最新一輪北師大版理數(shù)學教案：第2章 第10節(jié)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 Word版含解析

1、 第十節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算考綱傳真1.了解導數(shù)概念的實際背景.2.理解導數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復合函數(shù))的導數(shù)1有關(guān)導數(shù)的基本概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)稱函數(shù)yf(x)在x0點的瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)，用f(x0)表示，記作f(x0) .(2)導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率相應地，切線方程為

2、yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導數(shù)，導數(shù)值記為f(x)：f(x) ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導函數(shù)，通常也簡稱為導數(shù)2導數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)函數(shù)導函數(shù)函數(shù)導函數(shù)yc(c是常數(shù))y0ysin xycos_xyx(是實數(shù))yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a特別地(ex)exytan xyylogax (a0，a1)y特別地(ln x)ycot xy3.導數(shù)運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)

3、·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)；(4)復合函數(shù)yf(x)的導數(shù)為yxf(x)f(u)·(x)，其中yf(u)，u(x)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同()(2)求f(x0)時，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點()(4)若f(x)e2x，則f(x)e2x.()答案(1)×(2)×(3)(4)×2(教材改編)有一機器人的運動方程為s(t)t2(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t2時

4、的瞬時速度為()a.b.c.d.d由題意知，機器人的速度方程為v(t)s(t)2t，故當t2時，機器人的瞬時速度為v(2)2×2.3(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(0)的值為_3因為f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.4(20xx·豫北名校期末聯(lián)考)曲線f(x)5ex3在點(0，2)處的切線方程為_. 【導學號：57962098】5xy20f(x)5ex，所求曲線的切線斜率kf(0)5e05，切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.5(20xx&#

5、183;全國卷)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖像在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過點(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.導數(shù)的計算求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln(2x9)解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)令u2x9，yln u，則yxyu·ux.因此y·(2x9).規(guī)律方法1.熟記基本初等函

6、數(shù)的導數(shù)公式及運算法則是導數(shù)計算的前提，求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯2如函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導3.復合函數(shù)求導，應先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元處理變式訓練1(1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，則x0等于() 【導學號：57962099】ae2b1cln 2de(2)(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)axln x，x(0，)，其中a為實數(shù)，f(x)為f(x)的導函數(shù)若f(1)3，則a的值為_(1)b(2)3(1)f(x)2 017ln xx&

7、#215;2 018ln x，故由f(x0)2 018，得2 018ln x02 018，則ln x00，解得x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3. 導數(shù)的幾何意義角度1求切線方程已知曲線f(x)x3.(1)求曲線在點p(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點p(2,4)的切線方程解(1)根據(jù)已知得點p(2,4)是切點且f(x)x2，在點p(2,4)處的切線的斜率為f(2)4，3分曲線在點p(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.5分(2)設曲線f(x)x3與過點p(2,4)的切線相切于點a，則切線的斜率為f(x0)x，切

8、線方程為yx(xx0)，即yx·xx.7分點p(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，9分xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切線方程為xy20或4xy40.12分角度2求切點坐標若曲線yxln x上點p處的切線平行于直線2xy10，則點p的坐標是_ 【導學號：57962100】(e，e)由題意得yln xx·1ln x，直線2xy10的斜率為2.設p(m，n)，則1ln m2，解得me，所以neln ee，即點p的坐標為(e，e)角度3求參數(shù)的值(1)已知直線yx1與曲線yln(xa)相切，則a的值

9、為()a1b2c1d2(2)(20xx·西寧復習檢測(一)已知曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a()a2b2cd.(1)b(2)a(1)設直線yx1與曲線yln(xa)的切點為(x0，y0)，則y01x0，y0ln(x0a)又y，所以y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，則x01，所以a2.(2)由y得曲線在點(3,2)處的切線斜率為，又切線與直線axy10垂直，則a2，故選a.規(guī)律方法1.導數(shù)f(x0)的幾何意義就是函數(shù)yf(x)在點p(x0，y0)處的切線的斜率，切點既在曲線上，又在切線上，切線有可能和曲線還有其他的公共點2曲線在點p處的切線是以點p為切點，曲線過點p的切線則點p不一定是切點，此時應先設出切點坐標易錯警示：當曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在，切線方程是xx0.思想與方法1f(x0)是函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常數(shù)，其導數(shù)一定為0，即(f(x0)0.2對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則在實施化簡時，必須注意變換的等價性易錯與防范1利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆復合函數(shù)