圓的基本性質(zhì)全面版

1、2021-7-27余金耀1圓的基本性質(zhì)圓的基本性質(zhì)2021-7-27余金耀2圓心圓心半徑半徑2.不在同一直線上的不在同一直線上的三個(gè)三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓圓 確定位置確定位置 確定大小確定大小1.2021-7-27余金耀3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 你發(fā)現(xiàn)你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由什么是由什么來決定的呢？來決定的呢？如果圓的半徑為如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為點(diǎn)到圓心的距離為d，則：，則： 點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上 d=r 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi) dr2021-7-27余金耀4OABC點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外BPCBAC點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上BPC=BAC2021-7-27余金耀5O

2、CAB經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的的外接圓外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的，外接圓的圓心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圓的，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形內(nèi)接三角形。問題問題1：如何作三角形的外接：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？圓？如何找三角形的外心？問題問題2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形內(nèi)嗎？在三角形內(nèi)嗎？OCABC90OCABABC是銳角三角形是銳角三角形OCABABC是鈍角三角形是鈍角三角形2021-7-27余金耀6垂直于弦的直徑及其推及其推論論2021-7-27余金耀7圓是圓是中心對稱圖形中心對稱圖形, ,圓還具有圓還

3、具有旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性. .2021-7-27余金耀8想一想想一想：將一個(gè)圓沿著任一條直徑對折，：將一個(gè)圓沿著任一條直徑對折，兩側(cè)半圓會有什么關(guān)系？兩側(cè)半圓會有什么關(guān)系？性質(zhì)：性質(zhì)：圓是圓是軸對稱圖形軸對稱圖形，任何一條，任何一條直徑直徑所在的直線都是它的所在的直線都是它的對稱軸對稱軸。觀察右圖，有什么等量關(guān)系？觀察右圖，有什么等量關(guān)系？OCDABOCDABOBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。2021-7-27余金耀9OBCDAE垂直于弦的直徑垂直

4、于弦的直徑平平分分這條這條弦弦，并且，并且平分平分弦所對弦所對的兩條的兩條弧弧。2021-7-27余金耀10判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的兩個(gè)條件注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不（直徑，垂直于弦）缺一不可！可！2021-7-27余金耀11OABE若圓心到弦的距離用若圓心到弦的距離用d表示，半徑用表示，半徑用r表示，表示，弦長用弦長用a表示，這三者表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？之間有怎樣的關(guān)系？2222adr2021-7-27余金耀12OABCDAC、BD有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ACBD依然成依然

5、成立嗎立嗎？OABCDOABCDFEEA_, EC=_。FDFBOABCD：_ AC=BD.OA=OBOABCD：_ AC=BD.OC=OD2021-7-27余金耀13 如圖，如圖，P為為 O的弦的弦BA延長線上延長線上一點(diǎn)，一點(diǎn)，PAAB2，PO5，求求 O的半徑。的半徑。MAPBO關(guān)于弦的問題，常關(guān)于弦的問題，常常需要常需要過圓心作弦過圓心作弦的垂線段的垂線段，這是一，這是一條非常重要的條非常重要的輔助輔助線線。圓心到弦的距離、圓心到弦的距離、半徑、弦長半徑、弦長構(gòu)成構(gòu)成直直角三角形角三角形，便將問，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。形的問題。2021-7-27余金耀14畫圖

6、敘述垂徑定理，并說出定理的題設(shè)和結(jié)論。畫圖敘述垂徑定理，并說出定理的題設(shè)和結(jié)論。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論直線直線CD經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O直線直線CD垂直弦垂直弦AB直線直線CD平分弦平分弦AB直線直線CD平分弧平分弧ACB直線直線CD平分弧平分弧AB想一想：如果將題設(shè)和想一想：如果將題設(shè)和結(jié)論中的結(jié)論中的5 5個(gè)條件適當(dāng)互個(gè)條件適當(dāng)互換，情況會怎樣？換，情況會怎樣？ OBCDAE2021-7-27余金耀15（1）平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑的直徑垂直于弦垂直于弦，并且，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條??；（2 2）弦的垂直平分線弦的垂直平分線經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心，并且并且平分弦所對的兩條

