曾謹(jǐn)言量子力學(xué)第3章

1、第第 3 章章 力學(xué)量用算符表達(dá)力學(xué)量用算符表達(dá)(a) 線性算符：線性算符：凡滿足下列規(guī)則的算符凡滿足下列規(guī)則的算符A，稱為線性算符，稱為線性算符。11221122() (1)A ccc Ac ANote: 刻畫可觀測量的算符都是線性算符刻畫可觀測量的算符都是線性算符單位算符單位算符I：保持波函數(shù)不變的算符保持波函數(shù)不變的算符)2( I算符相等：算符相等：若兩個(gè)算符對體系的任何波函數(shù)的運(yùn)算所得結(jié)果若兩個(gè)算符對體系的任何波函數(shù)的運(yùn)算所得結(jié)果 都相同，則稱這兩個(gè)算符相等。都相同，則稱這兩個(gè)算符相等。)3( BABA算符：算符：量子力學(xué)中的算符就是對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算量子力學(xué)中的算符就是對波

2、函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算( c ) 算符之積：算符之積： 兩個(gè)算符兩個(gè)算符A和和B的積記為的積記為AB。定義如下：對任何。定義如下：對任何 波函數(shù)有波函數(shù)有)5( )()(BABA1. 對易子對易子(commutator)6( ,ABBABA(b) 算符之和算符之和: 算符算符A,B之和，記為之和，記為A+B。定義如下：對任何波函。定義如下：對任何波函 數(shù)有數(shù)有)4( )(BABA;()()ABBAABCABC交換律交換律:結(jié)合律結(jié)合律:Note: 一般來說，算符之積不滿足交換律一般來說，算符之積不滿足交換律若若A,B=0,則稱算符則稱算符A,B是對易的是對易的；若若A,B0, 則稱算符則稱算

3、符A, B不對易不對易。恒等式)(0, , , ,JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBACABACBAABBA2.量子力學(xué)的基本対易關(guān)系量子力學(xué)的基本対易關(guān)系,i ( , , )xpx y z 對易子的性質(zhì)對易子的性質(zhì)證明：證明：ixxpxx i()iixp xxxxx 對任意波函數(shù)對任意波函數(shù)有有3. 角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符lrp iiixzyyxzzyxlypzpyzzylzpxpzxxzlxpypxyyx 則則 ()ixxxpp x 即即 ,ixx p 分量表述分量表述球坐標(biāo)系下的角動(dòng)量算符球坐標(biāo)系下的角動(dòng)量算符)/arctan()/arctan( ,cossi

4、nsincossin22222xyzyxzyxrrzryrxisincotcosicoscotsinizyxlll22222sin1sinsin1lxxl i,1123ppli,llli,llli2222zyxllll),( , 0,2zyxll角動(dòng)量的對易關(guān)系角動(dòng)量的對易關(guān)系或或定義角動(dòng)量平方算符定義角動(dòng)量平方算符對易關(guān)系對易關(guān)系板書證明部分角動(dòng)量對易關(guān)系板書證明部分角動(dòng)量對易關(guān)系Levi-Civita 符號符號練習(xí)：練習(xí)：令令yxllli證明證明（升、降算符）（升、降算符）lllz,zlll2,zzlllll22（注意算符的叉積注意算符的叉積與兩個(gè)矢量叉積的與兩個(gè)矢量叉積的區(qū)別）區(qū)別）(d

5、)逆算符：逆算符：設(shè)設(shè)A1A111)(ABBA能唯一地解出能唯一地解出，則可定義算符，則可定義算符A的逆算符的逆算符A-1為為說明：說明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2) 若算符若算符A有逆，則有有逆，則有0, ,111AAIAAAA(3) 若算符若算符A,B的逆均存在，則有的逆均存在，則有(f) 算符的函數(shù)算符的函數(shù)0)(!)0()(nnnxnFxF0)(!)0()(nnnAnFAF0dddd!ddnnnnxaxnaexF若函數(shù)若函數(shù)F(x)的各階導(dǎo)數(shù)存在，冪級數(shù)展開收斂的各階導(dǎo)數(shù)存在，冪級數(shù)展開收斂則可定義算符則可定義算符A的函數(shù)的函數(shù)F

