初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)45：一元二次方程的根

1、初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（45）一元二次方程的根一、內(nèi)容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的實數(shù)根，是由它的系數(shù)a,b,c的值確定的.根公式是：x=.(b24ac0)2. 根的判別式 實系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有實數(shù)根的充分必要條件是：b24ac0. 有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根的判定是：b24ac是完全平方式方程有有理數(shù)根.整系數(shù)方程x2+px+q=0有兩個整數(shù)根p24q是整數(shù)的平方數(shù).3. 設(shè)x1,x2 是ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，那么 ax12+bx1+c=0(a0，b24ac0)， ax22+bx2+c=0(a0， b24

2、ac0)； x1=，x2=(a0,b24ac0)； 韋達定理：x1+x2= , x1x2= (a0,b24ac0).4. 方程整數(shù)根的其他條件整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a0)有一個整數(shù)根x1的必要條件是：x1是c的因數(shù).特殊的例子有：C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， ab+c=0x1=1.二、例題例1. 已知：a,b,c是實數(shù)，且a=b+c+1.求證：兩個方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.證明（用反證法）設(shè)兩個方程都沒有兩個不相等的實數(shù)根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即

3、（a2）2+10，這是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一個是大于0.1 / 5方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.本題也可用直接證法：當(dāng)120時，則1和2中至少有一個是正數(shù).例2. 已知首項系數(shù)不相等的兩個方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b為正整數(shù))有一個公共根.求a,b的值.解：用因式分解法求得：方程的兩個根是a和；方程兩根是b和.由已知a>1,b>1且ab.公共根是a= 或b=.兩個等式去分母后的結(jié)果是一樣的.即aba=b+2, abab+

4、1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整數(shù)，；或.解得；或.又解：設(shè)公共根為x0那么先消去二次項：×（b1）×（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.當(dāng)x01時，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.當(dāng)(abab2)0時，得(a1)(b1)=3解法同上.例3.已知：m,n 是不相等的實數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根差相等.求：m+n的值.解：方程兩根差是同理方程兩根差是

5、依題意，得.兩邊平方得：m24n=n24m. （mn）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例4.若a,b,c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根（m,n 是互質(zhì)的整數(shù)）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，m,n互質(zhì)，不可能同為偶數(shù).當(dāng)m,n同為奇數(shù)時，則an2+bmn+cm2是奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；當(dāng)m為奇數(shù),n為偶數(shù)時，an2+bmn+cm2是偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0； 當(dāng)m為偶數(shù),n為奇數(shù)時，an2+bmn+cm2是奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)0.綜上所述不論m,n取什么整數(shù)，方程a()2+

6、b()+c=0都不成立. 即假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.當(dāng)a,b,c都是奇數(shù)時，方程ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.例5.求證：對于任意一個矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(k1).證明：設(shè)矩形A的長為a,寬為b，矩形B的長為c,寬為d. 根據(jù)題意，得.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韋達定理的逆定理，得c,d 是方程z2(a+b)kz+abk=0的兩個根. （a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab.

7、0.一定有c,d值滿足題設(shè)的條件.即總存在一個矩形B，使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(k1).例6.k取什么整數(shù)值時，下列方程有兩個整數(shù)解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得兩個根是：x1=，x2=. 由x1是整數(shù)，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. 由x2是整數(shù)，得k1=±1, ±2, ±3, ±6.它們的公共解是：得k=0,2,2,3,5.答：當(dāng)k=0,2,2,3,5時，方程有兩個整數(shù)解.根據(jù)

8、韋達定理x1,x2,k都是整數(shù)，k=±1，±2.（這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進行檢驗.）把k=1,1,2,2，分別代入原方程檢驗，只有當(dāng)k=2和k=2 時適合.答：當(dāng)k取2和2時，方程有兩個整數(shù)解.三、練習(xí)451. 寫出下列方程的整數(shù)解： 5x2x=0的一個整數(shù)根是. 3x2+(3)x =0的一個整數(shù)根是. x2+(+1)x+=0的一個整數(shù)根是.2. 方程（1m）x2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么整數(shù)m的最大值是.3. 已知方程x2(2m1)x4m+2=0的兩個實數(shù)根的平方和等于5，則m=.4. 若x y ，且滿足等式x2+2x5=0和y2+2y5=0

9、.那么.（提示：x,y是方程z2+5z5=0的兩個根.）5. 如果方程x2+px+q=0的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么p,q應(yīng)滿足的關(guān)系是：. 6. 若方程ax2+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么兩實數(shù)根的符號必是. 7. 如果方程mx22(m+2)x+m+5=0 沒有實數(shù)根，那么方程（m5）x22mx+m=0實數(shù)根的個數(shù)是（）.(A)2 （B）1 （C）0 （D）不能確定8. 當(dāng)a,b為何值時，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有實數(shù)根？9.兩個方程x2+kx1=0和x2xk=0有一個相同的實數(shù)根，則這個根是（）(A)2（B）2

10、（C）1（D）110. 已知：方程x2+ax+b=0與x2+bx+a=0僅有一個公共根，那么a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是：.11.已知：方程x2+bx+1=0與x2xb=0有一個公共根為m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根各加上1，就是方程x2a2x+ab=0的兩個實數(shù)根.試求a,b的值或取值范圍.13.已知：方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根和等于s1，兩根的平方和等于s2, 兩根的立方和等于s3.求證：as3+bs2+cs1=0.14.求證：方程x22(m+1)x+2(m1)=0 的兩個實數(shù)根，不能同時為負.（可用反證法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0

11、的兩個實數(shù)根；c,d是方程x2+nx+q=0的兩個實數(shù)根. 求證：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和等于5，兩實數(shù)根的積是2，那么這個方程是：. 17.如果方程（x1）(x22x+m)=0的三個根，可作為一個三角形的三邊長，那么實數(shù)m的取值范圍是（）（A）0m1（B）m（C）<m1（D）m118. 方程7x2(k+13)x+k2k2=0 (k是整數(shù))的兩個實數(shù)根為，且01，12，那么k的取值范圍是( )（A）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）無解練習(xí)45參考答案：1.0，1，12.03.1（舍去2）4.5.9q=2p2 6. 一正一負 7. D 8. a=1,b=0.5 9. C10