高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何?？碱}型：直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)(復(fù)習(xí)課)正式版

1、面 aA 3= C.求證：AB/ C.直線 b± 3,且 AB±a, AB±b,la, a'與b確定的平面設(shè)為T因?yàn)閍' la, AB la,所以 ABJa',又 ABJb, a' n b=B,所以 AB±直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)（復(fù)習(xí)課）【常考題型】題型一、線面、面面垂直的綜合問(wèn)題【例1】如圖，已知直線a± %證明如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線a'因?yàn)閎3, c? 3,所以blc.因?yàn)閍Lz, c? %所以aJc,又a' a,所以a' !c.由可得c±T,又ABM 所以AB /C.

2、【類題通法】判斷線線、線面的平行或垂直關(guān)系，一般要利用判定定理和性質(zhì)定理，有時(shí)也可以放到特 殊的幾何體中（如正方體、長(zhǎng)方體等）然后再判斷它們的位置關(guān)系.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖所不平面 % 3,直線a,且a_L 3, aCl 3= AB求證：a± 3證明：1.a /a,過(guò)a作平面丫交a于a',則a/a'.a JAB,. a'必B.'-'a_L3, aCl 3= AB ,. a'邛，.'alp.題型二、求點(diǎn)到面的距離【例2】 已知 ABC, AC=BC = 1, AB=W，又已知 S是 ABC所在平面外一點(diǎn)， SA = SB=2, S

3、C=W，點(diǎn)P是SC的中點(diǎn)，求點(diǎn) P到平面ABC的距離.解法一：如圖所示，連接 PA, PB.易知SAC,那CB是直角三角5形，所以 SA_LAC, BC1AC./取 AB、AC 的中點(diǎn) E、F,連接 PF, EF, PE,貝U EF/BC, PF/SA.所以 EF1AC, PF1AC.尸V因?yàn)镻F A EF = F,所以 AC,平面PEF.又PE?平面PEF,所以PE1AC.易證ASAC0相BC.因?yàn)镻是SC的中點(diǎn)，所以PA=PB.而E是AB的中點(diǎn)，所以 PE必B.因?yàn)锳BAAC = A,所以PEL平面ABC.從而PE的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到平面ABC的距離.在 RtMEP 中，AP = 2sC=中,

4、AE=；AB = ¥，所以 PE=正2AE2 =、/5二2 =喙,33即點(diǎn)P到平面ABC的距離為諼.法二：如圖所示，過(guò) A作AE/BC,過(guò)B作BF/AC,交AE于點(diǎn)D, 則四邊形ACBD為正方形.連接 SD.因?yàn)?AC6A, AC1AD, SAP AD = A,所以 AC,平面 SDA.所以AC1SD.又由題意，可知 BC1SB.因?yàn)锽C1BD, SBABD = B,所以BCL平面SDB,所以BC6D.又 BCAAC = C,于是 SDL平面ACBD.所以SD的長(zhǎng)為點(diǎn)S到平面ABC的距離.在 Rt夕DA 中易得 SD= SA2-AD2 =22-12 =，3.因?yàn)镻為SC的中點(diǎn)，故點(diǎn)P

5、到平面ABC的距離為 /=坐【類題通法】求點(diǎn)到面的距離的關(guān)鍵是確定過(guò)點(diǎn)與平面垂直的線段.可通過(guò)外形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為易于 求解的點(diǎn)，等體積法也是求點(diǎn)到平面的距離的常用方法.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2.如圖所示，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面邊長(zhǎng)為2M2,側(cè)棱 長(zhǎng)為4, E, F分別為棱AB, BC的中點(diǎn)，EFABD = G.(1)求證：平面 BiEF，平面 BDDiBi；(2)求點(diǎn)Di到平面BiEF的距離.解：證明：(i)連接AC；.正四棱柱ABCD AiBiCiDi的底面是正方形，ACJBD.又ACdDD1,且 BDADDi = D,故 AC，平面 BDDiBi,.E, F分別為棱AB, B

6、C的中點(diǎn)，故 EF AC,. EF，平面 BDDiBi ,，平面 BiEF，平面BDDiBi.(2)解題流程:題型三、折疊問(wèn)題【例3】 如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD, E是AB的中點(diǎn)，木、沿DE將 ADE折起.蟲(chóng)(1)如果二面角 ADE C是直二面角，求證： AB = AC;/一? (2)如果AB = AC,求證：平面 ADE，平面BCDE.證明 過(guò)點(diǎn)A作AM JDE于點(diǎn)M,則AM，平面BCDE ,. AM JBC.又 AD = AE,. M是DE的中點(diǎn).取 BC中點(diǎn)N,連接 MN, AN,則 MN 1BC.又 AM JBC, AM A MN=M,. BC,平面AMN,.ANIBC.又