7、弧平分弦所對的兩條弧；（3 3）平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦垂直平分弦并且并且平分弦所對的另一條弧平分弦所對的另一條弧。OBCDAE2021-7-27余金耀16如圖如圖，CD為為 O的直徑的直徑，ABCD，EFCD，你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？圓的兩條圓的兩條平行弦平行弦所夾的弧相等所夾的弧相等。FOBAECD2021-7-27余金耀17圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系2021-7-27余金耀18圓的性質(zhì)圓的性質(zhì) 圓是軸對稱圖形，每一條直徑所圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。在的直線都是對稱軸。 圓是以圓心為對稱中心的圓是以圓心為對稱中心的

8、中心對中心對稱圖形。稱圖形。 圓還具有圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞圓，即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與，都能與原來的圖形重合。原來的圖形重合。2021-7-27余金耀19如圖，如圖，AOBAOB，OCAB，OCAB。猜想：猜想：弧弧AB與弧與弧AB，AB與與AB，OC與與OC之間的關(guān)系，并證明你的猜想。之間的關(guān)系，并證明你的猜想。定理定理 相等的圓心角相等的圓心角所對的所對的弧弧相等，所對的相等，所對的弦弦相相等，所對的弦的等，所對的弦的弦心弦心距距相等。相等。在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，OABCABC2021-7-27余金耀20圓心角所對的弧相等，圓心角所對的

9、弧相等， 圓心角圓心角所對的弦相等，所對的弦相等， 圓心角圓心角所對弦的弦心距相等。所對弦的弦心距相等。在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中在同圓或等圓中( (前提前提) )圓心角相等圓心角相等（條件）（條件）2021-7-27余金耀211圓心角圓心角1弧弧OABCDn圓心角圓心角n弧弧圓心角的度數(shù)圓心角的度數(shù)和它所對的弧和它所對的弧的度數(shù)相等。的度數(shù)相等。2021-7-27余金耀22圓周

10、角圓周角2021-7-27余金耀23OBACOBCAOCAB2021-7-27余金耀24OCABOCABOCAB化化歸歸化化歸歸分類討論分類討論完全歸納法完全歸納法2021-7-27余金耀25OCAB1、已知、已知AOB75，求：求： ACBOCAB2、已知、已知AOB120，求：求： ACBODBAC3、已知、已知ACD30，求：，求： AOBOBAC4、已知、已知AOB110，求：求： ACB2021-7-27余金耀26推論推論 定理：一條弧所對的圓周角等于它所定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。對的圓心角的一半。 也可以理解為：一條弧所對的圓心角也可以理解為：一條弧所對的圓

11、心角是它所對的圓周角的二倍；是它所對的圓周角的二倍；圓周角的圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。 弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？ 什么時(shí)候圓周角是直角？反過來呢？什么時(shí)候圓周角是直角？反過來呢？ 直角三角形斜邊中線有什么性質(zhì)？反過直角三角形斜邊中線有什么性質(zhì)？反過來呢？來呢？2021-7-27余金耀27OBADEC如圖，比較如圖，比較ACBACB、ADBADB、AEBAEB的大小的大小同弧所對的圓同弧所對的圓周角相等周角相等如圖，如果弧如圖，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是什么關(guān)系？反過來呢？是什么

12、關(guān)系？反過來呢？DCEBFAO等弧所對的圓周角相等；在等弧所對的圓周角相等；在同圓中，相等的圓周角所對同圓中，相等的圓周角所對的弧也相等的弧也相等DCEO1BFAO2如圖，如圖，O O1 1和和O O2 2是是等圓，如果弧等圓，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么E E和和F F是是什么關(guān)系？反過來呢？什么關(guān)系？反過來呢？等圓也成立等圓也成立2021-7-27余金耀28推論推論1 1同弧或等弧所對的圓周角相等同弧或等弧所對的圓周角相等同圓或等圓中，相等的圓周角所對的同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等?；∠嗟?。思考：思考：1 1、“同圓或等圓同圓或等圓”的條件能否去掉？的條件能否去掉？2

