內(nèi)積空間,正規(guī)矩陣與H-矩陣

1、 第三章第三章 內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與H-矩陣矩陣定義定義： 設(shè)設(shè) 是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 上的上的 維線性空間，維線性空間，對于對于 中的任意兩個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量 按照某一確按照某一確定法則對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為定法則對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為 與與 的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為 ，并且要求，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：VRnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 這里這里 是是 中任意向量，中任意向量， 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù),只有當(dāng)只有當(dāng) 時(shí)時(shí) ，我們稱帶有這，我們稱帶

2、有這樣內(nèi)積的樣內(nèi)積的 維線性空間維線性空間 為為歐氏空間歐氏空間。例例1 在在 中，對于中，對于規(guī)定規(guī)定容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是是 上的一個(gè)內(nèi)積，從上的一個(gè)內(nèi)積，從而而 成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定, Vk0( , )0 nVnR1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 1(,)nRnR21122( ,)2nnx yx ynx y 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 也是也是 上的一個(gè)內(nèi)積上的一個(gè)內(nèi)積,這樣這樣 又成為另外一個(gè)歐氏空間。又成為另外一個(gè)歐氏空間。2(,)nR例例2 在在 維線性空間維線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定容易驗(yàn)證這是容易驗(yàn)證這是 上

3、的一個(gè)內(nèi)積，這樣上的一個(gè)內(nèi)積，這樣 對于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。對于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。例例3 在線性空間在線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定n mRnm( , )()TA Btr AB , C a bn mRn mRnR( , )( ) ( )baf gf x g x dx容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是是 上的一個(gè)內(nèi)積，上的一個(gè)內(nèi)積，這樣這樣 對于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。對于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。定義定義： 設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域 上的上的 維線性空間，維線性空間，對于對于 中的任意兩個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量 按照某一確定按照某一確定法則對應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為法則對應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為

4、 與與 的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：列運(yùn)算條件：( , )f g , C a b , C a bVCnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 這里這里 是是 中任意向量，中任意向量， 為任意復(fù)數(shù)為任意復(fù)數(shù),只有當(dāng)只有當(dāng) 時(shí)時(shí) ，我們稱帶有這，我們稱帶有這樣內(nèi)積的樣內(nèi)積的 維線性空間維線性空間 為為酉空間酉空間。歐氏空歐氏空間與酉空間通稱為間與酉空間通稱為內(nèi)積空間內(nèi)積空間。例例1 設(shè)設(shè) 是是 維復(fù)向量空間，任取維復(fù)向量空間，任取, 0( , )0 nVVknCn1212

5、(,),( ,)nna aab bb規(guī)定規(guī)定容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是是 上的一個(gè)內(nèi)積，從上的一個(gè)內(nèi)積，從而而 成為一個(gè)酉空間。成為一個(gè)酉空間。例例2 設(shè)設(shè) 表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間 上的所有上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義1 122( ,):()Tnna ba ba b (,)nCnC , C a b , a b( , ):( ) ( )baf gf x g x dx容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是是 上的一個(gè)內(nèi)上的一個(gè)內(nèi)積，于是積，于是 便成為一個(gè)酉空間。便成為一個(gè)酉空間。例例3 在在 維線性空間維線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定其中其中 表示表示 中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再中所

6、有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證 是是 上的一上的一個(gè)內(nèi)積，從而個(gè)內(nèi)積，從而 連同這個(gè)內(nèi)積一起成為連同這個(gè)內(nèi)積一起成為酉空間。酉空間。內(nèi)積空間的基本性質(zhì)：內(nèi)積空間的基本性質(zhì)：(,) , C a b , C a b2nn nC( , )()HA Btr ABHBB(,)n nCn nC1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 歐氏空間的性質(zhì)：歐氏空間的性質(zhì)：酉空間的性質(zhì)：酉空間的性質(zhì)：1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,

7、)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 定義：定義：設(shè)設(shè) 是是 維酉空間，維酉空間， 為其一組為其一組基底，對于基底，對于 中的任意兩個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量那么那么 與與 的內(nèi)積的內(nèi)積Vn iV11,nniijjijxy11,1( ,)(,)(,)nnniiiiijijiji jxyx y 令令(,),1,2,ijijgi jn 111212122212nnnnnnggggggGggg稱稱 為基底為基底 的的度量矩陣度量矩陣，而且，而且定義定義：設(shè)：設(shè) ，用，用 表示以表示以 的元素的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記G i,( )TijijggG