7、N是BC中點(diǎn)，AB=AC.(2)取BC的中點(diǎn)N,連接AN.AB= AC, . AN IBC.取DE的中點(diǎn) M,連接 MN, AM,MIN IBC.又 ANA MN = N,. BC,平面AMN, . AM dBC.又 M 是 DE 的中點(diǎn)，AD=AE,AMIDE.X -DE與BC是平面BCDE內(nèi)的相交直線，. AM，平面BCDE.AM?平面 ADE, 平面ADEL平面BCDE.【類題通法】解決折疊問(wèn)題的策略(1)抓住折疊前后的變量與不變量.般情況下，在折線同側(cè)的量，折疊前后不變,跨過(guò)折線的量，折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化，這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)在解題時(shí)仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的

8、變化情況.注意相應(yīng)的點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系，線段的長(zhǎng)度，角度的變化情況.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3.如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，已知 AD = 2AB=2a, BD = <3a, ACABD=E,將 其沿對(duì)角線BD折成直二面角.CB1封求證：(1)AB，平面BCD;(2)平面ACD，平面ABD.證明：(1)在 AABD 中，AB=a, AD = 2a, BD=>/3a,. AB2+ BD2= AD2, ABD = 90°, . AB1BD.又平面ABD，平面BCD,平面 ABD n平面BCD = BD , AB?平面 ABD,. AB,平面 BCD.(2)二折疊前四邊形A

9、BCD是平行四邊形，且 ABJBD,. CDdBD；AB，平面 BCD, . ABJCD.又.ABnBD = B,，CD，平面ABD.又CD?平面ACD,平面ACD，平面ABD.【練習(xí)反饋】1 .如圖所示，三棱錐 P-ABC的底面在平面 ”上，且ACLPC,平面PACL平面PBC,點(diǎn)P, A, B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是()A. 一條線段B. 一條直線C. 一個(gè)圓D. 一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)解析：選D 二,平面PAC，平面PBC, ACJPC, AC?平面PAC,且平面 PAC n平面PBC =PC,. AC,平面 PBC.又BC?平面 PBC, . AC dBC, ACB=90&#

10、176;, .動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是以 AB為直徑的圓，除去 A和B兩點(diǎn)，故選D.2.在三棱錐 P ABC中，平面 PACL平面 ABC, /PCA = 90°, ABC是邊長(zhǎng)為4的正三 角形，PC=4, M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PM的最小值為（）A. 2mB. 2用C. 45D, 4幣解析：選B 連接CM,則由題意PC,平面ABC,可得PCJCM,所 以PM=4PC2+CM2,要求PM的最小值只需求出 CM的最小值即可， 在AABC中，當(dāng)CM 1AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有 CM = 4x*=2V3,所以PM的最小值為2由.3 .若構(gòu)成教室墻角的三個(gè)墻面記為“，3, %交線記為BA

11、, BC, BD,教室內(nèi)一點(diǎn)P到三墻面& & 丫的距離分別為3 m, 4 m,1 m ,則P與墻角B的距離為 m.解析：過(guò)點(diǎn)P向各個(gè)面作垂線，構(gòu)成以BP為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體.|BP|= "/32+42+ 1 = 26.答案：264 .如圖所示，平面也平面 3, AC % BC 3, AA' LA' B' , BB' LA' B',且 AA'=3, BB' =4, A' B' =2,則三棱錐 AA' BB'的體積 V=.解析：由題意AAi,面A' BB' , B

12、B'，面A' B' A,則三棱錐AA' BB'中，AA'為高, 底面AA' BB'為 RtA.Va ABB =；AA' S 以 BB = !* 3X2 X 4= 4.332答案：45.如圖，已知平面 a_L平面 ” 平面 p_L平面.ad尸a, 3rl尸b,且a / b,求證：a/ e /I AZzO#證明：在平面丫內(nèi)作直線cla.a-L% aCl y= a, -'C_La.a 心，cdb.又,3。3n 尸 b,-'c_L.3,a/3學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事情，需要平時(shí)積累，需要平時(shí)的勤學(xué)苦練。有個(gè)故事：古希臘

