清華第三版運(yùn)籌學(xué)教程課后答案~

1、運(yùn)籌學(xué)教程1. 某飼養(yǎng)場(chǎng)飼養(yǎng)動(dòng)物出售，設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需 700g 蛋白質(zhì)、 30g 礦物質(zhì)、 100mg維生素。現(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每 kg 營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如表 1 所示 表1飼料蛋白質(zhì)（ g）礦物質(zhì)（ g）維生素（ mg）價(jià)格（元 /kg）1310.50.2220.510.7310.20.20.446220.35180.50.80.8要求確定既滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料的方案。 解：設(shè)總費(fèi)用為 Z。i=1,2,3,4,5 代表 5 種飼料。 xi 表示滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要時(shí)， 第 i 種飼料所需的數(shù)量。則有：min Z 0.2x1 0.7x2 0.4x

2、3 0.3x4 0.8x53x1 2x2 x3 6x4 8x5 700x1 0.5x2 0.2x3 2x4 0.5x5 30s.t.0.5x1 x2 0.2x3 2x4 0.8x5 100xi 0,i 1,2,3,4,52. 某醫(yī)院護(hù)士值班班次、每班工作時(shí)間及各班所需護(hù)士數(shù)如表 2 所示。每班護(hù)士值班 開始時(shí)間向病房報(bào)道，試決定：（ 1） 若護(hù)士上班后連續(xù)工作 8h，該醫(yī)院最少需要多少名護(hù)士，以滿足輪班需要；（2） 若除 22:00 上班的護(hù)士連續(xù)工作 8h 外（取消第 6班），其他班次護(hù)士由醫(yī)院排定上 14 班的其中兩個(gè)班，則該醫(yī)院又需要多少名護(hù)士滿足輪班需要。表2班次工作時(shí)間所需護(hù)士人數(shù)（

3、人）16:00 10:0060210:00 14:0070314:00 18:0060418:00 22:0050522:00 2:0020302:00 6:00解：（1）設(shè) xi第 i 班開始上班的人數(shù)， i=1,2,3,4,5,6minZ x1 x2 x3 x4 x5 x6x1 x6 60x1 x2 70x2 x3 60s.t. x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 xi 0,i 1,2,3,4,5,6且為整數(shù)解：（2）在題設(shè)情況下，可知第五班一定要 30 個(gè)人才能滿足輪班需要。則設(shè)設(shè) xi 第 i班開始上班的人數(shù)， i=1,2,3,4 。minZ x1 x2 x3 x4

4、30y11x1 y21x2 y31x3 y41x4 60，第一班約束y11 1,y11 y12 y13 y14 2y12 x1 y22 x2 y32 x3 y42 x4 70，第二班約束 y22 1， y21 y22 y23 y24 2s.t. y13 x1 y23x2 y33 x3 y43x4 60，第三班約束y331， y31y32y33y342y14 x1 y24 x2 y34 x3 y44 x4 50，第四班約束y441，y41y42y43y442xi 0， yij是0 1變量， i, j 1,2,3,43. 要在長(zhǎng)度為 l 的一根圓鋼上截取不同長(zhǎng)度的零件毛坯，毛坯長(zhǎng)度有 n 種，分別

5、為 aj（j=1,2 ，n）。問(wèn)每種毛坯應(yīng)當(dāng)截取多少根，才能使圓鋼殘料最少，試建立本問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。解：設(shè) xi 表示各種毛坯的數(shù)量， i=1,2, nmaxZai xii1ai xi 1i1 xi是整數(shù)4. 一艘貨輪分前、中、后三個(gè)艙位，它們的與最大允許載重量如表 3.1 所示?，F(xiàn)有三種貨物待運(yùn)，已知有相關(guān)數(shù)據(jù)列于表 3.2 表 3.1項(xiàng)目前艙中艙后艙最大允許載重量（ t ）200030001500容積（ m2）400054001500表 3.2商品數(shù)量（件）3每件體積（m3/ 件）每件重量（ t/ 件）運(yùn)價(jià)（元 / 件）A6001081000B100056700C80075600又為了航海

6、安全，前、中、后艙實(shí)際載重量大體保持各艙最大允許載重量的比例關(guān)系。 具體要求：前、后艙分別與中艙之間載重量比例的偏差不超過(guò)15%，前、后艙之間不超過(guò) 10%。問(wèn)該貨輪應(yīng)該載 A,B,C 各多少件運(yùn)費(fèi)收入才最大？試建立這個(gè)問(wèn)題的線性規(guī)劃 模型。解：設(shè)xij表示第i 件商品在艙 j 的裝載量， i,j=1,2,3maxZ 1000( x11 x12 x13) 700( x21 x22 x23) 600( x31 x32 x33)1） 商品的數(shù)量約束：x11 x12 x13 600 x21 x22 x23 1000 x31 x32 x33 8002） 商品的容積約束：10x11 5x21 7x31

