中考系列復(fù)習(xí)之九—函數(shù)及其圖象

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載中考系列復(fù)習(xí)之九函數(shù)及其圖象一、中考要求1、理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，知道各象限及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能確定一點(diǎn)關(guān)于(x 軸、 y軸或原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).2、會從不同角度確定自變量的取值范圍.3、會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.4、明確一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象特征，知道圖象形狀、位置與解析式系數(shù)之間的關(guān)系.5、會用一次函數(shù)和二次函數(shù)（結(jié)合方程、不等式等）解決一些實(shí)際問題.二、點(diǎn)擊重、難點(diǎn)1、重點(diǎn)是一次函數(shù)與二次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；2、難點(diǎn)是函數(shù)的本質(zhì)意義與多種表示方法之間的聯(lián)系；三、中考熱點(diǎn)分析與預(yù)測本部分知識是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，在各種題

2、型中都經(jīng)常出現(xiàn)，大約占到20%左右的分值比重. 預(yù)計在 20XX年的中考中，函數(shù)的地位將會得到進(jìn)一步的鞏固，命題時著重于應(yīng)用性、綜合性，同時呈現(xiàn)出圖象、圖形、表格等多種信息表達(dá)形式. 這樣命題也是向課程標(biāo)準(zhǔn)靠攏的必然趨勢.四、知識要點(diǎn)聚焦（一）平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號為（+， +），第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號為（- ，+），第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號為（- ， - ），第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號為（+， - ）， x軸上的點(diǎn)表示為（x， 0 ），y軸上的點(diǎn)表示為（0， y），坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限；點(diǎn)(m, n) 關(guān)于 x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（m, -n ） ,關(guān)于 y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3、m, n ） ,關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-m, -n） .（二）一次函數(shù):1、解析式： y=kx+b （ k、b是常數(shù)， k 0），當(dāng) b=0時，它是正比例函數(shù)2、圖象性質(zhì)：（ 1）圖象是一條直線 .（ 2）當(dāng) k>0時，圖象一定經(jīng)過第一、三象限， y隨 x的增大而增大；當(dāng) k<0時，圖象一定經(jīng)過第二、四象限， y隨 x的增大而減小 .（ 3）直線 y=kx+b 與 y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為 b.（三）二次函數(shù)：1、 ! 解析式：（ 1）一般式：y=ax 2+bx+c(a 0).（ 2）頂點(diǎn)式： y=a(x - k) 2+h，頂點(diǎn)為（ k， h） .（ 3）兩根式：y=a(x x 1)(

4、x x 2) ，與 x軸兩交點(diǎn)分別為（x1,0 ）、（ x2,0 ） .2 、圖象（拋物線）位置與 a、 b、 c的關(guān)系（以下結(jié)論的逆命題也成立）：（ 1）a決定拋物線的開口方向：當(dāng) a>0時，開口向上；當(dāng) a<0時，開口向下 .（ 2）c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置：當(dāng)b>0時，圖象與 y軸交點(diǎn)在 y軸的正半軸上；當(dāng) b<0時，圖象與 y軸交點(diǎn)在 y軸的負(fù)半軸上 ;當(dāng) b=0時，圖象過原點(diǎn) .（ 3）b、 c共同決定拋物線的對稱軸 x =by軸左側(cè)；若 b、 c異號，的位置：若 b、 c同號，則對稱軸在2a則對稱軸在 y軸右側(cè)；若 b=0，則對稱軸是y軸 .b 4ac

5、- b 2（ 4）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ - 2a ， 4a） .（ 5） =b2- 4ac決定拋物線與 x軸交點(diǎn)情況：當(dāng) >0時，拋物線與 x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng) <0時，拋物線與優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)=0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn) .（四）反比例函數(shù)k1、解析式為y =x (k 0).2、圖象性質(zhì)：（ 1）圖象為雙曲線.（ 2）當(dāng) k>0時，雙曲線的兩個分支在第一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨 x的增大而減??；當(dāng)k<0時，雙曲線的兩個分支在第二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨 x的增大而增大 .五、復(fù)習(xí)方法導(dǎo)引1、平面直角坐標(biāo)系的建立，使數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

6、成為主線，要熟悉各類函數(shù)圖象的位置與系數(shù)之間的關(guān)系，善于把“數(shù)” （比如坐標(biāo)、解析式）與“形” （比如點(diǎn)、圖象）有機(jī)的結(jié)合起來，順利實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化 .2、函數(shù)本身就是一種重要的數(shù)學(xué)思想. 應(yīng)用時首先要找準(zhǔn)兩個相關(guān)的變量，分析它們之間的聯(lián)系，用含有兩個變量的等式表達(dá)出來，最終化簡變形為解析式的一般形式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.3、如果把函數(shù)中的兩個變量視為未知數(shù)，把常量視為系數(shù)，則一個解析式就是一個方程. 所以，方程思想常與函數(shù)思想并稱. 函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)問題，等價于函數(shù)值為0時的方程的解的問題；函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)問題，等價于自變量為0時的方程的解的問題，所以常數(shù)項就是函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的