13、2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓周角中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的圓周角中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等。其余各組量也相等。OBACDOCBAFED2021-7-27余金耀29關(guān)于等積式的證明關(guān)于等積式的證明如圖，已知如圖，已知ABAB是是O O的弦，半徑的弦，半徑OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求證：求證：PAPA2 2PCPDPCPDCDPBAO經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)驗(yàn)：證明等積式，通常利用相似；證明等積式，通常利用相似；找角相等，要有找同

14、弧或等弧找角相等，要有找同弧或等弧所對的圓周角的意識；所對的圓周角的意識；2021-7-27余金耀30OBADEC推論推論2 2半圓（或直徑）所對的圓周角半圓（或直徑）所對的圓周角是是9090；9090的圓周角所對的弦是直徑。的圓周角所對的弦是直徑。推論推論3 3如果三角形一邊上的中線等于如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。角三角形。 什么時(shí)候圓周角是直角？什么時(shí)候圓周角是直角？反過來呢？反過來呢？ 直角三角形斜邊中線有直角三角形斜邊中線有什么性質(zhì)？反過來呢？什么性質(zhì)？反過來呢？2021-7-27余金耀31ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為

15、的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為2cm的圓上，的圓上，BC=2 cm，求求A的度數(shù)。的度數(shù)。3OD A圓中圓中多解多解問題問題2021-7-27余金耀32半徑為半徑為2.52.5的的OO中，直徑中，直徑ABAB的不同側(cè)有的不同側(cè)有定點(diǎn)定點(diǎn)C C和動點(diǎn)和動點(diǎn)P P已知已知BC BC ：CACA4 : 34 : 3，點(diǎn)點(diǎn)P P在上運(yùn)動，過點(diǎn)在上運(yùn)動，過點(diǎn)C C作作CPCP的垂線，與的垂線，與PBPB的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)O O( (l l) )當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P與點(diǎn)與點(diǎn)C C關(guān)于關(guān)于ABAB對稱時(shí)，求對稱時(shí)，求CQCQ的長；的長；(3）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，運(yùn)動到什么位置時(shí)，CQ取到取到最大值？求此時(shí)

16、最大值？求此時(shí)CQ的長的長(2）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長；的長； 2021-7-27余金耀33如圖，弦如圖，弦AB和和CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P,且且CD是是ACB的平分線的平分線問題（問題（1）：你能找）：你能找出圖中相等的圓周出圖中相等的圓周角和相等的線段嗎角和相等的線段嗎?問題（問題（2）：圖中有哪些）：圖中有哪些相似的三角形？相似的三角形？問題（問題（3）：若點(diǎn)）：若點(diǎn)C在在圓上上運(yùn)動（不和圓上上運(yùn)動（不和A，B重合），在此運(yùn)動重合），在此運(yùn)動過程中，哪些線段是過程中，哪些線段是不變的，哪些線段發(fā)不變的，哪些線段發(fā)生了改變？生了改變？OPDCBA2021

17、-7-27余金耀34 如圖，弦如圖，弦AB和和CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P,且且CD是是ACB的平分線的平分線問題（問題（4）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在點(diǎn)在點(diǎn)C運(yùn)動的過程中運(yùn)動的過程中,四邊形四邊形ADBC的最大面積為的最大面積為多少多少?此時(shí)此時(shí)CAD等等于多少度于多少度?3OPDCBA2021-7-27余金耀35如圖，弦如圖，弦AB和和CD交于點(diǎn)交于點(diǎn)P,且且CD是是ACB的平分線的平分線（5）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在點(diǎn)在點(diǎn)C運(yùn)動的過程中運(yùn)動的過程中, 當(dāng)當(dāng)CAD等于多少度時(shí)等于多少度時(shí),四邊形四邊形ADBC是梯形是梯形?證明你的理由證明你的理由3OPDCBA2