8、Gn nACAA( )HTAA則稱則稱 為為 的的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣。不難驗(yàn)證。不難驗(yàn)證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：HAA(1)()(2)()(3)()(4)()HTHHHHHHHHAAABABkAkAABB A11(5)()()(6)()(7)(8)()()kHHkHHHHAAAAAAAA定義定義：設(shè)：設(shè) ,如果如果 ，那么稱，那么稱 為為Hermite矩陣；如果矩陣；如果 ，那么，那么稱稱 為反為反Hermite矩陣。矩陣。例例 判斷下列矩陣是判斷下列矩陣是H-陣還是反陣還是反H-陣。陣。n nACHAAAHAA A4242(1)2142126123(

9、2)1291317iiiiiiiiiiiii 018(3)1048403132(4)134152155iiiiiiiiiiii 熟悉下列概念熟悉下列概念:（1） 實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣（2） 反實(shí)對稱矩陣反實(shí)對稱矩陣（3） 歐氏空間的度量矩陣歐氏空間的度量矩陣（4） 酉空間的度量矩陣酉空間的度量矩陣內(nèi)積空間的度量內(nèi)積空間的度量定義定義：設(shè)設(shè) 為酉（歐氏）空間，向量為酉（歐氏）空間，向量 的的長度長度定義為非負(fù)實(shí)數(shù)定義為非負(fù)實(shí)數(shù)例例 在在 中求下列向量的長度中求下列向量的長度VV( , ) 4C(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii解解： 根據(jù)上面的公式可知根據(jù)上面的公式可知

10、一般地，我們有一般地，我們有: 對于對于 中的任意向量中的任意向量其長度為其長度為5196211491630 nC12(,)na aa21niia這里這里 表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù) 的模。的模。定理定理：向量長度具有如下性質(zhì)：向量長度具有如下性質(zhì) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)， iaia(1)000(2),kkkC(3)(4)( ,) 例例1： 在線性空間在線性空間 中，證明中，證明例例2 設(shè)設(shè) 表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間 上的所有上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對于連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對于任意的任意的 ，我們有，我們有( )n nMC()()()HHHTr ABTr AATr BB ,

11、 C a b , a b( ), ( ) , f x g xC a b22( ) ( ) ( )( )( )( )( )bbbaaaf x g x d xf xd xg xd x定義定義：設(shè)設(shè) 為歐氏空間，兩個(gè)非零向量為歐氏空間，兩個(gè)非零向量 的的夾角夾角定義為定義為于是有于是有定理定理：V, ( ,),: arccos 0,2 ,( ,)02 因此我們引入下面的概念因此我們引入下面的概念;定義定義：在酉空間：在酉空間 中，如果中，如果 ，則稱則稱 與與 正交。正交。定義定義： 長度為長度為1的向量稱為單位向量，對于的向量稱為單位向量，對于任何一個(gè)非零的向量任何一個(gè)非零的向量 ，向量，向量總是

12、單位向量，稱此過程為總是單位向量，稱此過程為單位化單位化。 V( ,)0 標(biāo)準(zhǔn)正交基底與標(biāo)準(zhǔn)正交基底與SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法定義定義 設(shè)設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，為一組不含有零向量的向量組，如果如果 內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為其為正交的向量組。正交的向量組。定義定義 如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。組。例例 在在 中向量組中向量組 i i3C12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 ,

13、3 3 3 與向量組與向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 定義：在定義：在 維內(nèi)積空間中，由維內(nèi)積空間中，由 個(gè)正交向個(gè)正交向量組成的基底稱為量組成的基底稱為正交基底正交基底；由；由 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基底。標(biāo)準(zhǔn)正交基底。注意：注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。在上面的例題標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現(xiàn)這一問題。中可以發(fā)現(xiàn)這一問題。定理定理：向量組：向量組 為正交向量組的充分必要為正交向量組的充分必要條件是條件是 向量組向量組 為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條為