6、(A)為為如如)()(ddaxxexa則則平移算符平移算符),(),(),(yxFyxyxFmmnnmnmnmnmnBAmnFBAF!)0 , 0(),(0,),(兩個(gè)算符的函數(shù)兩個(gè)算符的函數(shù)兩個(gè)任意量子態(tài)的兩個(gè)任意量子態(tài)的標(biāo)積：標(biāo)積：d),(對一維粒子對一維粒子xdd對三維粒子對三維粒子dddsindddd2rrzyx算符的乘冪：算符的乘冪：定義算符定義算符A的的n次冪為次冪為 nnAAAA例，例，若若xAdd則則nnnxAdd顯然算符的乘冪滿足：顯然算符的乘冪滿足：nmnmAAA0,nmAA),(),(),(),(),(),(),(),(0),(2211221122112211cccccc

7、cc標(biāo)積的性質(zhì)標(biāo)積的性質(zhì)d),(f) 轉(zhuǎn)置算符：轉(zhuǎn)置算符： 算符算符A的轉(zhuǎn)置定義為的轉(zhuǎn)置定義為AAdd),(),(AAxx或或例如：例如：證明：證明：xxxxxxdddxxxxdd按轉(zhuǎn)置算符的定義，上式的左邊有按轉(zhuǎn)置算符的定義，上式的左邊有則則0dxxx由于函數(shù)由于函數(shù)，是任意的，則有是任意的，則有0 xx即即xx練習(xí)練習(xí) 證明：證明：(g)復(fù)共軛算符和厄米共軛算符復(fù)共軛算符和厄米共軛算符算符算符A 的復(fù)共軛算符的復(fù)共軛算符A*定義為定義為)40( )(AA通常算符通常算符A的復(fù)共軛算符的復(fù)共軛算符A* 按如下方法求解：按如下方法求解： 把算符把算符A中的中的所有量都換成其復(fù)共軛。所有量都換成

8、其復(fù)共軛。如如ppi)i(算符算符A 的的厄米共軛算符厄米共軛算符A+定義為定義為)41( ),(),(AA則則),(),(),(),(),(AAAAA所以所以 AA(1) , (2) ()TxxppABBA 如如pppp性質(zhì)性質(zhì)ABCCBA)(h) 厄米算符厄米算符滿足下列關(guān)系的算符稱為厄米算符（自共軛算符），或說是厄米的滿足下列關(guān)系的算符稱為厄米算符（自共軛算符），或說是厄米的)41( ),(),(AAAA或Note: 所有力學(xué)量的算符均是厄米算符所有力學(xué)量的算符均是厄米算符性質(zhì)性質(zhì)： (1) 兩個(gè)厄米算符之和仍是厄米算符兩個(gè)厄米算符之和仍是厄米算符 (2)兩個(gè)厄米算符之積不一定是厄米算符

9、兩個(gè)厄米算符之積不一定是厄米算符(3)無論厄米算符無論厄米算符A,B是否對易，算符是否對易，算符)(i 21 ),(21ABBAABBA均是厄米算符均是厄米算符（4）任何算符總可分解為兩個(gè)厄米算符的線性組合任何算符總可分解為兩個(gè)厄米算符的線性組合OOOi令令)(i 21 ),(21OOOOOO則則O+和和O-均是厄米算符。均是厄米算符。即即定理：定理： 在體系的任何狀態(tài)下，厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。在體系的任何狀態(tài)下，厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。證明：證明： ( ,)(,)( ,) AAAAA 逆定理：逆定理：在任何狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符在任何狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符證

10、明：證明： 按照假定按照假定 AA即即),(),(),(AAA取取 = =1+c2, , 1 1, , 2 2也是任意的，也是任意的，c c是任意常數(shù)，代入上式是任意常數(shù)，代入上式),(),(),(),(),(),(),(),( 222211211222211211AcAcAcAAcAcAcA在任意態(tài)下算符在任意態(tài)下算符A的平均值都是實(shí)數(shù)，即的平均值都是實(shí)數(shù)，即),(),( ),(),(22221111AAAA),(),(),(),( 21122112AcAcAcAc所以所以分別令分別令c=1和和c=i得到得到),( ),(),(),( 12122121AAAA),( ),(),(),( 12