18、021-7-27余金耀362 2、如圖，在、如圖，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，則的外心，則 BOCBOC . .8080如果如果O為內(nèi)心，為內(nèi)心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判斷：三點(diǎn)確定一個(gè)圓（）、判斷：三點(diǎn)確定一個(gè)圓（）練習(xí)練習(xí)2021-7-27余金耀37例題講解例題講解 例例1 1、如圖，已知在、如圖，已知在O O中，弦中，弦ABAB的長的長為為8 8厘米，圓心厘米，圓心O O到到ABAB的距離為的距離為3 3厘米，厘米，求求O O的半徑。的半徑。COBA2021-7-27余金耀38 例例2 2、如圖，在、如圖，在O O中，中，

19、AC=BDAC=BD， (1)(1)圖中有哪些相等關(guān)系？圖中有哪些相等關(guān)系？ (2)(2)如果如果1=451=45，求，求2 2的度數(shù)的度數(shù)。 (3)(3)如果如果ADAD是是O O的直徑，的直徑，1=451=45求求BDABDA的度數(shù)的度數(shù)21ODACB只要我們堅(jiān)持了，就沒有克服不了的困難?；蛟S，為了將來，為了自己的發(fā)展，我們會把一件事情想得非常透徹，對自己越來越嚴(yán)，要求越來越高，對任何機(jī)會都不曾錯過，其目的也只不過是不讓自己隨時(shí)陷入逆境與失去那種面對困難不曾屈服的精神。但有時(shí)，“千里之行，始于足下?！蔽覀兏枰脮r(shí)間持久的用心去做一件事情，讓自己其中那小小的淺淺的進(jìn)步，來擊破打破突破自己那

20、本以為可以高枕無憂十分舒適的區(qū)域，強(qiáng)迫逼迫自己一刻不停的馬不停蹄的一直向前走，向前看，向前進(jìn)。所有的未來，都是靠腳步去丈量。沒有走，怎么知道，不可能；沒有去努力，又怎么知道不能實(shí)現(xiàn)？幸福都是奮斗出來的。那不如，生活中、工作中，就讓這“幸福都是奮斗出來的”完完全全徹徹底底的滲入我們的心靈，著心、心平氣和的去體驗(yàn)、去察覺這一種靈魂深處的安詳，側(cè)耳聆聽這僅屬于我們自己生命最原始最動人的節(jié)奏。但，這種聆聽，它絕不是僅限于、執(zhí)著于“我”，而是觀察一種生命狀態(tài)能夠擴(kuò)展和超脫到什么程度，也就是那“幸福都是奮斗出來的”深處又會是如何？生命不止，奮斗不息！又或者，對于很多優(yōu)秀的人來說，我們奮斗了一輩子，拼搏了一

21、輩子，也只是人家的起點(diǎn)?？墒?，這微不足道的進(jìn)步，對于我們來說，卻是幸福的，也是知足的，因?yàn)槲覀兦迩宄闹雷约盒枰氖鞘裁?，隱隱約約的感覺到自己的人生正把握在自己手中，并且這一切還是通過我們自己勤勤懇懇努力，去積極爭取的!“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來?！碑?dāng)我們坦然接受這人生的終局，或許，這無所皈依的心靈就有了歸宿，這生命中覓尋處那真正的幸福、真正的清香也就從此真正的燦爛了我們的人生。一生有多少屬于我們的時(shí)光？陌上的花，落了又開了，開了又落了。無數(shù)個(gè)歲月就這樣在悄無聲息的時(shí)光里靜靜的流逝。童年的玩伴，曾經(jīng)的天真，只能在夢里回味，每回夢醒時(shí)分，總是多了很多傷感。不知不覺中，走過了青春年少，走