7、縱坐標(biāo)；兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，等價于兩個解析式組成的方程組的解的問題.4、待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法. 一般分成設(shè)（解析式） 、列（方程或者方程組）、解（這個方程或者方程組） 、代（入所設(shè)解析式）四個步驟.5、掌握一些函數(shù)的變量數(shù)值變化規(guī)律，比如在一個表中的兩個變量x、y，若 x、 y的乘積一定，則這兩個變量為反比例函數(shù)關(guān)系；若x、y的比值一定，則這兩個變量為正比例函數(shù)關(guān)系；當(dāng)x均勻變化時， y也均勻變化，則這兩個變量為一次函數(shù)關(guān)系.六、典型例題剖析（本文所選例題均出自20XX年全國各地中考題）例 1（北京海淀）點(diǎn)P( 2， 3) 關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. ( 2，3)B

8、. (2， 3)C. (2， 3)D. (2， 3)剖析 ：由對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可知選D.例 2（鄭州）函數(shù) y1的自變量 x 的取值范圍是.x 4x3x+40剖析 ：由題意，得x+30 , 解得 x-3.x+30優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載例 3 （河南）如圖，函數(shù)圖象、的表達(dá)式應(yīng)為（）（A ） y 5 x ， yx 2， y 4 ；2x（B ） y 5 x ， y x2， y 4 ；2x（C） y 5 x ， yx 2， y 4 ；2x（D ） y 5 x ， yx 2， y 4 ；2x剖析： 由圖象可知，正比例函數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；一次函數(shù)的一次項系數(shù)為正數(shù)，常數(shù)項為負(fù)數(shù)；反比例函數(shù)的系數(shù)為正數(shù)。同

9、時符合以上三個結(jié)論的選項為C.例 4（常州）已知圓柱的側(cè)面積是6 cm2 ，若圓柱底面半徑為x(cm) ，高為 y(cm) ，則關(guān)于 x 的函數(shù)圖象大致是（）2 x· y = 6 ，所以 y =63剖析：由圓柱體的側(cè)面積計算公式可知，2 x =x (x 0), 表明 y是 x的反比例函數(shù)，并且 3> 0, 所以應(yīng)是雙曲線在第一限象內(nèi)的分支。故選B.例 5（揚(yáng)州）如圖，拋物線的對稱軸是直線x 1 , 它與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn) . 點(diǎn) A 、 C(0,3)的坐標(biāo)分別是 ( 1,0) 、2 .(1) 求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2) 若點(diǎn) P 是拋

10、物線上位于x 軸上方的一個動點(diǎn)，求 ABP 面積的最大值 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載剖析： (1)本題可選用一般式、兩根式和頂點(diǎn)式等多種解析式，利用待定系數(shù)法求解.【法一】設(shè)所求的函數(shù)解析式為yax2bxc，則a bc 03c2b12aa1 ,b1,c3解得22，y1 x2x3所求函數(shù)解析式為22；【法二】拋物線的對稱軸是直線x1,它與 x 軸交于 A ( 1,0)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3,0) ，3)a1ya( x1)(x 3)C (0,2 ，可設(shè)所求的函數(shù)解析式是將點(diǎn)2代入上式，解得y1 x2x3所求的函數(shù)解析式為22；【法三】拋物線的對稱軸是直線x1,4ah0ya( x2h ，將點(diǎn) A(1,0

11、)C (0, 3)ah32可設(shè)所求的函數(shù)解析式為1)、2 代入上式，得a12,h解得2，y1 x2x3所求的函數(shù)解析式為22；（2）當(dāng)點(diǎn) P 是拋物線的頂點(diǎn)時，ABP 面積最大 .由（ 1）知，當(dāng) x1 時， y2 .頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,2) . ABP 面積的最大值為：1 |AB|214 2 422.例 6（大連）閱讀下列材料： “父親和兒子同時出去晨練. 如圖，實(shí)線表示父親離家的路程y( 米 ) 與時間x( 分鐘 ) 的函數(shù)圖象；虛線表示兒子離家的路程y( 米 ) 與時間 x( 分鐘 ) 的圖象 . 由圖象可知，他們在出發(fā)10 分鐘時曾經(jīng)相遇一次，此時離家400米；晨練了30 分鐘，他們同時

12、到家. ”根據(jù)閱讀材料給你的啟示，利用指定的直角坐標(biāo)系( 如圖 ) 或用其他方法解答問題：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載和一巡邏艇和一貨輪同時從A 港口前往相距100 千米的 B 港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為20 千米 / 時，巡邏艇不停的往返于A、 B 兩港口巡邏 ( 巡邏艇調(diào)頭的時間忽略不計).（1）貨輪從A 港口出發(fā)以后直到B 港口與巡邏艇一共相遇了幾次？（2）出發(fā)多少時間巡邏艇與貨輪第三次相遇？此時離A 港口多少千米？100千米/時yy( 米)1004001030x( 分鐘)123456x剖析 ：根據(jù)題意，畫出圖象，如下圖：y100123456x其中，實(shí)線表示巡邏艇離A 港口的路程 y( 米