13、大哲學(xué)家蘇格拉底在開(kāi)學(xué)第一天對(duì)他的學(xué)生們說(shuō)：“今天你們只學(xué)一件最簡(jiǎn)單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩。”說(shuō)著，蘇格拉底示范做了一遍，從從今天開(kāi)始，每天做300下，大家能做到嗎？”學(xué)生們都笑了，這么簡(jiǎn)單的事，有什么做不到的？過(guò)了一個(gè)月，蘇格拉底問(wèn)學(xué)生：每天甩手300下，哪個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了，有 90%的學(xué)生驕傲的舉起了手，又過(guò)了一個(gè)月，蘇格拉底又問(wèn)，這回，堅(jiān)持下來(lái)的學(xué)生只剩下了80%。一年過(guò)后，蘇格拉底再一次問(wèn)大家： “請(qǐng)告訴我，最簡(jiǎn)單的甩手運(yùn)動(dòng)。還有哪幾個(gè)同學(xué)堅(jiān)持了？”這時(shí)，整個(gè)教室里，只有一個(gè)人舉起了手，這個(gè)學(xué)生就是后來(lái)成為古希臘另一位大哲學(xué)家的柏拉圖。同學(xué)們，柏拉圖之所以

14、能成為大哲學(xué)家，其中一個(gè)重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動(dòng)天帝，移走太行、王屋二山。正是因?yàn)樗哂绣浂簧岬木?。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時(shí)候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國(guó)。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無(wú)們，做事要有恒心。旬子講：鍥鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤?！边@句話充分說(shuō)明了一個(gè)人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒(méi)有恒心，再簡(jiǎn)單的事也做不成。學(xué)習(xí)是一條慢長(zhǎng)而艱苦的道路，不能靠一時(shí)激情，也不是熬幾天幾夜就能學(xué)好的，必

15、須養(yǎng)成平時(shí)努力學(xué)習(xí)的習(xí)慣。所以我說(shuō)：學(xué)習(xí)貴在堅(jiān)持！當(dāng)下市面上關(guān)于教授學(xué)習(xí)方法的書(shū)籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而當(dāng)讀者實(shí)際應(yīng)用時(shí)，很多看似實(shí)用的方法用來(lái)效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無(wú)非是兩種：要么認(rèn)為自己沒(méi)有掌握其精髓要領(lǐng)，要么抱怨那本書(shū)的華而不實(shí)，但最終肯定還是會(huì)回歸到當(dāng)初的原點(diǎn)。這本學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)在一開(kāi)始并沒(méi)有急于兜售自己的方法，而是通過(guò)測(cè)試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學(xué)習(xí)方法，書(shū)的第一部分就是左腦還是右腦思維測(cè)試和視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)和動(dòng)覺(jué)學(xué)習(xí)模式測(cè)試，經(jīng)過(guò)有效分類后，針對(duì)不同讀者對(duì)不同思考和接收接受學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，有針對(duì)性的分別給出建議，從而不斷強(qiáng)化自己的優(yōu)勢(shì)。在其后書(shū)中的所有介紹具

16、體學(xué)習(xí)方法章節(jié)的最開(kāi)始，都是按照不同學(xué)習(xí)模式給出各種學(xué)習(xí)方法不同的建議，這是此書(shū)區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方法類書(shū)籍的最大特點(diǎn)，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，除了能夠得到最適合自己的有效的學(xué)習(xí)方法也能更深入的認(rèn)識(shí)客觀的自己，不論對(duì)學(xué)習(xí)還是生活都有幫助。除了 “針對(duì)性”強(qiáng)外，本書(shū)第二大特點(diǎn)就是“全面”，全書(shū)都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件合集，每個(gè)學(xué)習(xí)方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關(guān)聯(lián)性并不太強(qiáng)，每個(gè)章節(jié)都適合獨(dú)立檢索來(lái)閱讀學(xué)習(xí)。其內(nèi)容從“時(shí)間規(guī)劃”、“筆記” “閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學(xué)習(xí)中的常遇問(wèn)題，文

17、中文字精煉沒(méi)有過(guò)分的渲染，完全是純純的“干貨”，可以設(shè)身處地的想象：當(dāng)自己面對(duì)學(xué)海之中手足無(wú)措之時(shí)，長(zhǎng)篇大論的方法肯定會(huì)無(wú)心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時(shí)間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學(xué)習(xí)的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個(gè)有意思的心理測(cè)t:用“正確的方法”、“錯(cuò)誤的方法”和“積極的行為” 、“消極的行為”，來(lái)自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果，“正確方法”配合“積極的行為”無(wú)疑是最好的結(jié)果，然而我們會(huì)很“慣性”想當(dāng)然的認(rèn)為，“錯(cuò)誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結(jié)果，其實(shí)“錯(cuò)誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結(jié)果