14、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是件是nnn i(,)0,ijij i定理定理：正交的向量組是一個(gè)線性無關(guān)的向量：正交的向量組是一個(gè)線性無關(guān)的向量組。反之，由一個(gè)線性無關(guān)的向量組出發(fā)可組。反之，由一個(gè)線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。交向量組。Schmidt正交化與單位化過程正交化與單位化過程: 設(shè)設(shè) 為為 維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間 中中的的 個(gè)線性無關(guān)的向量，利用這個(gè)線性無關(guān)的向量，利用這 個(gè)向量完個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 1(,)0ijijijij Vnr12,r r1121221

15、1111111111,rrrrrrrr 第一步第一步 正交化正交化容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是一個(gè)正交向量組是一個(gè)正交向量組.12,r 第二步第二步 單位化單位化顯然顯然 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例例1 運(yùn)用正交化與單位化過程將向量組運(yùn)用正交化與單位化過程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組?；癁闃?biāo)準(zhǔn)正交向量組。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1, , ,1,3 3 3 再單位化再單位化 11122233311,0,022

16、112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例例2 求下面齊次線性方程組求下面齊次線性方程組123, 1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解解： 先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系下面對下面對 進(jìn)行正交化與單位化：進(jìn)行正交化與單位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX112122111111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底

17、。即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。12, 酉變換與正交變換酉變換與正交變換定義：定義：設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階復(fù)矩陣，如果其滿階復(fù)矩陣，如果其滿足足則稱則稱 是是酉矩陣酉矩陣，一般記為，一般記為 設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階實(shí)矩陣，如果其滿階實(shí)矩陣，如果其滿足足則稱則稱 是是正交矩陣正交矩陣，一般記為，一般記為 AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIAn nAE例例：22022(1)10022022是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣212333221(2)333122333是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣cossin(3)sincos（5）設(shè)）設(shè) 且且 ，如果，如果 則

18、則 是一個(gè)酉矩陣。通常稱為是一個(gè)酉矩陣。通常稱為Householder矩陣矩陣。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一個(gè)酉矩陣是一個(gè)酉矩陣酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)設(shè) ，那么，那么設(shè)設(shè) ，那么，那么,n nA BU1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理： 設(shè)設(shè) ， 是一個(gè)酉矩陣的充分是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為必要條件為 的的 個(gè)列（或行）向量組是個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定義定義：

19、設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 維酉空間，維酉空間， 是是 的的一個(gè)線性變換，如果對任意的一個(gè)線性變換，如果對任意的 都都有有n nACAnAVnV,V ( ( ),( )( ,) 則稱則稱 是是 的一個(gè)的一個(gè)酉變換酉變換。定理定理：設(shè)：設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 維酉空間，維酉空間， 是是 的的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：（1） 是酉變換；是酉變換；（3）將）將 的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；底；（4）酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為酉）酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為酉矩陣。矩陣。注意注意：關(guān)于：關(guān)于正交變換正交變換也有類似的刻劃。也有類似的刻劃

20、。VVnV(2)( ),V V 冪等矩陣冪等矩陣定義：設(shè)定義：設(shè) ，如果，如果 滿足滿足則稱則稱 是一個(gè)是一個(gè)冪等矩陣冪等矩陣。例例是一個(gè)分塊冪等矩陣。是一個(gè)分塊冪等矩陣。 n nACA2AAA(),rn nrn rIMACMCOO冪等矩陣的一些性質(zhì)冪等矩陣的一些性質(zhì)：設(shè)：設(shè) 是冪等矩陣，那是冪等矩陣，那么有么有（1） 都是冪都是冪等矩陣；等矩陣；（2）（3） （4） 的充分必要條件是的充分必要條件是（5）A,THTHAAIA IAIA()()0A IAIA A( )()N AR IAAxx( )xR A1( )( )nCR AN A定理定理：設(shè)設(shè) 是一個(gè)秩為是一個(gè)秩為 的的 階矩陣，那階矩陣

