信號(hào)與系統(tǒng)教案,第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

1、東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次18第4章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4.0 引言4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4.2周期信號(hào)的傅里葉變換教學(xué)目的及要求掌握連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換表示方法及推導(dǎo)過程，掌握連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換表示。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排重點(diǎn)：非周期信號(hào)的傅里葉變換表示。難點(diǎn)：如何由連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)過渡到連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配4.0 引言 5min4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 70min4.2周期信號(hào)的傅里葉變換

2、 15min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注4.0 引言在這一章以及下一章將把這些概念推廣應(yīng)用到非周期信號(hào)中去。將會(huì)看到，相當(dāng)廣泛的一類信號(hào)，其中包括全部有限能量的信號(hào)，也能夠經(jīng)由復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示。對(duì)周期信號(hào)而言，這些復(fù)指數(shù)基本信號(hào)構(gòu)造單元全是成諧波關(guān)系的;而對(duì)非周期信號(hào)，它們則是在頻率上無限小地靠近的。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求和。對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)建立這種表示是傅里葉的最重要的貢獻(xiàn)之一，現(xiàn)在我們來討論傅里葉變換也是緊隨著他最初研究所采用的途徑進(jìn)行的；特別是傅里葉所曾認(rèn)為的，一個(gè)非周期信號(hào)能夠看成是周期無限長的周期信號(hào)這一點(diǎn)。更加.確切

3、些就是，在一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示中，當(dāng)周期增加時(shí)，基波頻率就減小，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上愈趨靠近。當(dāng)周期變成無窮大時(shí)，這些頻率分量就形成了一個(gè)連續(xù)域，從而傅里葉級(jí)數(shù)的求和也就變成了一個(gè)積分。4 .1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4 .1 .1非周期信號(hào)傅里葉變換表示的導(dǎo)出為了對(duì)傅里葉變換表示的實(shí)質(zhì)求得更深人地了解，我們還是先由在例3.5中所研究過的連續(xù)時(shí)間周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)表示人手。即，在一個(gè)周期內(nèi)xt=1,             t<T1 

4、;0,  T1<t<T/2該方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)ak是理解(4.1)式的另一種方式是把它當(dāng)作一個(gè)包絡(luò)函數(shù)的樣本，即從該圖可以看到，隨著T增加，該包絡(luò)就被以愈來愈密集的間隔采樣。隨著T變得任意大，原來的周期方波就趨近于一個(gè)矩形脈沖(也就是說，在時(shí)域所保留下的是一個(gè)非周期信號(hào)，它對(duì)應(yīng)于原方波的一個(gè)周期)。與此同時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)(乘以T后)作為包絡(luò)上的樣本也變得愈來愈密集，這樣從某種意義上說(稍后將說明)，隨著T,傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)就趨近于這個(gè)包絡(luò)函數(shù)。這個(gè)例子說明了對(duì)非周期信號(hào)建立傅里葉表示的基本思想。這就是在建立非周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)，可以把非周期信號(hào)當(dāng)作一個(gè)

5、周期信號(hào)在周期任意大時(shí)的極限來看待，并且研究這個(gè)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)表示式的極限特性?，F(xiàn)在，我們來考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，它具有有限持續(xù)期，即對(duì)某個(gè)T1當(dāng)t>T1時(shí)，xt=0，如圖4.3(a)所示。從這個(gè)非周期信號(hào)出發(fā)，可以構(gòu)成一個(gè)周期信號(hào)x(t)，使x(t)就是x(t)的一個(gè)周期，如圖4.3(b)示?，F(xiàn)在來考察一下在這種情況下x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式的變化由于在t<T/2內(nèi)，x(t)=x(t)，而在其余地方xt=0，所以(4.4式可以重新寫成因此，定義Tak的包絡(luò)X(j)為 (4.8) (4.9) (4.8)式和(4.9)式稱為傅里葉變換對(duì)。函數(shù)X(j)稱為x(t)的傅里葉變換或傅

6、里葉積分，而(4.8)式稱為傅里葉反變換式。對(duì)周期信號(hào)來說，表示成成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，頻率為k0，而對(duì)于非周期信號(hào)而言，這些復(fù)指數(shù)信號(hào)出現(xiàn)在連續(xù)頻率上。一個(gè)非周期信號(hào)x(t)的變換X(j)通常稱為x(t)的頻譜。 基于以上討論，或者等效地基于(4.9)式和(3.39)式的比較，也可以注意到，一個(gè)周期信號(hào)x(t)的傅里葉系數(shù)ak能夠利用x(t)的一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)的傅里葉變換的等間隔樣本來表示。這就是，設(shè)x(t)是一個(gè)周期為T的周期信號(hào)，其傅里葉系數(shù)為ak;令x(t)是一個(gè)有限持續(xù)期信號(hào)，它等于在一個(gè)周期內(nèi)的x(t),譬如說是在這樣一個(gè)周期內(nèi)sts+T，而在該周期外全為零。那么，因?yàn)?/p>

