三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.高考考點(diǎn)分析各地高考中本部分所占分值在1722 分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。第一層次：通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號(hào)、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三層次：充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。2. 方法技巧1. 三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（ 1）常值代換：特別是用“ 1”的代換，如 1=cos 2 +sin2 =tanx ·

2、;cotx=tan45 °等。（ 2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin 2x+2cos 2x=(sin2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x；配湊角： =（ +） ， =等。2 2（ 3）降次與升次。 （4）化弦（切）法。（ 4）引入輔助角。 asin +bcos = a 2b 2sin( + ) ，這里輔助角所在象限由a、b 的符號(hào)確定，角的值由 tan= b 確定。a2. 證明三角等式的思路和方法。（ 1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（ 2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3. 證明三角不

3、等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4. 解答三角高考題的策略。（ 1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（ 2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（ 3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.（上海， 15）把曲線 ycosx+2y 1=0 先沿 x 軸向右平移個(gè)單位，再沿y 軸向下平移1 個(gè)單2位，得到的曲線方程是（）A.（1 y） sinx+2y3=0B.（ y 1） sinx+2y 3=0C.（ y+1）sinx+2y+1=0D. (y+

4、1)sinx+2y+1=02.（北京，3）下列四個(gè)函數(shù)中， 以 為最小正周期， 且在區(qū)間 （， ）上為減函數(shù)的是 （）2A.y=cos2xB.y 2|sin x|C.y (1 cosxD.y= cotx)33.（全國(guó)， 5）若 f（ x） sinx 是周期為 的奇函數(shù)，則 f（ x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x4.（全國(guó)， 6）已知點(diǎn)P（ sin cos， tan ）在第一象限，則在0， 2 內(nèi) 的取值范圍是（）A.（35，）（ ，）244B.（5，）（ ，）424C.（， 3）（ 5， 3）2442D.（，）（ 3， ）4245.（全國(guó)）若sin2 x>

5、;cos2x，則 x 的取值范圍是（）3A.x|2 k <x<2k +， k Z445B.x|2 k +<x<2k + ， kZ44C.x| k <x<k +， kZ44學(xué)習(xí)必備歡迎下載3D.x| k +<x<k + ， kZ446.（全國(guó)， 3）函數(shù) y 4sin（ 3x） 3cos（ 3x）的最小正周期是（）44A.6B.22D.C.337.（全國(guó)， 9）已知 是第三象限角，若 sin4 cos45 ，那么 sin2等于（）9222222A.3B.3C.D.338.（全國(guó)， 14）如果函數(shù) y=sin2x+acos2x 的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)

6、稱，那么 a 等于（）8A.2B.2C.1D. 19.（全國(guó)， 4）設(shè) 是第二象限角，則必有（）A.tan>cotB.tan<cot2222C.sin>cosD.sin cos2222（上海， ）若 （ ） （ 1 )在區(qū)間，上的最大值是2 ，則 .10.9f x=2sin x00311.26 ， tan7.（北京， 13） sin ， cos 從小到大的順序是55512.sin 7cos15 sin 8的值為 _.（全國(guó)， 18）sin15 sin 8cos713.（全國(guó)， 18） tan20 ° +tan40 °+3 tan20°·

7、 tan40 °的值是 _.學(xué)習(xí)必備歡迎下載14.（全國(guó)， 18）函數(shù) y sin（ x） cosx 的最小值是.615.（上海， 17）函數(shù) ysin x cos x 在（ 2 ， 2 ）內(nèi)的遞增區(qū)間是.2216.（全國(guó)， 18）已知 sin cos 1， （ 0， ），則 cot 的值是.517.（全國(guó)， 17）已知函數(shù) y 3sinx cosx， x R.（ 1）當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時(shí)，求自變量x 的集合；（ 2）該函數(shù)的圖象可由 y sinx（x R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到 ? 18.（全國(guó)， 22）求 sin220° cos250° sin