21、，那么么 為一個(gè)冪等矩陣的充分必要條件是存在為一個(gè)冪等矩陣的充分必要條件是存在 使得使得推論推論：設(shè)：設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 階冪等矩陣，則有階冪等矩陣，則有定義定義：設(shè)：設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 維標(biāo)準(zhǔn)正維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么稱交列向量組，那么稱 型矩陣型矩陣 AnrAn nnPC1rIOP APOO( )( )tr ARank AAn12,r nnr112,rU 為一個(gè)為一個(gè)次酉矩陣次酉矩陣。一般地將其記為。一般地將其記為定理定理： 設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階矩陣，則階矩陣，則 的充分必要條件是存在一個(gè)的充分必要條件是存在一個(gè) 型次酉矩型次酉矩陣陣 使得使得其中其中 。 要證明定理要證明定理,先看下面的引

22、理先看下面的引理.An2HAAAnr1n rrUU1n rrUU11HAUU( )rRank A引理引理： 的充分必要條件是的充分必要條件是證明證明：設(shè)：設(shè) ，那么，那么1n rrUU11Hr rU UI112,rU 121()()()TTHTrU必要性：如果必要性：如果 為一個(gè)為一個(gè) 維維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么12,r n121112111212122212()(),()()()()()()()()()()TTHrTrTTTrTTTrTTTrrrrU U 111r rI充分性：設(shè)充分性：設(shè) ， 那么由那么由 ，可得，可得112,rU 11Hr rU UI12121112

23、12122212()(),()()()()()()()()()()TTrTrTTTrTTTrr rTTTrrrrI 即這表明 是一個(gè) 維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組。定理的證明定理的證明：必要性：因 ，故 有 個(gè)線性無關(guān)的列向量，將這 個(gè)列向量用Schmidt方法得出 個(gè)兩兩正交的單位向量，以這 個(gè)向量為列構(gòu)成一個(gè) 型次酉矩陣1(,)()0Tijjiijij 12,r nrankrAArrrrnrAr 。注意到 的 個(gè)列向量都可以由 的 個(gè)列向量線性表出。即如果那么可得nU1212,n rrrnUUA n rrUU1212112111222212,nrnnHrrnrACCCCCCUVCCC 其中11121

24、2122212rrn rnnnrCCCCCCVCCCC由于向量組 的秩為 ，所以 的秩為 。rr12,n HV下面證明 。 由 可得 ，即注意到 ，所以VU2HAAAHAA AHHHUVVU UVHr rU UIHHUVVV即因?yàn)?，所以 ，這樣得到于是()0HUV Vrank()HVrrank()0UVUVHAUU充分性：若 ，則HAUU2HAAASchur引理與正規(guī)矩陣引理與正規(guī)矩陣定義定義：設(shè) ，若存在 ，使得則稱 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一個(gè) 階復(fù)矩陣 酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。,()n nn nA BCR或n nUU()n nE或

25、11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn證明證明：用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時(shí)定理成立，考慮 的階數(shù)為 時(shí)的情況。 取 階矩陣 的一個(gè)特征值 ，對應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因?yàn)?構(gòu)成 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足1k 1k 1AW11HW AWR(上三角矩陣)令那么21k kUUW12112112100kHH

26、bbUUAUUR注意注意: 等號右端的三角矩陣主對角線上的元等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣素為矩陣 的全部特征值的全部特征值.定理定理(Schur不等式不等式): 設(shè)設(shè) 為矩陣為矩陣 的的特征值特征值, 那么那么例例: 已知矩陣已知矩陣 A12,n nnAC A221,niijii ja308316205A試求酉矩陣試求酉矩陣 使得使得 為上三角矩陣為上三角矩陣.解解: 首先求矩陣首先求矩陣 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA所以所以 為矩陣為矩陣 的三重特征值的三重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解

27、向量求得一個(gè)單位解向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解與再解與 內(nèi)積為零的方程組內(nèi)積為零的方程組求得一個(gè)單位解向量求得一個(gè)單位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T123036132326132326U計(jì)算可得計(jì)算可得117 27 31235 60435 6062HUAU令令15 6435 662A再求矩陣再求矩陣 的特征值的特征值所以所以 為矩陣為矩陣 的二重特征值的二重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A11015,55T再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單

