中考數(shù)學(xué) 壓軸題及答案40例

1、.2012中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案40例（8）32.已知：RtABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OAOB），直角頂點C落在y軸正半軸上（如圖1）（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式（2）如圖2，點D的坐標(biāo)為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m0，n0），連接DP交BC于點E當(dāng)BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標(biāo)又連接CD、CP（如圖3），CDP是否有最大面積？若有，求出CDP的最大面積和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由解：（1）由題意知RtAOCRtCOB，OC 2OA

2、83;OBOA(ABOA)，即22OA(5OA)OA 25OA40，OAOB，OA1，OB42分A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)可設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為ya(x1)(x4)3分將點C(0，2)代入，得2a(01)(04)，a經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式為y(x1)(x4)4分即yx 2x2（2）E1(3，)，E2(，)，E3(，)7分關(guān)于點E的坐標(biāo)求解過程如下（原題不作要求，本人添加，僅供參考）：設(shè)直線BC的解析式為ykxb則 解得直線BC的解析式為yx2點E在直線BC上，E(x，x2)若EDEB，過點E作EHx軸于H，如圖2，則DHDB1OHODDH213點E的橫坐標(biāo)為3，代入直

3、線BC的解析式，得y×32E1(3，)若DEDB，則(x2)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x14（舍去），x2y×2，E2(，)若BEBD，則(x4)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x1（此時點P在第四象限，舍去），x2y×()2，E3(，)CDP有最大面積8分過點D作x軸的垂線，交PC于點M，如圖3設(shè)直線PC的解析式為ypxq，將C(0，2)，P(m，n)代入，得 解得直線PC的解析式為yx2，M(2，2)SCDPSCDMSPDMxP·yMm(2)mn2m(m2m2)2m2m(m)2當(dāng)m時，CDP有最大面積，最大面積為

4、9分此時n×()2×2此時點P的坐標(biāo)為(，)10分33.如圖，已知拋物線yx 24x3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標(biāo)為(1，0)（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在點P，與A、B、C三點構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）連結(jié)CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由解：（1）對稱軸為直線x2，即x2；2分令y0，得x 24x30，解得x11，x

5、23點B的坐標(biāo)為(1，0)，點A的坐標(biāo)為(3，0)4分（2）存在，點P的坐標(biāo)為(2，3)，(2，3)和(4，3)7分（3）存在8分當(dāng)x0時，yx 24x33，點C的坐標(biāo)為(0，3)AO3，EO2，AE1，CO3DECO，AEDAOC，即DE19分DECO，且DECO，四邊形DEOC為梯形S梯形DEOC(13)×24設(shè)直線CM交x軸于點F，如圖若直線CM把梯形DEOC分成面積相等的兩部分，則SCOF2即CO·FO2×3FO2，F(xiàn)O點F的坐標(biāo)為(，0)10分直線CM經(jīng)過點C(0，3)，設(shè)直線CM的解析式為ykx3把F(，0)代入，得k3011分k直線CM的解析式為yx

6、312分34.在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A(0，2)，點C(1，0)，如圖所示；拋物線yax 2ax2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）過點B作BDx軸于DBCDACO90°，ACOCAO90°BCDCAO1分又BDCCOA90°，BCCARtBCDRtCAO，2分BDCO1，CDAO23分點B的坐標(biāo)為(3，1)；4分（2）把B(3，1)代入ya

7、x 2ax2，得19a3a2，解得a6分拋物線的解析式為yx 2x2；7分（3）存在8分延長BC至點P1，使CP1BC，則得到以點C為直角頂點的等腰直角三角形ACP19分過點P1作P1Mx軸CP1BC，P1CMBCD，P1MCBDC90°RtP1CMRtBCD，10分CMCD2，P1MBD1，可求得點P1(1，1)；11分把x1代入yx 2x2，得y1點P1(1，1)在拋物線上12分過點A作AP2AC，且使AP2AC，則得到以點A為直角頂點的等腰直角三角形ACP213分過點P2作P2Ny軸，同理可證RtP2NARtAOC14分P2NAO2，ANCO1可求得點P2(2，1)15分把x2