8、20° cos50°的值 .19.3， ），tan （ ）1（上海， 21）已知 sin， （，522求 tan（ 2 ）的值 .20.（全國(guó)， 22）已知函數(shù) f （ x）=tan x，x（ 0，），若 x1、 x2（ 0，），且 x1 x2 ，證明221 f（ x ） f（ x） f（ x1x2） .212221.已知函數(shù) f ( x)log 1 (sin xcos x)2求它的定義域和值域；求它的單調(diào)區(qū)間；判斷它的奇偶性；判斷它的周期性 .22.求函數(shù) f (x)= log 1 cos(1 x) 的單調(diào)遞增區(qū)間23423.已知 f(x)=5sinxcosx- 53 c

9、os2x+ 53 （ x R）2求 f(x)的最小正周期；求 f(x)單調(diào)區(qū)間；求 f(x)圖象的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心。24 若關(guān)于 x 的方程 2cos2(+ x)sinx + a = 0 有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。1已知函數(shù) f (x)sin x cos x3 cos2 x .333學(xué)習(xí)必備歡迎下載（）將 f(x) 寫成 Asin( x) 的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；2所對(duì)的角為 x，試求 x 的范圍及此時(shí)函（）如果 ABC的三邊 a、b、c 滿足 b =ac，且邊 b數(shù) f(x) 的值域 .解： f (x)1 sin 2x3 (1cos 2x )1 sin 2x3 cos 2x3

10、sin( 2x3)323232323232（）由 sin( 2x3) =0 即 2x3k( kz)得 x3k 1kz332即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為3k1 ， kz22（）由已知 b =accos xa 2c 2b 2a2c 2ac2acac1 ，2ac2ac2ac21cosx，0x，2x52133339| |5|，sinsin(2x)，32x)3，9231sin(13233332即 f (x) 的值域?yàn)?( 3,13 .2綜上所述， x(0,，f (x) 值域?yàn)?( 3,13 .32說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)

11、生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。2在ABC中， a、 、c 分別是角 A、cosC3acbBC 的對(duì)邊，且b，cos B(1) 求 sin B 的值；(2) 若 b42 ，且 a=c ，求ABC 的面積。解： (1)由正弦定理及 cosC3ac ，有 cosC 3sin Asin C ，cos Bbcos Bsin B即 sin B cosC3sin A cosB sin C cosB ，所以 sin( BC )3sin A cos B ，又因?yàn)锳 B， sin( BC ) sin A ，所以sin A3sin AcosB，因?yàn)閟in A0，所C 1，又 0B ，所以 sin B 1 co

12、s2B22以 cos B。33學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 在ABC 中，由余弦定理可得 a2c22ac32 ，又 ac ，所以有 43a232，即 a224，所以ABC 的面積為3S1 ac sin B1 a2 sin B8 2 。223已知向量 a(2cos ，2sin )， b= ( sin ，cos)， x a(t 23)b，ykab ，且 xy0 ， (1)求函數(shù) kf (t) 的表達(dá)式；(2) 若 t 1，3 ，求 f (t) 的最大值與最小值。解： (1) a24 ， b 21， ab0 ，又 xy0 ，所以 x y a (t 23)b ( kab)ka2(t 23)b 2t k(t2

13、3)a b 0 ，所以 k1 t33 t ，即 kf (t )1 t 33 t ；4444(2) 由 (1)可得，令 f (t) 導(dǎo)數(shù)3t230 ，解得 t1，列表如下：44t 1( 1， 1)1(1， 3)f (t ) 導(dǎo)數(shù)00+f (t)極大值遞減極小值遞增而11991f (1)， f (1)， f (3)所以， f (t )min。2，f (t )max22224已知向量 a(cos ，sin )， b= (cos ，sin )，| ab | 2 5，5(1) 求 cos( ) 的值； 0，且 sin 5 ，求 sin 的值。(2) 若 0 ，2213解： (1)因?yàn)?a(cos ，sin )， b=(cos ，sin )，所以 ab(cos cos ，sin sin )，學(xué)習(xí)必備歡迎下載又因?yàn)?| ab |25，所以(cos cos )2(sin sin )22 5，55即 4， 3；22cos()5cos()50 ， ，(2)，220 034又因?yàn)閟in( ，所以 ，cos()5)5sin 5，所以 cos 12 ，所以 sin sin( )631313655平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)P(1, cos x), Q(cos x,1), x ,44（ 1）求向量 OP 和 OQ 的夾角 的