7、400010x12 5x22 7x32 540010x13 5x23 7x33 15003） 最大載重量約束：8x118x128x136x21 5x31 20006x22 5x32 30006x23 5x33 15004） 重量比例偏差的約束：8x116x21 5x318x116x21 5x318x136x238x136x232(1 0.15)(8x12 6x22 5x32 )323(1 0.15)(8x12 6x22 5x32)1(1 0.15)(8x12 6x22 5x32 )215x338x136x238x136x235x33(1 0.15)(8x12 6x22 5x32 )235x33

8、(1 0.1)(8x11 6x21 5x31 )435x33(1 0.1)(8x11 6x21 5x31)45. 籃球隊(duì)需要選擇 5 名隊(duì)員組成出場(chǎng)陣容參加比賽。 8 名隊(duì)員的身高及擅長(zhǎng)位置見表5.表5隊(duì)員12345678身高（ m）1.921.91.881.861.851.831.81.78擅長(zhǎng)位置中鋒中鋒前鋒前鋒前鋒后衛(wèi)后衛(wèi)后衛(wèi)出場(chǎng)陣容應(yīng)滿足以下條件：（ 1） 只能有一名中鋒上場(chǎng)；（ 2） 至少一名后衛(wèi)；（ 3） 如 1 號(hào)和 4 號(hào)均上場(chǎng)，則 6 號(hào)不出場(chǎng)；（ 4） 2 號(hào)和 8 號(hào)至少有一個(gè)不出場(chǎng)。問(wèn)應(yīng)當(dāng)選擇哪 5 名隊(duì)員上場(chǎng)，才能使出場(chǎng)隊(duì)員平均身高最高，試建立數(shù)學(xué)模型 解 ：設(shè) xi

9、 1表示第 i 個(gè)隊(duì)員出場(chǎng)， i=1,2 8.maxZxi5 i 1 月份8xi 5i1x1x21， x6x7x81x2x81， x1x4x62 xi是0 1變量6. 時(shí)代服裝公司生產(chǎn)一款新的時(shí)裝，據(jù)預(yù)測(cè)今后 6 個(gè)月的需求量如表 4 所示，每件時(shí) 裝用工 2h 和 10元原材料費(fèi)，售價(jià) 40 元。該公司 1月初有 4 名工人，每人每月可工 作 200h，月薪 2000 元。該公司可于任一個(gè)月初新雇工人， 但每雇 1 人需一次性額外 支出 1500 元，也可辭退工人，但每辭退 1 人需補(bǔ)償 1000 元。如當(dāng)月生產(chǎn)數(shù)超過(guò)需 求，可留到后面月份銷售，但需付庫(kù)存費(fèi)每件每月 5 元，當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)，短

10、缺數(shù)不需補(bǔ)上。試幫組該公司決策，如何使用 6 個(gè)月的總利潤(rùn)最大。表4需求500600300400500800解：設(shè) xi1 為第 i 月現(xiàn)有工人人數(shù)，xi2為新雇工人人數(shù)， xi3為辭退工人人數(shù)， yi 為每月的需求。 i=1,2 ， 6。則有：6200max Z (40 10) (xi1 xi2)i 12 i1 i21， x 00， x 06 6 j(2000xi1 3500xi2 1000xi3 ) 5(ni yi) f (ni yi)i1j 1k 1其中 f (x)單位：件x11 4xi1 xi3 xi1 xi 2，i 1，2， ，5 s.t.ni 200 (xi1 xi2 ) 2xik

11、 0，i 1，2，, ，6； k 1，27. 童心玩具廠下一年度的現(xiàn)金流（萬(wàn)元）如表 6 所示，表中負(fù)號(hào)表示該月現(xiàn)金流出大 于流入，為此該廠需借款。借款有兩種方式：一是于上一年末借一年期貸款，一次 得全部貸款額， 從 1月底起每月還息 1%，于 12月歸還本金和最后一次利息； 二是得 到短期貸款，每月初獲得，于月底歸還，月息 1.5%。當(dāng)該廠有多余現(xiàn)金時(shí)，可短期 存款，月初存入，月末取出，月息 0.4%。問(wèn)該廠應(yīng)如何進(jìn)行存貸款操作，既能彌補(bǔ) 可能出現(xiàn)的負(fù)現(xiàn)金流，又可使年末現(xiàn)金總量為最大。表6月份1 23456789101112現(xiàn)金流-12 -10-8-10-45-7-21512-745解：設(shè)長(zhǎng)