28、位解向量求得一個(gè)單位解向量1210150 xx21510,55T取取計(jì)算可得計(jì)算可得1101555151055V11 125 61601HVAV210010150551510055U令令于是有于是有12230515561300661302 53056WUU則則107 30 /60125 6 /6001HW AW矩陣矩陣 即為所求的酉矩陣即為所求的酉矩陣.另解另解: 取向量取向量 , 與與 正交正交的向量取為的向量取為W12,0, 1T120,1,0T31,0,2T201010102P則則取矩陣取矩陣P為為 顯然顯然 是上三角矩陣是上三角矩陣,故故11010015001P AP1P AP為所求的

29、酉矩陣為所求的酉矩陣. 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣定義定義: 設(shè)設(shè) , 如果如果 滿足滿足n nACA20110505102UHHAAA A那么稱矩陣那么稱矩陣 為一個(gè)為一個(gè)正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣.設(shè)設(shè) , 如果如果 同樣滿足同樣滿足那么稱矩陣那么稱矩陣 為一個(gè)為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣實(shí)正規(guī)矩陣.例例: (1) 為實(shí)正規(guī)矩陣為實(shí)正規(guī)矩陣 An nARATTAAA AA1111abcdbadccdabdcba (2)其中其中 是不全為零的實(shí)數(shù)是不全為零的實(shí)數(shù), 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣., , ,a b c d (3)這是一個(gè)正規(guī)矩陣這是一個(gè)正規(guī)矩陣. (4) H-陣陣, 反反H-陣陣, 正

30、交矩陣正交矩陣, 酉矩陣酉矩陣, 對對角矩陣都是正規(guī)矩陣角矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理434624432662261iiiiiiii 引理引理1 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣是一個(gè)正規(guī)矩陣, 則與則與 酉酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理引理2 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣是一個(gè)正規(guī)矩陣, 且又是三且又是三角矩陣角矩陣, 則則 必為對角矩陣必為對角矩陣.證明證明 : 代入代入 后比較等式兩端矩陣第一后比較等式兩端矩陣第一行第一列元素，第二行第二列元素，等等，行第一列元素，第二行第二列元素，等等，第第n行第行第n列元素得列元素得n個(gè)等式個(gè)等式A

31、A1112122200000nnnnaaaaaAaAA11122212000HnnnnaaaAaaaHHA AAA根據(jù)根據(jù) 得得 。因此是對角矩陣。因此是對角矩陣。由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理定理 : 設(shè)設(shè) , 則則 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得使得11 1112121111 11nna aa aa aa an nACAU2222222222nna aa aa annnnnnnna aa a0()ijija aij0()ijaij12HnU AU其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值.推論推論1

32、 : 階正規(guī)矩陣有階正規(guī)矩陣有 個(gè)線性無關(guān)的特個(gè)線性無關(guān)的特征向量征向量 . 12,n Ann推論推論2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交. 例例1 : 設(shè)設(shè)求正交矩陣求正交矩陣 使得使得 為對角矩陣為對角矩陣.解解: 先計(jì)算矩陣的特征值先計(jì)算矩陣的特征值324202423AQ1Q AQ2(1) (8)IA其特征值為其特征值為對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化并正交化單位化并正交化, 得到兩個(gè)標(biāo)得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量準(zhǔn)正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1

33、,0,1TTXX 12,XX1212425,0,3553 5 2 5TT對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量28(8)0IA X32,1,2TX 32 1 2, ,3 3 3T將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣123142353 5221,353 552033Q 則矩陣則矩陣 即為所求正交矩陣且有即為所求正交矩陣且有Q1118Q AQ例例2 : 設(shè)設(shè)434624432662261iiiAiiiii 求酉矩陣求酉矩陣 使得使得 為對角矩陣為對角矩陣.QHQ AQ解解: 先計(jì)算矩

34、陣的特征值先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為其特征值為對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系2(81)(9)IA1239i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化單位化, 得到一個(gè)單位向量得到一個(gè)單位向量1X12 2,3 3 3Ti對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 221 2,333Ti對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位

