a|-|b|( 或|b|-|a|)。其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度 大于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我們有 |a+b| < |a

4、|+|b|。 如圖 5,作 AB =a，AD =b，以 AB.AD為鄰邊作二ABCD 則 BC =b，DC =a。因?yàn)?AC =AB +AD =a+b, AC =AD + DC =b+a,所以 a+b=b+a如圖 6,因?yàn)?AD =AC+CD =( AB + BC)+CD=+b)+c ,AD = AB + BD = AB +( BC +CD )=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過(guò)知識(shí)遷移類比獲得 新知識(shí)的過(guò)程與方法。三、用向量法解決物理問(wèn)題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算

5、， 最后回扣物理冋題，解決冋題。四、向量也有減法運(yùn)算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來(lái)的方向，因此a和-a互為相反向量。'于是:-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=O 。所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=O。1. 平行四邊形法則a/ :圖1如圖1，設(shè)向量AB =b，AC =a，則AD =-b，由向量減法的定義，知AE =a+(-b)=a-b 又 b+BC =a，所以 BC =a-b。由此，我們得到a-b的作圖方法。圖22. 三角形法則 如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,

6、作0A=a, OB =b,則BA =a-b，即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義。(1) 定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似，我們規(guī)定，與a長(zhǎng)度相等，方向相反的量，叫做 a 的相反向量，記作-a。(2) 向量減法的定義。我們定義 a-b=a+(-b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。(3) 向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的 幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。五、我們規(guī)定實(shí)數(shù) 入與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記 作入a，它的長(zhǎng)度與方

7、向規(guī)定如下：(1) 1 入 a|=| 入 |a| ; 當(dāng)入0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入V 0時(shí)，入a的方向與a的方 向相反。由(1)可知，入=0時(shí)，入a=0。根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)入、卩為實(shí)數(shù)，那么(1) 入(卩a)=(入卩)a;(2) (入 + )a=入 a+ 卩 a;(3) 入(a+b)=入 a+ 入 b.特別地，我們有(-入)a=-(入a)=入(-a)，入(a - b)=入a -入b。向量共線的等價(jià)條件是：如果a(a工0)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使 b=X a。共線向量可能有以下幾種情況：(1) 有一個(gè)為零向量；(

8、2) 兩個(gè)都為零向量；(3) 同向且模相等；(4) 同向且模不等；反向且模相等；(6)反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大 小由|入| |a|確定。它的幾何意義是把向量 a沿a的方向或a的反方向放大或 縮小。向量的平行與直線的平行是不同的， 直線的平行是指兩條直線在同一平面 內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒(méi)有交點(diǎn)的情況， 又包含兩個(gè)向量在同一條 直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對(duì)于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù) 入、i、 2，恒有 入(ia± 2b)=入ia土入2 bo經(jīng)典例題例1化簡(jiǎn)：(1) BC +AB(2

9、) DB+CD +BC(3) AB+DF +CD +BC +FA解：(1) BC +AB =AB +BC =AC(2) DB +CD+BC =BC+CD+DB =( BC+CD )+ DB=BD + DB=0(3) AB + DF +CD +BC + FA=AB +BC +CD +DF + FA=AC +CD +DF +FA =AD +DF +FA =AF +FA =0解析：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來(lái)求和向量。例 2 若 AC =a+b, DB =a-b 當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？ 當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|a-b|? 當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b平分a與b所夾的角？ a+b與a-b可能是相等向量嗎?解析：如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量 AC、DB恰為平行四邊形的 對(duì)角線。由平行四邊形法則，得AC =a+b, DB = AB - AD =a-b。由此問(wèn)題就可轉(zhuǎn)換為： 當(dāng)邊AB AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？（|a|=|b|） 當(dāng)邊AB AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角