8、代入yx 2x2，得y1點P2(2，1)在拋物線上16分綜上所述，在拋物線上還存在點P1(1，1)和P2(2，1)，使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形35.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C(4，)，且在x軸上截得的線段AB的長為6（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P在y軸上，且使得PAC的周長最小，求：點P的坐標(biāo)；PAC的周長和面積；（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為ya(x 4)2(a0)，且A(x1，0)，B(x2，0)ya(x

9、4)2ax 28ax16ax1x28，x1x216AB 2(x1x2)2(x1x2)24x1x2824(16)36，a二次函數(shù)的解析式為y(x 4)22分（2）如圖1，作點A關(guān)于y軸的對稱點A，連結(jié)AC交y軸于點P，連結(jié)PA，則點P為所求令y0，得(x 4)20，解得x11，x27A(1，0)，B(7，0)OA1，OA1設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點D，則AD3，AD5，DCAOPADC，即，OPP(0，)4分ACACPAC的周長PAPCACACAC5分SPACSAAC SAAPAA(DCOP)×2×()7分（3）存在8分tanBAC，BAC30°同理，ABC30&

10、#176;，ACB120°，ACBC若以AB為腰，BAQ1為頂角，使ABQ1CBA，則AQ1AB6，BAQ1120°如圖2，過點Q1作Q1Hx軸于H，則Q1HAQ1·sin60°6×，HAAQ1·cos60°6×3HOHAOA312點Q1的坐標(biāo)為(2，)把x2代入y(x 4)2，得y(24)2點Q1在拋物線上9分若以BA為腰，ABQ2為頂角，使ABQ2ACB，由對稱性可求得點Q1的坐標(biāo)為(10，)同樣，點Q2也在拋物線上10分若以AB為底，AQ，BQ為腰，點Q在拋物線的對稱軸上，不合題意，舍去11分綜上所述，在x軸

11、上方的拋物線上存在點Q1(2，)和Q2(10，)，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與ABC相似12分36.如圖，拋物線yax 2bxc(a0)與x軸交于A(3，0)、B兩點，與y軸相交于點C(0，)當(dāng)x4和x2時，二次函數(shù)yax 2bxc(a0)的函數(shù)值y相等，連結(jié)AC、BC（1）求實數(shù)a，b，c的值；（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動當(dāng)運動時間為t秒時，連結(jié)MN，將BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標(biāo)；yOxCNBPMA（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點Q

12、，使得以B，N，Q為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）由題意得 解得a，b，c3分（2）由（1）知yx 2x，令y0，得x 2x0解得x13，x21A(3，0)，B(1，0)又C(0，)，OA3，OB1，OC，AB4，BC2yOxCNBPMA圖1HtanACO，ACO60°，CAO30°同理，可求得CBO60°，BCO30°，ACB90°ABC是直角三角形又BMBNt，BMN是等邊三角形BNM60°，PNM60°，PNC60°RtPNCRtABC，由題意知PNBNt，

13、NCBCBN2t，t4分OMBMOB1如圖1，過點P作PHx軸于H，則PHPM·sin60°×MHPM·cos60°×OHOMMH1點P的坐標(biāo)為(1，)6分（3）存在由（2）知ABC是直角三角形，若BNQ與ABC相似，則BNQ也是直角三角形二次函數(shù)yx 2x的圖象的對稱軸為x1點P在對稱軸上PNx軸，PN對稱軸又QNPN，PNBN，QNBNBNQ不存在以點Q為直角頂點的情形如圖2，過點N作QN對稱軸于Q，連結(jié)BQ，則BNQ是以點N為直角頂點的直角三角形，且QNPN，MNQ30°PNQ30°，QNtan60°