35、化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣12322333212,333221333iiiQ 則矩陣則矩陣 即為所求酉矩陣且有即為所求酉矩陣且有Q999HiQ AQi例例3 證明證明: (1) H-矩陣的特征值為實(shí)數(shù)矩陣的特征值為實(shí)數(shù); H-矩陣屬矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反反H-矩陣的特征值為零或純虛數(shù)矩陣的特征值為零或純虛數(shù). (3) 酉矩陣的特征值模長為酉矩陣的特征值模長為1.定理定理: 設(shè)設(shè) 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣,

36、 則則 (1) 是是H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值的特征值為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) . AAA (2) 是反是反H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征的特征值的實(shí)部為零值的實(shí)部為零 . (3) 是是U-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值的的特征值的模長為模長為1 . 注意注意: 正規(guī)矩陣絕不僅此三類正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例例4 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)反是一個(gè)反H-陣陣, 證明證明:是是U-陣陣.證明證明: 根據(jù)根據(jù)U-陣的定義陣的定義AAA1()()WAIAIAA11()() () ()HHHWWA I A IA IA I由于由于 是反是反H-陣陣, 所以所以這樣這樣于是可得于是可得 A()H

37、AIAI 11() ()HAIAI 11111111()() () ()()() () ()()()() ()()()() ()()() () ()HHHHWWA I A IA IA IA I A IA IA IA IA I A IA IA IA I A IA IA I A IA IA II 這說明這說明 為酉矩陣為酉矩陣.W例例5 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 階正規(guī)矩陣且存在自階正規(guī)矩陣且存在自然然數(shù)數(shù) 使得使得 , 證明證明: .證明證明: 由于由于 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, 所以存在一個(gè)酉所以存在一個(gè)酉矩陣矩陣 使得使得Ank0kA 0A n nUUA12,HinAUUR于是可得于是可得從而從

38、而這樣這樣120kkkHknAUU0,kiiR0,1,2,iin即即 Hermite矩陣矩陣(簡稱簡稱H-矩陣矩陣)Hermite矩陣的基本性質(zhì)矩陣的基本性質(zhì)引理引理: 設(shè)設(shè) , 則則 (1) 都是都是H-矩陣矩陣.0A ,HHHAAAAA An nAC (2) 是反是反H-陣陣. (3) 如果如果 是是H-陣陣, 那么那么 也是也是H-陣陣, 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù). (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-陣陣, 那么那么 也也是可逆的是可逆的H-陣陣. (5) 如果如果 是是H-陣陣(反反H-陣陣), 那么那么 是反是反H-矩陣矩陣(H-陣陣), 這里這里 為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位. (6)

39、 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么也是也是H-陣陣, 這里這里 均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù). (7) 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么 也也是是H-陣的充分必要條件是陣的充分必要條件是HAAAkAkA1AAiAi,A BkAlB, k l,A BABABBAABn nAC定理定理: 設(shè)設(shè) , 則則 (1) 是是H-陣的充分必要條件是對于陣的充分必要條件是對于任意的任意的 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù). (2) 是是H-陣的充分必要條件是對于陣的充分必要條件是對于任意的任意的 階方陣階方陣 為為H-陣陣.H-矩陣的結(jié)構(gòu)定理矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理定理: 設(shè)設(shè) , 則則 是是H-陣的充分陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩

40、陣必要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使使得得A,nHXCXAXAn,HBB ABn nACAn nUU12HnU AU其中其中 , 此定理經(jīng)常敘述此定理經(jīng)常敘述為為: H-陣酉相似于實(shí)對角矩陣陣酉相似于實(shí)對角矩陣.推論推論: 實(shí)對稱陣正交相似于實(shí)對角矩陣實(shí)對稱陣正交相似于實(shí)對角矩陣. 12,nR 例例 : 設(shè)設(shè) 為一個(gè)冪等為一個(gè)冪等H-陣陣, 則存在酉矩則存在酉矩陣陣 使得使得證明證明: 由于由于 為一個(gè)為一個(gè)H-陣陣, 所以存在酉所以存在酉矩陣矩陣 使得使得An nUU000rHIU AUAn nWU12HnW AW又由于又由于 為一個(gè)冪等為一個(gè)冪等H-陣陣, 從而從而 或或?qū)?放在一起放在一起,