11、122121AAAA兩式分別相加、減得兩式分別相加、減得 ),(),( ),(),( 12122121AAAA推論：推論：設(shè)設(shè)A 是厄米算符，則在任意態(tài)下有是厄米算符，則在任意態(tài)下有222( ,)(,)d0AAAAA-END注：注：實(shí)驗(yàn)上的可觀測量在任何狀態(tài)下的平均值都是實(shí)數(shù)，相應(yīng)實(shí)驗(yàn)上的可觀測量在任何狀態(tài)下的平均值都是實(shí)數(shù)，相應(yīng) 的算符必定是厄米算符的算符必定是厄米算符設(shè)厄米算符設(shè)厄米算符A在任意態(tài)在任意態(tài)下的平均值為零，則下的平均值為零，則A為零算符，為零算符，即即)( 0任意A證明證明：0),(AAA，0),(2)(,(),(),(),(),()(,22AAAAAAAAAAAAAAA在態(tài)

12、在態(tài)A下的平均值也為零下的平均值也為零 ，即，即即即0d2A所以所以0A 3.2 3.2 厄米算符的本征值與本征函數(shù)厄米算符的本征值與本征函數(shù)) 1 ( d)()(222AAAAA)2( 0d)(22AAA0)(AA)3( nnnAA漲落：漲落：力學(xué)量的測量值圍繞其平均值的上下波動(dòng)。力學(xué)量的測量值圍繞其平均值的上下波動(dòng)。利用算符的厄米性可得利用算符的厄米性可得本征態(tài)：本征態(tài)：若體系處于一特殊態(tài)，測量力學(xué)量若體系處于一特殊態(tài)，測量力學(xué)量A所得結(jié)果是唯一確定所得結(jié)果是唯一確定 的，即漲落為零，則稱這種狀態(tài)是力學(xué)量的，即漲落為零，則稱這種狀態(tài)是力學(xué)量A的本征態(tài)。的本征態(tài)。即即或?qū)懗苫驅(qū)懗葾n稱為算符

13、稱為算符A的本征值，的本征值，n為相應(yīng)的本征態(tài)，為相應(yīng)的本征態(tài)，方程方程(3)稱為稱為算符算符A的本征方程。的本征方程。定理定理1 厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)nnnnnnAAAA),(),(量子力學(xué)的測量公設(shè)：量子力學(xué)的測量公設(shè)：在任意態(tài)下測量力學(xué)量在任意態(tài)下測量力學(xué)量A時(shí)所有可能出現(xiàn)時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都相應(yīng)于線性厄米算符的值，都相應(yīng)于線性厄米算符A的本征值；當(dāng)體系處于算符的本征值；當(dāng)體系處于算符A的的本征態(tài)時(shí)，則每次測量所得的結(jié)果都是完全確定的，即本征態(tài)時(shí)，則每次測量所得的結(jié)果都是完全確定的，即An定理定理 2 厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交厄米算符的屬于

14、不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證明證明： mmmnnnAAAA ,mmmAA),(),(nmmnmAA0),)(nmnmAA設(shè)設(shè)取上式的復(fù)共軛得取上式的復(fù)共軛得上式右乘上式右乘n，并積分得，并積分得對厄米算符對厄米算符A,有有),(),(),(),(nmmnmnnmnmAAAA所以所以若若mnAA ，則必有，則必有0),(nm-證畢證畢例題例題1 求角動(dòng)量的求角動(dòng)量的z分量的本征值與本征函數(shù)分量的本征值與本征函數(shù)解：解：本征方程本征方程zl i/ilnzl/iexp)(zlC)()2(, 2, 1, 0,mmlzmmCei)(12d)(2202Cm, 2, 1, 0,21)(imemm整理得整理

15、得其解為其解為周期性邊界條件周期性邊界條件所以所以相應(yīng)的本征函數(shù)為相應(yīng)的本征函數(shù)為歸一化歸一化即即例題例題2 2 平面轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài)平面轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài)解：解： 平面轉(zhuǎn)子的哈密頓為平面轉(zhuǎn)子的哈密頓為222222IIlHz能量本征方程能量本征方程EI2222解為解為, 2, 1, 0,21)(imemm能量本征值為能量本征值為ImEm222顯然，除了顯然，除了m = 0外，對應(yīng)一個(gè)本征值外，對應(yīng)一個(gè)本征值Em，有兩個(gè)本征態(tài)，有兩個(gè)本征態(tài)，能級二重簡并。能級二重簡并。思考題：思考題：平面轉(zhuǎn)子的能量本征態(tài)可否取為實(shí)函數(shù)平面轉(zhuǎn)子的能量本征態(tài)可否取為實(shí)函數(shù)sinm,cosm? ? 此時(shí)