22、過了人世間風(fēng)風(fēng)雨雨。愛過了，恨過了，哭過了，笑過了，才漸漸明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然規(guī)律。所以，面對生活中經(jīng)歷的一切順境和逆境都學(xué)會了坦然承受，面對突然而至的災(zāi)難多了一份從容和冷靜。這世上沒有什么不能承受的，只要你有足夠的堅(jiān)強(qiáng)！這世上沒有什么不能放下的，只要你有足夠的胸襟！一生有多少屬于我們的時(shí)光？當(dāng)你為今天的落日而感傷流淚的時(shí)候，你也將錯過了明日的旭日東升；當(dāng)你為過去的遺憾郁郁寡歡，患得患失的時(shí)候，你也將忽略了沿途美麗的風(fēng)景，淡漠了對未來美好生活的憧憬。沒有十全十美的生活，沒有一帆風(fēng)順的旅途。波平浪靜的人生太乏味，抑郁憂傷的人生少歡樂，風(fēng)雨過后的彩虹最絢麗，歷經(jīng)磨礪的生命

23、才豐盈而深刻。見過了各樣的人生：有的輕浮，有的踏實(shí)；有的喧嘩，有的落寞；有的激揚(yáng)，有的低回。肉體凡胎的我們之所以苦惱或喜悅，大都是緣于生活里的際遇沉浮，走不出個(gè)人心里的藩籬。也許我們能挺得過物質(zhì)生活的匱乏，卻不能抵擋住內(nèi)心的種種糾結(jié)。其實(shí)幸福和歡樂大多時(shí)候是對人對事對生活的一種態(tài)度，一花一世界，一樹一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我們終有一天會灰飛煙滅，一切象風(fēng)一樣無影亦無蹤，還去爭個(gè)什么？還去抱怨什么？還要煩惱什么？未曾生我誰是我？生我之時(shí)我是誰？長大成人方是我，合眼朦朧又是誰？一生真的沒有多少時(shí)光，何必要和生活過不去，和自己過不去呢。你在與不在，太陽每天都會照常升起

24、；你愁與不愁，生活都將要繼續(xù)。時(shí)光不會因你而停留，你卻會隨著光陰而老去。有些事情注定會發(fā)生，有的結(jié)局早已就預(yù)見，那么就改變你可以改變的，適應(yīng)你必須去適應(yīng)的。面對幸與不幸，換一個(gè)角度，改變一種思維，也許心空就不再布滿陰霾，頭上就是一片蔚藍(lán)的天。一生能有多少屬于我們的時(shí)光，很多事情，很多人已經(jīng)漸漸模糊。而能隨著歲月積淀下來，在心中無法忘卻的，一定是觸動心靈，甚至是刻骨銘心的，無論是傷痛是歡愉。人生無論是得意還是失意，都不要錯過了清早的晨曦，正午的驕陽，夕陽的絢爛，暮色中的朦朧。經(jīng)歷過很多世態(tài)炎涼之后，你終于能懂得：誰會在乎你？你又何必要別人去在乎？生于斯世，赤條條的來，也將身無長物的離開，你在世上

25、得到的，失去的，最終都會化作塵埃。原本就不曾帶來什么，所以也談不到失去什么，因此，對自己經(jīng)歷的幸與不幸都應(yīng)懷有一顆平常心有一顆平常心，面對人生小小的不如意或是飛來橫禍就能坦然接受，知道人有旦夕禍福，這和命運(yùn)沒什么關(guān)系；有一顆平常心，面對臺下的鮮花掌聲和頭上的光環(huán)，身上的浮名都能清醒看待?；ú怀ｉ_，人不常在。再熱鬧華美的舞臺也有謝幕的時(shí)候；再奢華的宴席，悠揚(yáng)的樂曲，總有曲終人散的時(shí)刻。春去秋來，我們無法讓季節(jié)停留；同樣如同季節(jié)一樣無法挽留的還有我們匆匆的人生。誰會在乎你？生養(yǎng)我們的父母?？v使我們有千般不是，縱使我們變成了窮光蛋，唯有父母會依然在乎！為你愁，為你笑，為你牽掛，為你滿足。這風(fēng)云變幻的世界，除了父母，不敢在斷言還會有誰會永遠(yuǎn)的在乎你！看慣太多海誓山盟的感情最后星流云散；看過太多翻云覆雨的友情灰飛煙滅。你春風(fēng)得意時(shí)前呼后擁的都來