41、 將將0放在一起放在一起, 那么可找到一那么可找到一個(gè)酉矩陣個(gè)酉矩陣 使得使得A0i1in nUU000rHIU AU這里這里 為矩陣為矩陣 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式)定義定義: 由由 個(gè)復(fù)變量個(gè)復(fù)變量 , 系數(shù)系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式Arn12,nx xx1211(,)nnnijijijf x xxa x x稱為稱為Hermite二次型二次型, 這里這里如果記如果記 ijjiaa111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa12, ,TnnXx xxC那么上面的那么上面的Hermite二次型可以記為二

42、次型可以記為稱為稱為Hermite二次型對應(yīng)的矩陣二次型對應(yīng)的矩陣 , 并稱并稱 的的秩為秩為Hermite二次型的秩二次型的秩. 對于對于Hermite二次型作可逆的線性替換二次型作可逆的線性替換則則12(,)Hnf x xxXAXAXCY12(,)()HHHnHf x xxXAXYC AC YY BY這里這里Hermite二次型中最簡單的一種是只含有純二次型中最簡單的一種是只含有純的平方項(xiàng)無交叉項(xiàng)的二次型的平方項(xiàng)無交叉項(xiàng)的二次型我們稱這種形狀的我們稱這種形狀的Hermite二次型為二次型為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形的的Hermite二次型二次型.定理定理: 對于任意一個(gè)對于任意一個(gè)Hermite二次型二

43、次型 ,HHBC ACBB12111222(,)nnnnf y yyy yy yy y12(,)Hnf x xxXAX必存在酉線性替換必存在酉線性替換可以將可以將Hermite二次型二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形其中其中 是是H-矩陣矩陣 的特征值的特征值.進(jìn)一步進(jìn)一步, 我們有我們有定理定理: 對于對于Hermite二次型二次型 XUY( )f x111222( )nnnf xy yy yy y12,n A12(,)Hnf x xxXAX必存在可逆的線性替換必存在可逆的線性替換可以將可以將Hermite二次型二次型 化為化為其中其中 .我們稱上面的標(biāo)準(zhǔn)形為我們稱上面的標(biāo)準(zhǔn)形為Hermite二次

44、型二次型的的規(guī)范形規(guī)范形.例例: 寫出下面寫出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.XPY( )f x1111( )ssssrrf xy yy yyyy y( )rrank A( )f x123121312131231 1121321233 13 133(1)(,)(2)(,)(1)(1)2f x x xix xx xix xx xf x x xx xix xi x xix xx xi x xx xx x解解: 11231232301(1)(,),00100ixf x x xx x xixx11231232311(2)

45、(,),01112iixf x x xx x xixix 正定正定Hermite二次型與正定二次型與正定Hermite矩陣矩陣定義定義: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形如果對于任意一組不全為零復(fù)數(shù)如果對于任意一組不全為零復(fù)數(shù) 都有都有1211()(,)nnnHijijijf Xf x xxa x xXAX12,nx xx12(,)0(0)nf x xx則稱該則稱該Hermite二次形為二次形為正定的正定的(半正定的半正定的) , 并稱相應(yīng)的并稱相應(yīng)的H-矩陣矩陣 為為正定的正定的(半正定的半正定的) . 例例: 判斷下列判斷下列Hermite二次形的類別二次形的類別 A1231

46、12233(,)483f y yyy yy yy y1232233(,)129f y yyy yy y123112233(,)76f y yyy yy yy y 123112233(,)43f y yyy yy yy y 1231133(,)613f y yyy yy y 與正定的實(shí)二次形一樣與正定的實(shí)二次形一樣, 關(guān)于正定的關(guān)于正定的Hermite二次形我們有二次形我們有定理定理: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形下列敘述是等價(jià)的下列敘述是等價(jià)的 ()Hf XXAX (1) 是正定的是正定的 (2) 對于任何對于任何 階可逆矩陣階可逆矩陣 都有都有為正定矩陣為正定矩陣 (3)