14、;，當(dāng)BNQ以點N為直角頂點時，BNQ與ABC不相似7分如圖3，延長NM交對稱軸于點Q，連結(jié)BQ，則BMQ120°AMP60°，AMQBMN60°，PMQ120°BMQPMQ，又PMBM，QMQMBMQPMQ，BQMPQM30°BNM60°，QBN90°CAO30°，ACB90°BNQABC8分當(dāng)BNQ以點B為直角頂點時，BNQABC設(shè)對稱軸與x軸的交點為DDMQDMP60°，DMDM，RtDMQRtDMPDQPD，點Q與點P關(guān)于x軸對稱點Q的坐標(biāo)為(1，)9分綜合得，在拋物線的對稱軸上存在點Q

15、(1，)，使得以B，N，Q為頂點的三角形與ABC相似10分37.如圖，已知拋物線yax 2bx3（a0）與x軸交于點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)解：（1）由題意得1分解得2分所求拋物線的解析式為yx 22x3；3分（2）存在符合條件的點P，其坐標(biāo)為P(1，)或P(1，)或P(1，6)或P(1，)；7

16、分（3）解法一：過點E作EFx軸于點F，設(shè)E(m，m 22m3)（3 a 0）則EFm 22m3，BFm3，OFm8分S四邊形BOCE SBEF S梯形FOCEBF·EF (EFOC)·OF(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)9分m 2m10分(m)2當(dāng)m時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為11分此時y()22×()3此時E點的坐標(biāo)為(，)12分解法二：過點E作EFx軸于點F，設(shè)E(x，y)（3 x 0）8分則S四邊形BOCE SBEF S梯形FOCEBF·EF (EFOC)·OF(3x)· y(3y)(x)9分(yx)(

17、x 23x3)10分(x)2當(dāng)x時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為11分此時y()22×()3此時E點的坐標(biāo)為(，)12分38.如圖，已知拋物線yax 2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C其中點A在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OAOC）是方程x 25x40的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x1（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式；（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DEBC交AC于點E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍S是否存在最大值？若存在

18、，求出最大值并求此時D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）OA、OC的長是方程x 25x40的兩個根，OAOCOA1，OC4點A在x軸的負(fù)半軸，點C在y軸的負(fù)半軸A（1，0），C（0，4）拋物線yax 2bxc的對稱軸為x1由對稱性可得B點坐標(biāo)為（3，0）A、B、C三點的坐標(biāo)分別是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）3分（2）點C（0，4）在拋物線yax 2bxc圖象上，c44分將A（1，0），B（3，0）代入yax 2bx4得 解得6分此拋物線的解析式為yx 2x47分（3）BDm，AD4m在RtBOC中，BC 2OB 2OC 23 24 225，BC5DEBC，ADEABC，即DE

19、過點E作EFAB于點F，則sinEDFsinCBA，EFDE×4m9分S SCDE SADC SADE(4m)×4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）10分0當(dāng)m2時，S有最大值211分此時ODOBBD321此時D點坐標(biāo)為（1，0）12分39.如圖，拋物線ya(x3)(x1)與x軸相交于A、B兩點（點A在點B右側(cè)），過點A的直線交拋物線于另一點C，點C的坐標(biāo)為(2，6)（1）求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）P是線段AC上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M，交x軸于點N求線段PM長度的最大值；在拋物線上是否存在這樣的點M，使得CMP與APN相似？如

20、果存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo)（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由解：（1）由題意得6a(23)(21)，a21分拋物線的解析式為y2(x3)(x1)，即y2x 24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21點A在點B右側(cè)，A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，把A(1，0)、C(2，6)代入，得 解得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y2x23分（2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m(2 m 1)，則P(m，2m2)，M(m，2m 24m6)4分PM2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2當(dāng)m時，線段PM長度的最大值為6分存在M1(0，6)7分M2(，)9分點M的坐標(biāo)