7、(3.39)式求x(t)的傅里葉系數(shù)時(shí)可以在任何周期內(nèi)做積分，因此4.1.2傅里葉變換的收斂雖然在導(dǎo)出(4.8)式和(4.9)式的傅里葉變換對(duì)時(shí)，假設(shè)x(t)是任意的，但具有有限持續(xù)期。事實(shí)上這一對(duì)變換關(guān)系對(duì)于相當(dāng)廣泛的一類無限持續(xù)期的信號(hào)仍然成立。我們對(duì)傅里葉變換所采用的推導(dǎo)過程，本身似乎就暗示了x(t)的傅里葉變換是否存在的條件應(yīng)該和傅里葉級(jí)數(shù)收斂所要求的那一組條件一樣。事實(shí)證明確實(shí)如此。要想知道的是，什么時(shí)候x(t)才是原來信號(hào)x(t)的真正表示？若x(t)能量有限，也即x(t)平方可積，因而那么就可以保證X(j)是有限的。因此，和周期信號(hào)相類似，如果，x(t)能量有限，那么雖然x(t)

8、和它的傅里葉表示x(t)在個(gè)別點(diǎn)上或許有明顯的不同，但是在能量上沒有任何差別。也和周期信號(hào)一樣，有另一組條件，這組條件充分保證了x(t)除了那些不連續(xù)點(diǎn)外，在任何其它的t上都等于x(t)，而在不連續(xù)點(diǎn)處x(t)等于x(t)在不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均值。這組條件也稱為狄里赫利條件，它們是:1. x(t)絕對(duì)可積，即2.在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個(gè)最大值和最小值。3.在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，并且在每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)都必須是有限值。4 .1.3連續(xù)時(shí)間傅里葉變換舉例詳見教材，例4.1-例4.54.2周期信號(hào)的傅里葉變換在上一節(jié)介紹了傅里葉變換表示，并給出了幾個(gè)例子。雖然在那一節(jié)的注

9、意力主要是集中在非周期信號(hào)上，其實(shí)對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立傅里葉變換表示。這樣一來就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號(hào)。事實(shí)上將會(huì)看到，可以直接由周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示構(gòu)造出一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉變換;所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。這是一個(gè)非常有用的表示。為了得到一般性的結(jié)果，考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，其傅里葉變換X(j)是一個(gè)面積為2，出現(xiàn)在=0處的單獨(dú)的一個(gè)沖激，即將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(j)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即例題，詳見教材例4.6-4.8。東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安

10、交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次19第4章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)教學(xué)目的及要求掌握連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的常用性質(zhì)內(nèi)容及推導(dǎo)過程；掌握卷積性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排重點(diǎn)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的常用性質(zhì)內(nèi)容；卷積性質(zhì)。難點(diǎn)：對(duì)偶性質(zhì)以及卷積性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配4.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì) 60min4.4 卷積性質(zhì) 30min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題習(xí)題4.12習(xí)題4.25教 案內(nèi) 容備 注4.3連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)這一節(jié)以及后面兩節(jié)將討論傅里葉變換的幾個(gè)重要性質(zhì)。與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示的情況相同，這些性質(zhì)對(duì)變換本身以及

11、對(duì)一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述之間的關(guān)系都將給出透徹的認(rèn)識(shí)。另外，很多性質(zhì)對(duì)簡化傅里葉變換或反變換的求取也往往是很有用的。 (4.8) (4.9)4.3.1線性4.3.2 時(shí)移性質(zhì)例4.9 詳見教材215頁4.3.3 共軛及共軛對(duì)稱性共軛性質(zhì)就能證明，若x(t)為實(shí)函數(shù)，那么X(j)就具有共扼對(duì)稱性，即這就是說，傅里葉變換的實(shí)部是頻率的偶函數(shù)，而虛部則是頻率的奇函數(shù)。類似地，若將X(j)用極坐標(biāo)表示為作為(4.30)式進(jìn)一步的結(jié)果，若x(t)為實(shí)且為偶函數(shù)，那么X(j)也一定為實(shí)、偶函數(shù)。為此，可以寫出同樣可以證明，若x(t)是時(shí)間的實(shí)值奇函數(shù)，那么X(j)就是純虛且為奇函數(shù)。例4.10詳見教

12、材P217頁4.3.4微分與積分例4.11、4.12詳見教材P2184.3.5時(shí)間與頻率的尺度變換介紹時(shí)域與頻域的相反性，詳見教材。4 .3 .6對(duì)偶性比較一下正變換和反變換的關(guān)系式，可以看到這兩個(gè)式子在形式上是相似的，這一對(duì)稱性就導(dǎo)致了傅里葉變換的一個(gè)性質(zhì)稱之為對(duì)偶性。以例4.13為例說明對(duì)偶性的含義，詳見教材220頁。4.3.7帕斯瓦爾定理例4.14 見教材東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次20第4章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4.4 卷積性質(zhì)4.5 相乘性質(zhì)4.6 傅里葉變換性質(zhì)和基本傅里葉變換對(duì)列表4.7 由線性常系數(shù)微