13、) 與時間 x( 分鐘 ) 的函數(shù)圖象；虛線表示貨輪離A 港口的路程 y( 米 ) 與時間 x( 分鐘 ) 的圖象 . 由圖象可以看出：貨輪從A 港口出發(fā)以后直到B 港口，中間與巡邏艇一共相遇了 5次.巡邏艇與貨輪第三次相遇時，設(shè)表示巡邏艇的實(shí)線段（不含其它折線）解析式為y=kx+b.由該線段的端點(diǎn)坐標(biāo)為（3， 100）、（ 4，0），得3k+b=100k=-1004k+b=0，解得 b=400.表示巡邏艇的實(shí)線段（不含其它折線）解析式為y=-100x+400 （ 3 x 4） .表示虛線的解析式為y=20x （ 0 x 6）.10y=-100x+400x= 3由 y=20x,解得200 .y

14、=3出發(fā) 3 時 20 分巡邏艇與貨輪第三次相遇，此時離A 港口200千米 .3例 7（河北）某高科技發(fā)展公司投資500 萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金 1500萬元進(jìn)行批量生產(chǎn) . 已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40 元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為100 元時，年銷售量為20 萬件；銷售單價每增加10 元，年銷售量將減少 1 萬件，設(shè)銷售單價為x 元，年銷售量為 y 萬件，年獲利（年獲利年銷售額生產(chǎn)成本投資）z 萬元 .（ 1）試寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （不必寫出 x 的取值范圍）（ 2）試寫出 z 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （不必寫出 x 的

15、取值范圍）（ 3）計算銷售單價為 160 元時的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價還可以定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件？（ 4）公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進(jìn)行銷售，第二年年獲利不低于1130 萬元 . 請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x （元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？1剖析 ：（ 1）依題意知，當(dāng)銷售單價定為x 元時，年銷售量減少10(x-100) 萬件 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載11 y=20- 10(x-100) = -10x+30.1即 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是: y = -10x+30.112（ 2）由題意，得： z = (30-10)(x-40

16、)-500-1500 = -10x +34x-3200.即 z 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是: z = -1x2+34x-3200.10(3) 當(dāng) x 取 160 時， z= -1× 1602+34× 160-3200 = - 320.1012 -320=-10x +34x-3200.整理，得 x2-340+28800=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得160+x=340. x=180.即同樣的年獲利，銷售單價還可以定為180 元.1當(dāng) x=160 時， y= -10× 160+30=14;1當(dāng) x=180 時， y= -10× 180+30=12.即相應(yīng)的年銷售量

17、分別為14萬件和 12 萬件 .1212（ 4） z = -10x +34x-3200= -10(x-170)-310.當(dāng) x=170 時， z 取最大值，最大值為-310.也就是說：當(dāng)銷售單價定為170 元時，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310 萬元就可以收回全部投資 .第二年的銷售單價定為x 元時，則年獲利為：z = (30-1x)(x-40)-31010= -1x2+34x-1510.101當(dāng) z =1130時，即 1130 = -10 +34 -1510.整理，得 x2-340x+26400=0.解得x=120, x2=220.112函數(shù) z = -10x +34x-1510的圖

18、象大致如圖所示：z(萬元 )13801130O120170 220x( 元)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載由圖象可以看出：當(dāng)120 x 220 時， z 1130.所以第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于120 元且不高于220 元的范圍內(nèi).七、創(chuàng)新應(yīng)用探索一例例 8（黃岡）在全國抗擊“非典”的斗爭中，黃城研究所的醫(yī)學(xué)專家們經(jīng)過日夜奮戰(zhàn)，終于研制出一種治療非典的抗生藥，據(jù)臨床觀察：如果成人按規(guī)定的劑量注射這種抗生素，注射藥液后每毫升血液中的含藥量 y（微克）與時間 t（小時）之間的關(guān)系近似地滿足下圖所示的折線（ 1）寫出注射藥液后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間 t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的y （

19、微克）6··········012345678910圖 8T(小時)取值范圍（ 2）據(jù)臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于 4 微克時，控制“非典”病情是有效的如果病人按規(guī)定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經(jīng)過多長時間后控制病情開始有效？這個有效時間有多長？（ 3）假若某病人一天中第一次注射藥液是早晨 6 點(diǎn)鐘，問怎樣安排此人從 6: 00 20: 00 注射藥液的時間，才能使病人的治療效果最好？參考答案： (1)當(dāng) 0 t 1 時 ,設(shè) y=k 1t ，則 6=k1× 1 ， k1=6 ， y=6t 當(dāng) 1<t 10時，設(shè) y=k 2+b，k26k 2b2解得：30