幾何體內(nèi)切球與外接球（課堂PPT）

1、.1專題：與球有關的內(nèi)切與外接問題1.2 該類問題命題背景寬，常以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接形式考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題較容易切接問題切接問題 .3.4.5解析 如圖，設O為截面圓的圓心，設球的半徑為R，則OMR2，又OMO45，OO24R.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2R2874，R22，S球4R28.答案 8.6.7.8練習:一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法2 構造棱長為1的正方體，如圖。則A1、C1、B、D是棱長為 的正四面體的頂點。

2、正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時球的直徑為 ，23選A8.9.10.11.12如圖1所示，正方體,設正方體的棱長為，為棱的中點， 為球的球心。常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.13.14練習：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比 .33:22:1ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O14.15例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線

3、被球截得的線段長為（ ）A B CD .16.17長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑.181. 已知長方體的長、寬、高分別是已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ，求長方體，求長方體的外接球的體積。的外接球的體積。35A1AC1CO變題：變題：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四點，且四點，且PA、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求這個球的表面積和體積。，求這個球的表面

4、積和體積。沿對角面截得：沿對角面截得：ACBPO O18.19( (2)(20142)(2014銀川模擬銀川模擬) )長方體的三個相鄰面的面積分別長方體的三個相鄰面的面積分別為為2,3,6,2,3,6,這個長方體的頂點都在同一個球面上這個長方體的頂點都在同一個球面上, ,則這個則這個球的表面積為球的表面積為( () )A.A. B.56 B.56 C.14 D.64C.14 D.6472.20(2)(2)選選C.C.設長方體的過同一頂點的三條棱長分別為設長方體的過同一頂點的三條棱長分別為a a，b b，c c，則，則 得得 令球的半徑為令球的半徑為R R，則，則(2R)(2R)2 22 22

5、21 12 23 32 21414，所以所以 所以所以S S球球4R4R2 214.14.ab 2bc 3ac 6，a2b 1c 3，27R2 ，.21例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為( ) A.3(10) B.4C.3(8)D.3(7).22.23.24審題視點 聽課記錄.25.26.27【解析】由題設條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱,根據(jù)對稱性可知,外接球的球心為上、下兩底中心O1、O2連線的中點O,如圖所示:在RtAO1O中,AO1=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,.28.29.30.3115.

6、正三角形ABC的邊長為2,將它沿高AD翻折,使點B與點C間的距離為,此時四面體ABCD的外接球的體積為.32.33.34、三棱柱各頂點都在一個球面上，側(cè)棱與底面垂直，則這個球的表面積為 64 在三棱錐中，,，則三棱錐外接球的表面積 . .35 3520205655, 2,9040111、則該球的表面積為，的側(cè)棱長為側(cè)棱垂直于底面上的直三棱柱各頂點均在同一個球面DCBAACABCCBAABC.36.37例題:一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：設四面體為ABCD， 為其外接球心。1O 球半徑為R，O為A在平面BCD上的射影，

7、M為CD的中點。連結(jié)B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR37.38OBDA1OMR.39因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時， 則有解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路.40：正四面體ABCD的棱長為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高

8、線上，但不一定重合4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法40.41 例例1四棱錐四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為的底面邊長和各側(cè)棱長都為 ，點，點S，A，B，C，D都在同一個球面上，則該球的體積為都在同一個球面上，則該球的體積為_解析如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線 SE 上找到一個點O 使得 OAOS， 則四棱錐的五個頂點就在同一個球面上在 RtSEA 中，SA 2，AE1，故 SE1.設球的半徑為 r，則 OAOSr，OE1r.在 RtOAE 中，r2(1r)21，解得 r1，即點 O 為球心，故這個球的體積是43.2.42.43則這個球的表面積，體積最大值為若四面體在同一個球面上，、點3,3ABCDCABCABDCBA.442.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補