16、它們是否仍為此時(shí)它們是否仍為lz的本征態(tài)？的本征態(tài)？例題例題3 求動(dòng)量求動(dòng)量x分量的本征態(tài)分量的本征態(tài)解：解：動(dòng)量動(dòng)量x分量的算符分量的算符xpx i本征方程為本征方程為xpx i/i)(xppxxCex其解為其解為)(d)()(xxppppxxxxx 連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化，習(xí)慣上取連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化，習(xí)慣上取/i21)(xppxxex波函數(shù)滿足波函數(shù)滿足例題例題4 一維自由粒子的能量本征態(tài)一維自由粒子的能量本征態(tài)解：解： 一維自由粒子的一維自由粒子的Hamilton 量為量為2222dd22xmmpHx本征方程：本征方程：Exm222dd2本征函數(shù)：本征函數(shù)：0/2 ,imEkek

17、x能量本征值：能量本征值：02/22mkE能級二重簡并能級二重簡并思考題：思考題：自由粒子的能量本征態(tài)可否取為自由粒子的能量本征態(tài)可否取為sinkx與與coskx? 此時(shí)它們是否還是此時(shí)它們是否還是px的本征態(tài)？它們是否有確定的宇稱？的本征態(tài)？它們是否有確定的宇稱？ 相應(yīng)的粒子流密度是多少？相應(yīng)的粒子流密度是多少？能級簡并能級簡并設(shè)力學(xué)量設(shè)力學(xué)量A的本征方程為的本征方程為nnnnfAA, 2 , 1 ,屬于本征值屬于本征值A(chǔ)n的本征函數(shù)有的本征函數(shù)有fn個(gè)，則個(gè)，則稱本征值稱本征值A(chǔ)n 是是fn重簡并的重簡并的。一般來說，簡并態(tài)的選擇并不是唯一的，簡并態(tài)間也不一定彼此一般來說，簡并態(tài)的選擇并不

18、是唯一的，簡并態(tài)間也不一定彼此正交，但總可以適當(dāng)?shù)鼐€性組合使之彼此正交。正交，但總可以適當(dāng)?shù)鼐€性組合使之彼此正交。證明證明： 令令nfnnfan, 2 , 1 ,1 ,11nnfnfnnnAaAAaAnn),(nn則則即即n仍是算符仍是算符A的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值仍是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值仍是An可選擇系數(shù)可選擇系數(shù)a使得使得n具有正交性，即具有正交性，即) 1(21) 1(21nnnnnfffff上述條件共有上述條件共有個(gè)個(gè)系數(shù)系數(shù)a的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為2nf可以證明可以證明) 1(212nnnfff因此總可以找到一組因此總可以找到一組a使得新波函數(shù)滿足正交化條件使得新波函數(shù)滿足正交化條件-Sc

19、hmidt正交化方案正交化方案。 確確定簡并態(tài)的方法：定簡并態(tài)的方法：如果算符如果算符A A 的本征態(tài)是簡并的，往往選用的本征態(tài)是簡并的，往往選用其它力學(xué)量的本征值對簡并態(tài)進(jìn)行分類，此時(shí)正交性問題自動(dòng)其它力學(xué)量的本征值對簡并態(tài)進(jìn)行分類，此時(shí)正交性問題自動(dòng)解決，這就涉及到了兩個(gè)或多個(gè)力學(xué)量的共同本征態(tài)的問題解決，這就涉及到了兩個(gè)或多個(gè)力學(xué)量的共同本征態(tài)的問題兩個(gè)力學(xué)量是否可以有共同的本征態(tài)？或者，是否可以同時(shí)確定？兩個(gè)力學(xué)量是否可以有共同的本征態(tài)？或者，是否可以同時(shí)確定？正交條件數(shù)正交條件數(shù)歸一條件數(shù)歸一條件數(shù) 3.3 3.3 共同本征函數(shù)共同本征函數(shù)3.3.1 不確定關(guān)系的嚴(yán)格證明不確定關(guān)系的

20、嚴(yán)格證明di)(2BAI),(), ,(i),( ),(),(i),(i),( )i,i()(2222BBAABBABBAAABABAI0)4/()2/( )(222222222ACBACABCAI設(shè)有兩個(gè)力學(xué)量設(shè)有兩個(gè)力學(xué)量A和和B， 考慮下列積分不等式考慮下列積分不等式其中，其中，為任意波函數(shù)，為任意波函數(shù)，為任意實(shí)參數(shù)，為任意實(shí)參數(shù)，A, B均是厄米算符。均是厄米算符。上式可寫成上式可寫成引進(jìn)厄米算符引進(jìn)厄米算符CBACi / ,則則 ,212122BACBA,21)()(22BABA)8( ,21BABA04/222ACB取取22/ AC，則得到，則得到即即22241CBA代換代換BB