21、的求解過程如下（原題不作要求，本人添加，僅供參考）)如圖1，當(dāng)M為直角頂點時，連結(jié)CM，則CMPM，CMPANP點C(2，6)，點M的縱坐標(biāo)為6，代入y2x 24x6得2x 24x66，x2（舍去）或x0M1(0，6)（此時點M在y軸上，即拋物線與y軸的交點，此時直線MN與y軸重合，點N與原點O重合）)如圖2，當(dāng)C為直角頂點時，設(shè)M(m，2m 24m6)(2 m 1)過C作CHMN于H，連結(jié)CM，設(shè)直線AC與y軸相交于點D則CMPNAP又HMCCMP，NAPOAD，HMCOADC(2，6)，CHm2，MH2m 24m662m 24m在y2x2中，令x0，得y2D(0，2)，OD2整理得4m 2

22、9m20，解得m2（舍去）或m當(dāng)m時，2m 24m6()24×()6M2(，)如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0，)，且頂點C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PAPD最小，求出點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：（1）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為ya(xh)2k頂點C的橫坐標(biāo)為4，且過點D(0，)16ak 又對稱軸為直線x4，圖象在x軸上截得的線段AB的長為6A(1，0)，B(7，0)09ak 由解得a，k該二次函數(shù)的解析式為y(

23、x4)2（2）點A、B關(guān)于直線x4對稱，PAPBPAPDPBPDDB當(dāng)點P在線段DB上時，PAPD取得最小值DB與對稱軸的交點即為所求的點P，如圖1設(shè)直線x4與x軸交于點MPMOD，BPMBDO又PBMDBO，BPMBDO，即，PM點P的坐標(biāo)為(4，)（3）由（1）知點C(4，)，又AM3，在RtACM中，tanACM，ACM60°ACBC，ACB120°如圖2，當(dāng)點Q在x軸上方時，過Q作QNx軸于N如果ABBQ，由ABCABQ，得BQ6，ABQ120°QBN60°QN，BN3，ON10此時點Q的坐標(biāo)為(10，)(104)2，點Q在拋物線上如果ABAQ，

24、由對稱性知Q(2，)，且也在拋物線上當(dāng)點Q在x軸下方時，QAB就是ACB此時點Q的坐標(biāo)為(4，)綜上所述，在拋物線上存在點Q，使QAB與ABC相似點Q的坐標(biāo)為(10，)或(2，)或(4，)41.已知，如圖，拋物線yax 23axc（a0）與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側(cè)，點B的坐標(biāo)為（1，0），OC3OB（1）求拋物線的解析式；（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）對稱軸x1分又OC3OB3，a

25、0C(0，3)2分方法一：把B(1，0)、C(0，3)代入yax 23axc得： 解得拋物線的解析式為yx 2x34分方法二：令ax 23axc0，則xAxB3B(1，0)，xA13，xA4A(4，0)可設(shè)拋物線的解析式為ya(x4)(x1)，把C(0，3)代入得3a(04)(01)，a拋物線的解析式為y(x4)(x1)即yx 2x34分（2）方法一：如圖1，過點D作DNx軸，垂足為N，交線段AC于點MS四邊形ABCD SABC SACDAB·OCDM·(ANON)(41)×3DM·42DM5分設(shè)直線AC的解析式為ykxb，把A(4，0)、C(0，3)代

26、入得 解得直線AC的解析式為yx36分設(shè)D(x，x 2x3)，則M(x，x3)DMx3(x 2x3)(x2)237分當(dāng)x2時，DM有最大值3此時四邊形ABCD面積有最大值，最大值為：2×38分方法二：如圖2，過點D作DQy軸于Q，過點C作CC1x軸交拋物線于C1設(shè)D(x，x 2x3)，則DQx，OQx 2x3從圖象可判斷當(dāng)點D在CC1下方的拋物線上運動時，四邊形ABCD面積才有最大值則S四邊形ABCD SBOC S梯形AOQD SCDQOB·OC(AODQ)·OQDQ·CQ×1×3(4DQ)·OQDQ·(OQ3)2OQDQ5分2(x 2x3)xx 26x(x2)27分當(dāng)x2時，四邊形ABCD面積有最大值8分（3）如圖3過點C作CP1x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1AC交x軸于點E1，則四邊形ACP1E1為