高考數(shù)學理科一輪【學案59】統(tǒng)計案例含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5學案59統(tǒng)計案例導學目標： 1.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.2.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用自主梳理1回歸分析(1)回歸直線一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計分別為 _， _，其中_，_，_稱為樣本點的中心(2)相關系數(shù)rr；當r>0時，表明兩個變量_；當r<0時，表明兩個變量_r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性_；r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間_通常，當r的絕對值大于_時認為兩個變量有很強的線性相

2、關關系2獨立性檢驗(1)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的_，稱為列聯(lián)表(2)2×2列聯(lián)表：假設有兩個分類變量x和y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd構造一個隨機變量k2_，其中n_為樣本容量(3)獨立性檢驗利用隨機變量_來判斷“兩個分類變量_”的方法稱為獨立性檢驗自我檢測1對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程 x中，回歸系數(shù) ()a可以小于0 b小于0c能等于0 d只能等于02(20xx·天津模擬)下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合

3、計x1a2173x2222547合計b46120則表中a，b的值分別為()a94,72 b52,50c52,74 d74,523如果有95%的把握說事件a和b有關系，那么具體計算出的數(shù)據(jù)()ak2>3.841 bk2<3.841ck2>6.635 dk2<6.6354(20xx·紹興月考)某高校“統(tǒng)計初步”課程的教師隨機調查了選該課的一些學生情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男2620女1440則可判斷約有_的把握認為“主修統(tǒng)計專業(yè)與性別之間有關系”.探究點一獨立性檢驗例1(20xx·湛江模擬)利用統(tǒng)計變量k2的觀測值來判斷兩個分類變

4、量之間的關系的可信程度考察小麥種子經滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關系，經試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示種子滅菌種子未滅菌合計黑穗病26184210無黑穗病50200250合計76384460試按照原試驗目的作統(tǒng)計分析推斷變式遷移1對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作心臟病合計心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別探究點二線性回歸分析例2一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時

5、間，為此進行了10次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x (個)102030405060708090100加工時間y(分)626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關關系？(2)如果y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程；(3)根據(jù)求出的回歸直線方程，預測加工200個零件所用的時間為多少？變式遷移2一臺機器使用時間較長，但還可以使用它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點零件的多少，隨機器運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗結果：轉速x(轉/秒)1614128每小時生產有缺點的零件數(shù)y(件)11985(1)對變量y與x進行相關性檢驗；(2)如果y

6、與x有線性相關關系，求回歸直線方程探究點三綜合應用例3(20xx·遼寧)為了比較注射a，b兩種藥物后產生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物a，另一組注射藥物b.表1和表2分別是注射藥物a和藥物b后的試驗結果(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物a后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物b后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)頻數(shù)1025203015完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能

7、否有99.9%的把握認為“注射藥物a后的皰疹面積與注射藥物b后的皰疹面積有差異”表3：皰疹面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計注射藥物aab注射藥物bcd合計n附：k2.變式遷移3某市對該市一重點中學20xx年高考上線情況進行統(tǒng)計，隨機抽查244名學生，得到如下表格：語文數(shù)學英語綜合科目上線不上線上線不上線上線不上線上線不上線總分上線201人17427178231762517526總分不上線43人3013232024192617總計20440201432004420143試求各科上線與總分上線之間的關系，并求出哪一科目與總分上線關系最大？1回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體，

8、而且一般都有時間性樣本的取值范圍一般不能超過回歸方程的適用范圍，否則沒有實用價值2利用圖形來判斷兩個變量之間是否有關系，可以畫出二維條形圖，但從圖形上只可以粗略地估計兩個分類變量的關系，還要結合所求的數(shù)值來進行比較作圖應注意單位統(tǒng)一、圖形準確，但它不能給出我們兩個分類變量有關或無關的精確的可信程度，若要作出精確的判斷，可以作獨立性檢驗的有關計算(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1對于獨立性檢驗，下列說法中錯誤的是()ak2的值越大，說明兩事件相關程度越大bk2的值越小，說明兩事件相關程度越小ck23.841時，有95%的把握說事件a與b無關dk2>6.635時，有99%的