21、BBAAAA ;或或上式就是任意兩個(gè)力學(xué)量上式就是任意兩個(gè)力學(xué)量A和和B在任意量子態(tài)下的漲落所必須滿足在任意量子態(tài)下的漲落所必須滿足的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系(uncertainty relation),BABA則有則有則則特例：特例： 若若A=x, B=px, 且且 i,xpx則有則有2/xpx顯然，若兩個(gè)力學(xué)量顯然，若兩個(gè)力學(xué)量A和和B不對易，則一般來說不對易，則一般來說A和和B不能同時(shí)不能同時(shí)為零，即為零，即A,B 不能同時(shí)測定（特殊態(tài)例外），或者說，它們不能不能同時(shí)測定（特殊態(tài)例外），或者說，它們不能有共同本征態(tài)；反之，若兩個(gè)厄米算符有共同本征態(tài)；反之，若兩個(gè)厄米

22、算符A 和和B對易，則可找出這樣對易，則可找出這樣的態(tài)，的態(tài)，使使A=0和和B=0可以同時(shí)滿足，即可找到它們共同的本征可以同時(shí)滿足，即可找到它們共同的本征態(tài)。態(tài)。思考題思考題1 若兩個(gè)厄米算符有共同的本征態(tài)，是否它們就彼此對易？若兩個(gè)厄米算符有共同的本征態(tài)，是否它們就彼此對易？ （不一定）（不一定）思考題思考題2 若兩個(gè)厄米算符不對易，是否就一定沒有共同本征態(tài)？若兩個(gè)厄米算符不對易，是否就一定沒有共同本征態(tài)？ （不一定）（不一定）思考題思考題3 若兩個(gè)厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有若兩個(gè)厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有 確定的值確定的值？（不是）？（不是）思考題思考題4

23、若若A,B=常數(shù)，常數(shù)，A和和B能否有共同本征態(tài)？（有能否有共同本征態(tài)？（有 or沒有）沒有）lx, ly能否有共同的本征態(tài)能否有共同的本征態(tài)?（可以）（可以）例題例題1 動(dòng)量動(dòng)量),(zyxpppp的共同本征態(tài)的共同本征態(tài)解：解：由于由于, 0,pp則它們可以有共同的本征態(tài)，即平面波則它們可以有共同的本征態(tài)，即平面波/i/ )( i)2(1 )2(1)()()()(rpzpypxpppppeezyxrzyxzyx例題例題2 坐標(biāo)坐標(biāo)r(x,y,z)的共同本征態(tài)，即的共同本征態(tài)，即 函數(shù)函數(shù))()()()()(0000000zzyyxxrrrzyx思考題思考題5 角動(dòng)量分量角動(dòng)量分量,i,zy

24、xlll思考題思考題6 px和和y可否有共同本征態(tài)？（可以）可否有共同本征態(tài)？（可以）練習(xí)題練習(xí)題1. 1. 對勢能為對勢能為V(x)的一維定態(tài)情形，證明的一維定態(tài)情形，證明xpmxE22. 2. 設(shè)有三個(gè)力學(xué)量設(shè)有三個(gè)力學(xué)量A, B, C，如果如果B, C=A, A, C=B，證明證明2221)(BACBA22222222sin1sinsin sin1sinsin1zll, 2, 1, 0,21)(imemm)()(),(mY),(),(22YYl3.3.2 (l2,lz)的共同本征函數(shù)，球諧函數(shù)的共同本征函數(shù)，球諧函數(shù)在球坐標(biāo)下，有在球坐標(biāo)下，有由于由于0,2zll， l2的本征函數(shù)可取為

25、的本征函數(shù)可取為lz的本征函數(shù)的本征函數(shù)令令本征方程本征方程01dd)1 (dd222m01dd2dd)1 (22222m, 2 , 1 , 0 ),1(lll0 , 0sinddsinddsin122m令令) 1(cos則則或或-連帶連帶Legendre方程方程可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng)時(shí)方程的解為連帶時(shí)方程的解為連帶Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式lmml ),(P利用正交歸一化條件利用正交歸一化條件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定義一個(gè)歸一化的定義一個(gè)歸一化的部分的實(shí)函數(shù)部分的實(shí)函數(shù)llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2)