13、分方程表征的系統(tǒng)教學(xué)目的及要求掌握連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的兩個(gè)重要性質(zhì)，卷積性質(zhì)及相乘性質(zhì)，熟悉傅里葉變換的常用性質(zhì)，并掌握常用的基本傅里葉變換對(duì)，掌握線性常系數(shù)微分方程的基本求解方法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排重點(diǎn)：卷積性質(zhì)及相乘性質(zhì)的公式；傅里葉變換的基本性質(zhì)及常用變換對(duì)；線性常系數(shù)微分方程的基本解法。難點(diǎn)：線性常系數(shù)微分方程的求解。教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配4.4 卷積性質(zhì) 25min4.5 相乘性質(zhì) 20min4.6 傅里葉變換性質(zhì)和基本傅里葉變換對(duì)列表 20min4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng) 25min例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注4 .4卷積性質(zhì)

14、在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號(hào)用一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)來表示，也就是按(3.38)式作為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示，那么，一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)這個(gè)輸人的響應(yīng)也能夠用一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)來表示。因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)是輸人的那些系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應(yīng)的值。例4.15-4.204.5相乘性質(zhì)卷積性質(zhì)說的是時(shí)域內(nèi)的卷積對(duì)應(yīng)于頻域內(nèi)的相乘。由于時(shí)域和頻域之間的對(duì)偶性?？梢云谕麑?duì)此也一定有一個(gè)相應(yīng)的對(duì)偶性質(zhì)存在 一個(gè)信號(hào)被另一個(gè)信號(hào)去乘，可以理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制另一個(gè)信號(hào)的振幅，因此兩個(gè)信號(hào)相乘往往也稱之為幅度調(diào)制。為此，4.7式有時(shí)也稱為調(diào)制性質(zhì)。

15、將會(huì)在第7章和第8章看到，這個(gè)性質(zhì)有幾個(gè)很重要的應(yīng)用。為了說明(4.70)式以及今后將要討論到的若干應(yīng)用，先來舉幾個(gè)例子。例4.21-4.234.6 傅里葉變換性質(zhì)和基本傅里葉變換對(duì)列表4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)例4.24-4.25，詳見教材236頁。東北電力大學(xué)教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對(duì)象選用教材信號(hào)與系統(tǒng)西安交通大學(xué)出版社總學(xué)時(shí)72課次21第4章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換實(shí)驗(yàn)課教學(xué)目的及要求教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及處理安排教學(xué)方式、方法講授法教學(xué)內(nèi)容及時(shí)間分配例題、練習(xí)題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內(nèi) 容備 注實(shí)驗(yàn)四 連續(xù)時(shí)間傅里葉分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 掌握連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

16、的基本理論； 2. 熟悉MATLAB軟件的使用； 3. 掌握對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行傅里葉分析的方法。二、實(shí)驗(yàn)過程為了更好地體會(huì)MATLAB的數(shù)值計(jì)算功能，特別是強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力，這里給出連續(xù)信號(hào)傅立葉變換的數(shù)值計(jì)算方法。這一法的理論依據(jù)為:對(duì)于一大類信號(hào)，當(dāng)足夠小時(shí)，上式的近似情況可以滿足實(shí)際需要。1. 繪制信號(hào) 的時(shí)域與頻域圖。R=0.02; %取樣間隔=0.02t=-2:R:2; % t為從-2到2，間隔為0.02的行向量ft=exp(-2*t).*(t>=0);W1=10*pi; %取要計(jì)算的頻率范圍M=500; k=0:M; w=k*W1/M; %頻域采樣數(shù)為M, w為頻率正半軸的

17、采樣點(diǎn)Fw=ft*exp(-j*t'*w)*R; %求傅氏變換 FRw=abs(Fw); %取振幅W=-fliplr(w),w(2:501) ; %形成負(fù)半軸和正半軸的2M+1個(gè)頻率點(diǎn)WFW=fliplr(FRw),FRw(2:501); %形成對(duì)應(yīng)于2M+1個(gè)頻率點(diǎn)的值Subplot(2,1,1) ; plot(t,ft) ;grid; %畫出原時(shí)間函數(shù)f(t)的波形，并加網(wǎng)格xlabel('t') ; ylabel('f(t)'); %坐標(biāo)軸標(biāo)注title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); %文本標(biāo)注subplot(2,1,2) ; plot(W,FW) ;grid; %畫出振幅頻譜的波形,并加網(wǎng)格xlabel ('W') ; ylabel ('F(W)'); %坐標(biāo)軸標(biāo)注title('f(t)的振幅頻譜圖'); %文本標(biāo)注2. 繪制信號(hào) 的時(shí)域與頻域圖。ft=zeros(1,50),ones(1,101),zeros(1,50);3. 利用fft繪制信號(hào)