47、的的 個(gè)特征值都大于零個(gè)特征值都大于零 (4) 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 使得使得 (5) 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 使得使得 (6) 存在正線上三角矩陣存在正線上三角矩陣 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.例例1 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 且又是酉矩陣且又是酉矩陣, 則則證明證明: 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以必存在所以必存在()f XnPHP APAnnPHP APInQHAQ QRHAR RAAIA酉矩陣酉矩陣 使得使得由于由于 又是酉矩陣又是酉矩陣, 所以所以12,0HinAUURn nUUA1i這樣必有這樣必有 , 從而

48、從而例例2 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 是一個(gè)是一個(gè)反反H-陣陣, 證明證明: 與與 的特征值實(shí)部的特征值實(shí)部為零為零. 證明證明: 設(shè)設(shè) 為矩陣的任意一個(gè)特征值為矩陣的任意一個(gè)特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 使得使得將其代入上面的特征多項(xiàng)式有將其代入上面的特征多項(xiàng)式有1iAIABABBA0IABAQHAQ Q1110()()()HHHHHHHHHHIABIQ QBQQQ QBQQQIQBQQIQBQ這說明這說明 也是矩陣也是矩陣 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩陣面注意矩陣 為反為反H-陣陣,

49、從而從而 實(shí)部實(shí)部為零為零.同樣可以證明另一問同樣可以證明另一問. HQBQHQBQ例例3 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 是一個(gè)反是一個(gè)反H-陣陣, 證明證明: 是可逆矩陣是可逆矩陣.證明證明: 由于由于 是一個(gè)正定是一個(gè)正定H-陣陣, 所以存在可所以存在可逆矩陣逆矩陣 使得使得這表明這表明 是可逆的是可逆的. 于是于是另一方面注意矩陣另一方面注意矩陣 仍然為正定仍然為正定H-陣陣, 而而矩陣矩陣 為反為反H-陣陣, 由上面的例題結(jié)論可知由上面的例題結(jié)論可知ABABAQHAQ QA11ABAAA BA IA B1AB矩陣矩陣 的特征值實(shí)部為零的特征值實(shí)部為零, 那么矩陣那么矩陣

50、的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 從而從而1AB1IA B10IA B定理定理: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形下列敘述是等價(jià)的下列敘述是等價(jià)的: (1) 是半正定的是半正定的()Hf XXAX()f X(2) 對于任何對于任何 階可逆矩陣階可逆矩陣 都有都有為半正定矩陣為半正定矩陣(3) 的的 個(gè)特征值全是非負(fù)的個(gè)特征值全是非負(fù)的(4) 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 使得使得(5) 存在秩為存在秩為 的的 階矩陣階矩陣 使得使得nP000rHIP APAnnPHP APHAQ QrnQ定理定理: 設(shè)設(shè) 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩陣矩陣, 那么存在

51、正定那么存在正定(半正定半正定) Hermite矩陣矩陣 使得使得例例1 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)半正定的是一個(gè)半正定的H-陣且陣且 , 試證明試證明: 證明證明: 設(shè)設(shè) 為為 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 AH2AHA0A det()1AI12,n AA0i12det()(1)(1)(1)1nAI例例2 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)半正定的是一個(gè)半正定的H-陣且陣且 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 證明證明: 證明證明: 由于由于 是一個(gè)正定的是一個(gè)正定的H-陣陣, 所以存在所以存在可逆矩陣可逆矩陣 使得使得這樣有這樣有0A Bdet()det( )

52、ABBAQBHBQ Q1111det()det()det()det()det( )det( )det()HHHHABAQ QQQAQIQBQAQI注意矩陣注意矩陣仍然是一個(gè)半正定的仍然是一個(gè)半正定的H-陣陣, 有上面的例題可有上面的例題可知知從而從而11()HQAQ11det()1HIQAQ11det()det( )det()det( )HABBQAQIB例例3 : 證明：證明： （1） 半正定半正定H-矩陣之和仍然是半正定矩陣之和仍然是半正定的的; （2） 半正定半正定H-矩陣與正定矩陣與正定H-陣之和和陣之和和是正定的是正定的; 證明證明：設(shè)：設(shè) 都是半正定都是半正定H-陣，那么陣，那么二者之和二者之和 仍然是一個(gè)仍然是一個(gè)H-陣，其對應(yīng)陣，其對應(yīng)的的Hermite二次型為二次型為 其中其