26、 12() 1()(滿足歸一化條件滿足歸一化條件l lmllm0dsin)()(則則(l2,lz)正交歸一的共同本征函數(shù)為正交歸一的共同本征函數(shù)為mmlmlmemlmllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(利用正交歸一化條件利用正交歸一化條件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定義一個(gè)歸一化的定義一個(gè)歸一化的部分的實(shí)函數(shù)部分的實(shí)函數(shù)llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2) 12() 1()(歸一化歸一化l lmllm0dsin)()(則則(l2,lz)正交歸一的共同本征函數(shù)為正交歸一的共同本征函數(shù)為mmlmlmeml

27、mllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(Y lm稱為稱為球諧函數(shù)球諧函數(shù)。mml lmllmlmlmzlmlmYYllllmlYmYlYllYl02022dsin),(),(d, 1, 1, 2 , 1 , 0),(),(),() 1(),(l稱為稱為軌道角量子數(shù)，軌道角量子數(shù)， m稱為稱為磁量子數(shù)。磁量子數(shù)。對給定的對給定的l，角動(dòng)量的平方是（，角動(dòng)量的平方是（2l+1）重簡并的，）重簡并的，lz是非簡并的是非簡并的3.3.3 對易力學(xué)量完全集對易力學(xué)量完全集（complete set of commuting observables CSCO）設(shè)有一組彼此設(shè)有一組彼此獨(dú)立獨(dú)立

28、而且相互而且相互對易對易的厄米算符的厄米算符(A1,A2,),它們的它們的共同本征態(tài)為共同本征態(tài)為，表示一組完備的量子數(shù)。設(shè)給定一組量表示一組完備的量子數(shù)。設(shè)給定一組量子數(shù)子數(shù)后，后，就能確定體系的唯一一個(gè)可能狀態(tài)，則稱就能確定體系的唯一一個(gè)可能狀態(tài)，則稱(A1,A2,)構(gòu)成體系的一組構(gòu)成體系的一組對易可觀測量完全集對易可觀測量完全集, ,或力學(xué)量完全集或力學(xué)量完全集. .a體系的任一量子態(tài)均可用體系的任一量子態(tài)均可用展開展開da或或若體系的哈密頓量若體系的哈密頓量H不顯含時(shí)間，則不顯含時(shí)間，則H為守恒量。如對易力學(xué)量為守恒量。如對易力學(xué)量完全集中包含哈密頓量，則完全集中各力學(xué)量都是守恒量，這

29、種完全集中包含哈密頓量，則完全集中各力學(xué)量都是守恒量，這種完全集又稱完全集又稱對易守恒量完全集。對易守恒量完全集。 (complete set of commuting conservative observables CSCCO)例題例題1 一維諧振子的哈密頓量一維諧振子的哈密頓量( (能量能量) )本身構(gòu)成力學(xué)量完全集本身構(gòu)成力學(xué)量完全集nnnxax)()(例題例題2 一維粒子的動(dòng)量構(gòu)成一維粒子的一個(gè)力學(xué)量完全集一維粒子的動(dòng)量構(gòu)成一維粒子的一個(gè)力學(xué)量完全集pepxxpxd)()2(1)(/i2/1例題例題3 三維自由粒子的動(dòng)量是守恒量，動(dòng)量的三個(gè)分量三維自由粒子的動(dòng)量是守恒量，動(dòng)量的三個(gè)分

30、量(px, py, pz) 構(gòu)成一組力學(xué)量完全集構(gòu)成一組力學(xué)量完全集zyxrppppeprddd)()2(1)(/i2/3例題例題4 三維中心力場中三維中心力場中)(2)(2222rVmrVmpH),(2zllH構(gòu)成一組守恒量完全集。構(gòu)成一組守恒量完全集。關(guān)于可對易觀測量完全集的說明關(guān)于可對易觀測量完全集的說明(1) CSCO是限于最小集合，即從集合中抽出任何一個(gè)可觀測量后，是限于最小集合，即從集合中抽出任何一個(gè)可觀測量后， 就不再構(gòu)成體系的就不再構(gòu)成體系的CSCO(2)一個(gè)給定體系的一個(gè)給定體系的CSCO中，可觀測量的數(shù)目一般等于體系的自由中，可觀測量的數(shù)目一般等于體系的自由 度，但也可大于

