橢圓典型題型歸納總結(jié)

1、橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用例1：已知一個(gè)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且過點(diǎn)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心M的軌跡方程； 練習(xí)：1.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓3.方程成立的充要條件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 5.過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長等于 ；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 ；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點(diǎn) 和

2、 的距離之和等于 的點(diǎn)的軌跡（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對(duì)的三邊分別為，且，求滿足且成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)的軌跡；練習(xí)：1、動(dòng)圓P與圓內(nèi)切與圓外切，求動(dòng)圓圓心的P的軌跡方程。2、已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)A，且與圓相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)

3、動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點(diǎn)三角形問題橢圓中的焦點(diǎn)三角形：通常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的中，則當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)最大，且；=。（短軸長）例：知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，求、及；練習(xí)：1、橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ；的大小為 ；2、是橢圓上的一點(diǎn)，和為左右焦點(diǎn)，若。（1）求的面積；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢

4、圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 題型五.求范圍例1.方程焦點(diǎn)在軸的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；題型六.求離心率例1. 橢圓的左焦點(diǎn)為，是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 ；練習(xí)1、（2010南京二模）以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，已知是正三

5、角形，則該橢圓的離心率是 ；2、已知 分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、和左焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為 ；3、（2012年新課標(biāo)）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD4、橢圓(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_題型七.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒有公共點(diǎn)，求的取值范圍。例3.過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切

6、值。例4.求直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍 （二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。例2.橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過點(diǎn)能否作直線與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是；例2.已知一直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；例3. 橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，

7、求橢圓E的方程（四）關(guān)于直線對(duì)稱問題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱； 例2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。題型八.最值問題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓外一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為，

8、最小值為;2.二次函數(shù)法例3求定點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例4求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值；4.判別式法例4的解決還可以用判別式法結(jié)論5：橢圓上的點(diǎn)到定直線l距離的最值問題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。題型九.軌跡問題例1到兩定點(diǎn)，的距離之和為定值5的點(diǎn)的軌跡是 例2已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓的上半圓周上(即y0)，AOP的平分線交于Q，求點(diǎn)

9、Q的軌跡方程。例3.已知圓及點(diǎn)，是圓C上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線l與PC相交于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程。橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用橢圓定義：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和等于常數(shù)（ 大于= ）點(diǎn)的集合叫橢圓；即注：當(dāng)時(shí)軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)軌跡為線段；當(dāng)時(shí)無軌跡。例1：已知一個(gè)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且過點(diǎn)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程； 練習(xí)：1.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.方程對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓3.方程成立的充要條件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 5.過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓

10、相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長等于 ；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 ；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點(diǎn) 和 的距離之和等于 的點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對(duì)的三邊分別為，且

11、，求滿足且成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)的軌跡；練習(xí)1、動(dòng)圓P與圓內(nèi)切與圓外切，求動(dòng)圓圓心的P的軌跡方程。練習(xí)2、已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)A，且與圓相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動(dòng)直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點(diǎn)三角形問題橢圓中的焦點(diǎn)三角形：通常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；橢圓上一點(diǎn)和焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的中，則當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)最大，且；=

12、。（短軸長）例：知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，求、及；練習(xí)：1、（2009北京）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ；的大小為 ；2、是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，若，則的面積等于 （ ） 3、是橢圓上的一點(diǎn)，和為左右焦點(diǎn)，若。（1）求的面積；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 題型五.求范圍例1.方程焦點(diǎn)在軸的

13、橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；題型六.求離心率例1. 橢圓的左焦點(diǎn)為，是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 ；練習(xí)1、（2010南京二模）以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，已知是正三角形，則該橢圓的離心率是 ；2、已知 分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、和左焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為 ；3、（2012年新課標(biāo)）設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn),為直線上一點(diǎn),是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD4、橢圓(a>b>0)的左、右頂

14、點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_題型七.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒有公共點(diǎn)，求的取值范圍。例3.過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡化了運(yùn)算。 解：設(shè)，：把代入橢圓方程得：，即，此時(shí) 令直線

15、的傾角為，則即面積的最大值為，此時(shí)直線傾斜角的正切值為。例4.求直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。 （二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)、，則弦的長度的計(jì)算公式為，而，因此只要把直線的方程代入圓錐曲線方程，消去（或），結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。 解：設(shè)（），則直線的方程為，設(shè)直線與橢圓相交于、，由，可得，則，即，又，；例2.橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是20，求直線方程。（三

16、）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過點(diǎn)能否作直線與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是；例2.已知一直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；例3. 橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓E的方程解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，a2=3b2故橢圓方程；設(shè)，由于點(diǎn)分有向線段的比為2，即由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于兩點(diǎn)而 由得:，代入得：.（2）因,當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值此時(shí)，又，；將及代入得3b2=5，橢圓方程例4.已知是橢圓上的三點(diǎn)，

17、為橢圓的左焦點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則的垂直平分線是否過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對(duì)稱問題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱； 例2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。題型八.最值問題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉(zhuǎn)化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點(diǎn)。解：，連接，延長交橢圓于點(diǎn)M1,延長交橢圓于點(diǎn)由三角形三邊關(guān)系知當(dāng)且僅當(dāng)與重合

18、時(shí)取右等號(hào)、與重合時(shí)取左等號(hào)。因?yàn)椋? ；結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。分析：點(diǎn)在橢圓外，交橢圓于，此點(diǎn)使值最小，求最大值方法同例1。解：，連接并延長交橢圓于點(diǎn)M1，則M在M1處時(shí)取最大值；最大值是10+，最小值是。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓外一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為，最小值為;2.二次函數(shù)法例3求定點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。分析：在橢圓上任取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式表示，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最小值。解：設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時(shí)，（2）若,則時(shí)（3）若,則結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例4求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值；解：三角換元 令 則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí),結(jié)論4：若橢圓上的點(diǎn)到非坐