一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第7章 第5節(jié)　簡單幾何體的面積與體積 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第五節(jié)簡單幾何體的面積與體積考綱傳真了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式s圓柱側(cè)2rls圓錐側(cè)rls圓臺側(cè)(r1r2)l2.柱、錐、臺和球的表面積和體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)s表面積s側(cè)2s底vsh錐體(棱錐和圓錐)s表面積s側(cè)s底vsh臺體(棱臺和圓臺)s表面積s側(cè)s上s下v(s上s下)h球s4r2vr31(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積()(2)球的體積之比等于半徑比的平方()(3)臺體的體積

2、可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差()(4)已知球o的半徑為r，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則ra.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()a1 cmb2 cmc3 cmd cmbs表r2rlr2r·2r3r212，r24，r2(cm)3(20xx·全國卷)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖7­5­1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為

3、8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()圖7­5­1a14斛b22斛c36斛d66斛b設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r，所以米堆的體積為v×·r2·5×2×5(立方尺)故堆放的米約有÷1.6222(斛)故選b.4(20xx·全國卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()a12b.c8d4a設(shè)正方體棱長為a，則a38，所以a2.所以正方體的體對角線長為2，所以正方體外接球的半徑為，所以球的表面積

4、為4·()212.5(20xx·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖7­5­2所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是_cm3. 【導(dǎo)學(xué)號：57962340】圖7­5­2由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面為邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的四棱錐組成，vv正方體v四棱錐8 cm3 cm3 cm3.空間幾何體的表面積(1)某三棱錐的三視圖如圖7­5­3所示，則該三棱錐的表面積是() 圖7­5­3a2 b4 c22 d5(2)(20xx·全國卷)如圖7­5­

5、;4，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖7­5­4a17 b18 c20 d28 (1) c (2) d (1)由三視圖作出三棱錐如圖所示，在三棱錐a­bcd中，ad平面bcd.bcd為等腰三角形，e為bc的中點，連接ae，de，又adbeec1，de2，所以bdcd，ae.則sacdsabd×1×，sabc×2×，sbcd2.故s表sacdsabdsbcdsabc22.(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為

6、r，則r3×r3，解得r2.因此它的表面積為×4r2r217.規(guī)律方法1.(1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面面積之和(2)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理2若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解變式訓(xùn)練1(20xx·全國卷)如圖7­5­5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖7­5­5a1836 b5418 c90 d81b由三視圖可知該幾何體是

7、底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選b.空間幾何體的體積(1)在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2.將梯形abcd繞ad所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為() a.bc.d2(2)(20xx·天津高考)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖7­5­6所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3.圖7­5­6 (1)c(2)2(1)過點c作ce垂直ad所在直線于點e，梯形ab

8、cd繞ad所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段ab的長為底面圓半徑，線段bc為母線的圓柱挖去以線段ce的長為底面圓半徑，ed為高的圓錐，如圖所示由于v圓柱·ab2·bc×12×22，v圓錐·ce2·de·12×(21)，所以該幾何體的體積vv圓柱v圓錐2.(2)由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，對應(yīng)高為1，所以其體積vsh×2×1×32.規(guī)律方法1.若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解2若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用

9、轉(zhuǎn)換法(轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解3若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解變式訓(xùn)練2(20xx·陜西質(zhì)檢(二)某幾何體的三視圖如圖7­5­7所示，則此幾何體的體積是()【導(dǎo)學(xué)號：57962341】圖7­5­7a28b32c36d40c由三視圖得該幾何體為一個底面半徑為2，高為2的圓柱體和一個上底半徑為2，下底半徑為4，高為3的圓臺，則其體積為2××22×3(22422×4)36，故選c.多面體與球的切、接問題(20xx·

10、;全國卷)在封閉的直三棱柱abc­a1b1c1內(nèi)有一個體積為v的球若abbc，ab6，bc8，aa13，則v的最大值是()a4bc6db由abbc，ab6，bc8，得ac10，要使球的體積v最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面abc的內(nèi)切圓的半徑為r.則×6×8×(6810)·r，則r2.此時2r43，不合題意因此球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑r最大由2r3，即r.故球的最大體積vr3.遷移探究1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵤bc­a1b1c1的6個頂點都在球o的球面上”，若ab3，ac4，abac，a

11、a112，求球o的表面積解將直三棱柱補形為長方體abec­abec，則球o是長方體abec­abec的外接球，體對角線bc的長為球o的直徑因此2r13，故s球4r2169.遷移探究2若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球o的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積解如圖，設(shè)球心為o，半徑為r，則在rtaof中，(4r)2()2r2，解得r，則球o的體積v球r3×.規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化

12、歸為平面問題2若球面上四點p，a，b，c中pa，pb，pc兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題變式訓(xùn)練3(20xx·全國卷)已知a，b是球o的球面上兩點，aob90°，c為該球面上的動點若三棱錐o­abc體積的最大值為36，則球o的表面積為()a36b64c144d256 c如圖，設(shè)球的半徑為r，aob90°，saobr2.vo­abcvc­aob，而aob面積為定值，當(dāng)點c到平面aob的距離最大時，vo­abc最大，當(dāng)c為與球的大圓面aob垂直的直徑的端點時，體積vo­abc最大為×r2×r36，r6，球o的表面積為4r24×62144.故選c.思想與方法1轉(zhuǎn)化與化歸思想：計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法2求體積