12、期存款為 y，wi為第i 個(gè)月的短期貸款額， zi為第i 個(gè)月短期存款額，i=1,2, n。則有：maxZ 1.004z12 1.01y 1.015w12y w1 z1 121.004z1 0.01y 1.015w1 z2 w2 101.004z2 0.01y 1.015w2 z3 w3 81.004z3 0.01y 1.015w3 z4 w4 101.004z4 0.01y 1.015w4 z5 w5 41.004z5 0.01y 1.015w5 z6 w65s.t.1.004z6 0.01y 1.015w6 z7 w7 7 1.004z7 0.01y 1.015w7 z8 w8 21.00

13、4z8 0.01y 1.015w8 z9 w9151.004z9 0.01y 1.015w9 z10 w10 121.004z10 0.01y 1.015w10 z11 w11 71.004z11 0.01y 1.015w11 z12 w12458. 某地準(zhǔn)備投資 D元建民用住宅， 可以建住宅的地點(diǎn)有 n處： A1，A2， An 。 An處每幢住宅的造價(jià)為 d，最多可造 a 幢。問(wèn)應(yīng)當(dāng)在哪幾處建住宅，分別建幾幢，才能使建造的住宅總數(shù)最多，試建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 解：設(shè) xi 表示在 A處所建住宅的數(shù)量， i=1,2 ，nnmaxZxii1di xi D，xi ai，i 1，2， n i1xi是整

14、數(shù)9. 有一批每根長(zhǎng)度為 l 的圓鋼，需截取 n 種不同長(zhǎng)度的零件毛坯。長(zhǎng)度為 aj的毛坯必須有 mj 段（j=1 ，2，n），為了方便，每根圓鋼只截取一種長(zhǎng)度的毛坯。應(yīng)當(dāng)怎樣截取，才能使動(dòng)用的圓鋼數(shù)目最少，要求建立數(shù)學(xué)模型 解：設(shè) xi表示各種毛坯使用圓鋼的數(shù)量， yi表示各種毛坯在一根圓鋼上可得到的數(shù)量 i=1,2 ， n。nmin Zxii1aj xi l，i 1，2， ，n yi xi mj，i 1，2， ，n xi，y i 0，且都是整數(shù) i 1，2， ， n10. 一個(gè)旅行者要在其背包里裝一些最有用的旅行用品。背包容積為a，攜帶物品總重量最多為 b?，F(xiàn)有物品 m件，第 i 件物品體

15、積為 ai ，重量為 bi （ i=1,2 ，m）。為了比 較物品的有用程度，假設(shè)第 i 件物品的價(jià)值為 ci （i=1,2 ，m）。若每件物品只能整件 攜帶，每件物品都能放入包中，并且不考慮物品放入包后相互的間隙。問(wèn)旅行者應(yīng) 當(dāng)攜帶幾件物品，才能使攜帶物品的總價(jià)值最大，要求建立數(shù)學(xué)模型。解：設(shè)xi 1表示攜帶第 i 件物品， i=1,2 ，m。mmax Zci xii1mai xi ai1mbi xi bi1x是0 1變量i 1,2， m11. 宏銀公司承諾為謀建設(shè)項(xiàng)目從 20XX 年起的 4 年中每年初分別提供以下數(shù)額貸款： 20XX年100萬(wàn)元， 20XX年150 萬(wàn)元，20XX年120

16、 萬(wàn)元，2006110萬(wàn)元。 以上貸款資金均需 20XX年底前籌集齊。但為了充分發(fā)揮這筆資金的作用，在滿足每 年貸款額情況下，可將多余資金分別用于下列投資項(xiàng)目：（1） 于 20XX年初購(gòu)買 A種債卷，期限 3 年，到期后本息合計(jì)為投資額的 140%， 但限購(gòu) 60 萬(wàn)元。2） 于 20XX年初購(gòu)買 B種債卷，期限 2 年，到期后本息合計(jì)為投資額的 125%， 且限購(gòu) 90 萬(wàn)元（3） 于 20XX年初購(gòu)買 C種債卷，期限 2 年，到期后本息合計(jì)為投資額的 130%， 但限購(gòu) 50 萬(wàn)元。（ 4） 于每年初將任意數(shù)額的資金存放于銀行，年息 4%，于每年底取出。 求宏銀公司應(yīng)如何運(yùn)用好這筆籌集到的資