31、體系的自由度。度，但也可大于體系的自由度。(3)一個(gè)給定體系往往可找到多個(gè)一個(gè)給定體系往往可找到多個(gè)CSCO，或或CSCCO。一個(gè)。一個(gè)CSCO 成員的選擇涉及體系的對稱性。成員的選擇涉及體系的對稱性。定理定理: 設(shè)設(shè)H是體系的一個(gè)厄米算符，對于體系的任一態(tài)是體系的一個(gè)厄米算符，對于體系的任一態(tài) ，(, H )/( , )有下界，但無上界，則有下界，但無上界，則H的本征態(tài)的集合構(gòu)成的本征態(tài)的集合構(gòu)成體系的態(tài)空間中的一個(gè)完備集，即體系的任何一個(gè)量子態(tài)都可以體系的態(tài)空間中的一個(gè)完備集，即體系的任何一個(gè)量子態(tài)都可以用這一組本征態(tài)來展開。用這一組本征態(tài)來展開。觀測量完全集的完備性問題觀測量完全集的完備

32、性問題說明說明(a)自然界中真實(shí)存在的物理體系的自然界中真實(shí)存在的物理體系的Hamilton量算符量算符H都應(yīng)為都應(yīng)為 厄米算符，并且應(yīng)有下界，因此體系的任一量子態(tài)總可以用厄米算符，并且應(yīng)有下界，因此體系的任一量子態(tài)總可以用 包含包含H在內(nèi)的一個(gè)在內(nèi)的一個(gè)CSCCO的共同本征態(tài)完全集展開。的共同本征態(tài)完全集展開。(b)在在H的本征態(tài)有簡并的情況下，對于給定的能量本征值，其的本征態(tài)有簡并的情況下，對于給定的能量本征值，其 本征態(tài)不能完全確定，此時(shí)需要用包含本征態(tài)不能完全確定，此時(shí)需要用包含H在內(nèi)的一個(gè)在內(nèi)的一個(gè)CSCCO， 根據(jù)它們的本征值吧本征態(tài)完全確定。根據(jù)它們的本征值吧本征態(tài)完全確定。3.

33、3.4 量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達(dá)量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達(dá)量子體系的可觀測量用厄米算符描述，是量子力學(xué)的一個(gè)基本量子體系的可觀測量用厄米算符描述，是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，其正確性應(yīng)該由實(shí)驗(yàn)來判定假設(shè)，其正確性應(yīng)該由實(shí)驗(yàn)來判定。該假設(shè)包含以下含義：該假設(shè)包含以下含義：(1) 在給定狀態(tài)在給定狀態(tài)下，力學(xué)量下，力學(xué)量A的平均值由下式確定的平均值由下式確定),/(),(AA (2) 在實(shí)驗(yàn)上測量力學(xué)量在實(shí)驗(yàn)上測量力學(xué)量A，其可能測量值就是，其可能測量值就是A的某一個(gè)本征值的某一個(gè)本征值。 由于力學(xué)量觀測值總是實(shí)數(shù)，因此要求相應(yīng)的算符是厄米算符。由于力學(xué)量觀測值總是實(shí)數(shù)，因此要求相應(yīng)的算符

34、是厄米算符。(3) 力學(xué)量之間的關(guān)系也通過相應(yīng)算符之間的關(guān)系反映出來力學(xué)量之間的關(guān)系也通過相應(yīng)算符之間的關(guān)系反映出來。 3.4.1 連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化/i)(pxpCex xCxxpdd)(22連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化，如動(dòng)量本征態(tài)連續(xù)譜本征函數(shù)不能歸一化，如動(dòng)量本征態(tài)則則坐標(biāo)本征態(tài)坐標(biāo)本征態(tài))()(xxxx)()d()(xxxxxxx 3.4.2 函數(shù)函數(shù)000 , , 0)(xxxxxx)0( , 1d)(d)(0000 xxxxxxxx)(d)()( ) 1 (00 xfxxxxf定義定義性質(zhì)性質(zhì))(1)( )2(xaax)()( )3(xx)()()( )4(babxax0)( )5(xx)(i00d21)(xxkkexx 函數(shù)的函數(shù)的Fourier展開展開0)()(xxxx)()(xxxxxx)(d)()(),(xxxxxxx