球的表面積與體積PPT課件

1、第1頁(yè)/共22頁(yè)假設(shè)將圓假設(shè)將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA(p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時(shí)，當(dāng)CC,Rpn2RR2R21S圓pA3回顧：圓面積公式的推導(dǎo)第2頁(yè)/共22頁(yè) 延伸閱讀：割圓術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”。 他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。 這是世界上最早的“極限”思想。第3頁(yè)/共22頁(yè)把半球

2、分割成n個(gè)薄片 當(dāng)分割的層數(shù)不斷增加，每一層就越接近一個(gè)圓柱體。第4頁(yè)/共22頁(yè)OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir當(dāng)n時(shí)，每個(gè)薄片近似于圓柱 設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)。 將半球分割成n層，每一層都近似于圓柱形狀的“小圓片”。這些“小圓片”的體積之和就是球的體積。 選第i層（由下而上），如右圖。 厚度： 下底面半徑： 體積：Rn 23211ninRnRrVii 第5頁(yè)/共22頁(yè)球的體積公式12nVVVV半球322222212(1)1 (1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn31

3、1(1)(2)16nnVR半球1nn當(dāng) 無(wú)限變大時(shí)， 趨于0323VR半球343VR球第6頁(yè)/共22頁(yè)用“祖暅原理祖暅原理”得到球體積公式R332RV 半球半球331RV 圓錐圓錐3RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比第7頁(yè)/共22頁(yè)球的表面積公式推導(dǎo) 球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢? 從球的體積公式的推導(dǎo)方法, 得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式。oiS o第8頁(yè)/共22頁(yè)則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR2

4、4SR第9頁(yè)/共22頁(yè)基本計(jì)算問(wèn)題1.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.(2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二.O O2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的把球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則體積擴(kuò)大為原來(lái)的_倍倍.(2)把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來(lái)的把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么體積擴(kuò)大為原倍，那么體積擴(kuò)大為原來(lái)的來(lái)的_倍倍.(3)三個(gè)球的表面積之比為三個(gè)球的表面積之比為1:2:3，則它們的體積之比為，則它們的體積之比為_(kāi).(4)三個(gè)球的體積之比為三個(gè)球的體積之比為1:8:27，則它們的表面積之比為，則它們的表面積之比為_(kāi).第10頁(yè)/共

5、22頁(yè) 用一個(gè)平面去截一個(gè)球O，截面是圓面222dRrrdRO球的截面的性質(zhì)：球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面球心到截面的距離為球心到截面的距離為d，球的半徑為，球的半徑為R，則，則截面問(wèn)題第11頁(yè)/共22頁(yè)截面問(wèn)題1.一球的球面面積為256cm2，過(guò)此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別為49cm2和400cm2，求球的表面積.兩種情況2. 過(guò)球面上三點(diǎn)過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面和球心的截面和球心O的距離等于的距離等于球的半徑的一半，且球的半徑的一半，且ABBCCA3，求

6、球的體積，求球的體積.變式：在半徑為變式：在半徑為13cm的球面上有的球面上有A、B、C三點(diǎn)，三點(diǎn)，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求經(jīng)過(guò)，求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)三點(diǎn)的截面與球心的截面與球心O之間的距離之間的距離.要點(diǎn)：準(zhǔn)確畫(huà)圖，利用基本三角形第12頁(yè)/共22頁(yè)“接”與“切”： 兩個(gè)幾何體:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切 兩個(gè)幾何體:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在另一個(gè)幾何體的表面上 解決“接切”問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出正確的，把空間“接切”轉(zhuǎn)化為平面“接切”問(wèn)題第13頁(yè)/共22頁(yè)球與正方體的“接切”問(wèn)題：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)

7、球的體積之比.畫(huà)出正確的截面：(1)中截面；(2)對(duì)角面找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系21ar aaaa2ar222aa2ar233第14頁(yè)/共22頁(yè)球與正方體的“接切”問(wèn)題.，求求它它的的外外接接球球表表面面積積，側(cè)側(cè)面面面面積積分分別別為為長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體的的共共頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三個(gè)個(gè)，求求半半球球的的半半徑徑正正方方體體的的一一邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為在在半半球球的的底底面面圓圓上上，若若，正正方方體體的的一一個(gè)個(gè)面面半半球球內(nèi)內(nèi)有有一一內(nèi)內(nèi)接接正正方方體體多多少少紙紙？有有蓋蓋紙紙盒盒中中，至至少少要要用用體體的的，把把鋼鋼球球放放入入一一個(gè)個(gè)正正方方鋼鋼球球直直徑徑，求求這這個(gè)個(gè)球球隊(duì)隊(duì)體體積積是是球球面面上上，它它的

8、的棱棱長(zhǎng)長(zhǎng)一一個(gè)個(gè)正正方方體體的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)都都在在1553463.5cm2.4cm1.2222cbal長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)第15頁(yè)/共22頁(yè)四面體與球的“接切”問(wèn)題：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線(xiàn)上，但不重合4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法第16頁(yè)/共22頁(yè)四面體與球的“接切”問(wèn)題.,.)()(.球球的的半半徑徑，求求三三

9、棱棱錐錐的的內(nèi)內(nèi)切切面面，中中，在在三三棱棱錐錐正正三三棱棱錐錐的的體體積積的的內(nèi)內(nèi)接接正正三三棱棱錐錐，求求此此為為的的球球內(nèi)內(nèi)有有一一個(gè)個(gè)底底面面邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)在在半半徑徑為為求求它它的的內(nèi)內(nèi)切切球球的的表表面面積積求求它它的的外外接接球球的的體體積積；，側(cè)側(cè)棱棱長(zhǎng)長(zhǎng)為為正正四四棱棱錐錐的的底底面面邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為ABCSABACACABSAABCSaa90133121522121第17頁(yè)/共22頁(yè)球與旋轉(zhuǎn)體的“接切”問(wèn)題1.半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D點(diǎn)，將其繞AD所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)球與一個(gè)圓臺(tái)，若球的表面積與圓臺(tái)側(cè)面積的比為3:4，求球的體積與圓臺(tái)

10、體積之比.2.一個(gè)倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在此容器內(nèi)注入水并且放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切，問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？軸截面第18頁(yè)/共22頁(yè)球堆問(wèn)題1.把半徑為R的四個(gè)球壘成兩層放在桌面，下層放三個(gè)，上層放一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的距離.2.四個(gè)半徑為R的大球上層一個(gè)，下層三個(gè)兩兩相切疊放在一起，在它們圍成的空隙內(nèi)有一個(gè)小球與這四個(gè)大球都外切，另有一個(gè)更大的球與這四個(gè)大球都內(nèi)切，求小球的半徑r和更大球的半徑R.化歸為以各球球心為頂點(diǎn)的多面體問(wèn)題第19頁(yè)/共22頁(yè)平行于底面的截面與底面相似，且平行于底面的截面與底面相似，且SS121)hh(S底底截截S當(dāng)平行于底面的截面過(guò)棱錐當(dāng)平行于底面的截面過(guò)棱錐高的中點(diǎn)時(shí)，這個(gè)截面常被高的中點(diǎn)時(shí)，這個(gè)截面常被稱(chēng)為中截面，思考：稱(chēng)為中截面，思考：?S底底中截中截S原棱錐側(cè)原棱錐側(cè)小棱錐側(cè)