18、，這會(huì)讓人在錯(cuò)誤的路上越走越遠(yuǎn)，學(xué)習(xí)也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會(huì)離成功越來(lái)越遠(yuǎn)，而好的學(xué)習(xí)方法加上積極的學(xué)習(xí)態(tài)度無(wú)疑會(huì)讓你如虎添翼。這是每個(gè)人都需要的，起碼在學(xué)生的時(shí)候如果遇到，或者人生會(huì)少一些遺憾，我只恨我遇見(jiàn)的晚了點(diǎn)，可是現(xiàn)在已是終身學(xué)習(xí)的年代，錯(cuò)過(guò)了最恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，但只要有心又怎會(huì)嫌晚呢？本書(shū)歸類為學(xué)習(xí)方法-青年讀物，是本工具書(shū)，學(xué)習(xí)手冊(cè)，但不能阻止她成為經(jīng)典。這7個(gè)方面，分別是學(xué)習(xí)模式，時(shí)間管理和本書(shū)的副標(biāo)題為“增加學(xué)習(xí)技能與腦力”。正是本書(shū)的宗旨，本書(shū)系統(tǒng)化地闡述了學(xué)習(xí)技能提升的各個(gè)方面，可謂事無(wú)巨細(xì)的令人發(fā)指啊。整體來(lái)講主要包括 學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃，筆

19、記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應(yīng)試技巧，拾遺。全書(shū)的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個(gè)方面是總的部分，算是增加學(xué)習(xí)技能的準(zhǔn)備，從認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)模式開(kāi)始，然后采取任 何事都需要的時(shí)間管理技巧，再總體地講一下學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃的事項(xiàng)。然后底下是分的部分，將學(xué)習(xí)的包含的各個(gè)方面的技巧進(jìn)行分開(kāi)闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應(yīng)試以及最后的拾遺。系 統(tǒng)地講述了學(xué)習(xí)的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實(shí)踐的話不僅能在學(xué)習(xí)上得到提高，在腦力上或者說(shuō)理解力上肯定會(huì)受益匪淺。在此，說(shuō)句題外話，我一直覺(jué)得日本人寫書(shū)在細(xì)節(jié)上做的是無(wú)與 倫比的，但是這本書(shū)讓我對(duì)這個(gè)看法有了一定的動(dòng)搖，因?yàn)樗锩娴闹v述部分讓我覺(jué)得美國(guó)是個(gè)應(yīng)試教育的

20、國(guó)家嗎，簡(jiǎn)直比我們中國(guó)還要應(yīng)試。那個(gè)考試應(yīng)對(duì)細(xì)節(jié)的部分放在中國(guó)，一點(diǎn)也沒(méi)有違和 感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒(méi)到過(guò)日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?shū)，然后讓日本人都覺(jué)得是經(jīng)典的，沒(méi)有在企業(yè)里做過(guò)實(shí)務(wù)管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全 世界不得不說(shuō)，美國(guó)的教育真不是蓋的。細(xì)節(jié)上，我印象比較深的是，作者開(kāi)篇開(kāi)始傳授如何應(yīng)該認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)模式，運(yùn)用了一些測(cè)試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學(xué)習(xí)模式，她 把學(xué)習(xí)模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺(jué)的，聽(tīng)覺(jué)的，動(dòng)作的。我看了一下，確實(shí)有跟自己近的類型，我就是視覺(jué)的，對(duì)號(hào)入座后就可以比較直接的去揚(yáng)長(zhǎng)避短 了。然后，作者說(shuō)了，做任何事情，時(shí)間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導(dǎo)的是學(xué)習(xí)的技能，還有很多其他的道理，對(duì)我們?nèi)松际怯幸娴模蚁嘈?，如果我們的孩子從小就學(xué)習(xí)這些，將會(huì)受 用終生。還有，作者提到了學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃里的家庭檔案系統(tǒng)，將我們現(xiàn)在工作中的管理引進(jìn)了學(xué)習(xí)中，這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如果孩子持續(xù)的做，嚴(yán)格地做，獲得的收益將無(wú)法估量，因?yàn)椋?這在我們現(xiàn)在工作中都必須要用的管理信息的技能，實(shí)在是太可貴了，孩子將這種技能與閱讀結(jié)合起來(lái)，保管好自己思維歷程，可以獲得持續(xù)的提高，直到最后展翅翱翔，他最可貴的是，可以系統(tǒng) 地提升自己，從而達(dá)到書(shū)中簡(jiǎn)介里提到的那樣，碰到不會(huì)的領(lǐng)域的時(shí)候，可以很