9、把握說事件a與b有關2下列說法中正確的有：若r>0，則x增大時，y也相應增大；若r<0，則x增大時，y也相應增大；若r1或r1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個點均在一條直線上()a b c d3(20xx·天津漢沽一中月考)甲、乙、丙、丁四位同學各自對a、b兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m115106124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)a、b兩變量更強的線性相關性？()a甲 b乙 c丙 d丁4下列命題中正確的個數(shù)為()線性相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性

10、越強；反之，線性相關性越弱；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好；用相關指數(shù)r2來刻畫回歸效果，r2越小，說明模型的擬合效果越好a1 b2 c3 d05(20xx·濟南模擬)有兩個分類變量x，y，它們的值域分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下：y1y2總計x113218150x211436150總計24654300則兩個分類變量x和y有關系的可信度為()a95% b97.5%c99% d99.5%二、填空題(每小題4分，共12分)6為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別有關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知p(

11、k23.841)0.05，p(k25.024)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k24.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為_7(20xx·銀川模擬)下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；設有一個回歸方程 35x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；線性回歸方程 x 必過點(，)；曲線上的點與該點的坐標之間具有相關關系；在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得k213.079，則其兩個變量間有關系的可能性是90%.其中錯誤的命題是_8若兩個分類變量x和y的列聯(lián)表為：y1y2x1515x24010則x與y之間有關系的概率約為_三、解答題(共

12、38分)9(12分)在一次飛機航程中調查男女乘客的暈機情況，其2×2列聯(lián)表如下，試判斷暈機與性別是否有關？暈機不暈機合計男107080女102030合計209011010(12分)(20xx·武漢模擬)為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物實驗，得到如下的列聯(lián)表患病未患病總計服用藥104555沒服用藥203050總計3075105請問能有多大把握認為藥物有效？11(14分)(20xx·全國)為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： 性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年

13、人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(jù)(2)的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由k2學案59統(tǒng)計案例自主梳理1(1)xiyi(，)(2)正相關負相關相關性越強幾乎不存在線性相關關系0.752.(1)頻數(shù)表(2)abcd(3)k2有關系自我檢測1a 0時，得r0，這時不具有線性相關關系，但 能大于0，也能小于0.2ca2173，a52.又a22b，b74.3a比較k2的值和臨界值的大小，有95%的把握則k2>3.841，k2>6.635約有

14、99%的把握499.5%解析因為k29.689>7.879，所以有99.5%的把握認為“主修統(tǒng)計專業(yè)與性別之間有關系”課堂活動區(qū)例1解題導引利用已知條件來判斷兩個分類變量是否具有關系，可以先假設兩個變量之間有關系，再計算k2的值，k2的值越大說明兩個變量間有關系的可能性越大，再參考臨界值，從而判斷兩個變量有關系的可信程度解由列聯(lián)表知：a26，b184，c50，d200.ab210，cd250，ac76，bd384，nabcd460.k24.804.k24.804>3.841.有95%的把握認為種子滅菌與否與小麥發(fā)生黑穗病是有關系的變式遷移1解假設做過心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病沒有關

15、系由于a39，b157，c29，d167，ab196，cd196，ac68，bd324，n392，由公式可得k2的觀測值為k1.78，因為k1.78<2.706，所以我們沒有理由說心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病有關系例2解題導引這是一個回歸分析問題，應先進行線性相關檢驗或作散點圖來判斷x與y是否線性相關，如果線性相關，才可以求解后面的問題，否則就使得求回歸直線方程沒有意義，要作相關性檢驗，應先利用r求出樣本相關系數(shù)r.利用當r>0時，兩個變量正相關，當r<0時，兩個變量負相關r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強，r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相

16、關關系，通常當|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系，因而求回歸直線方程才有意義解(1)列出下表i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201360225032404450570071408640103501220055，91.7，x38 500，y87 777，xiyi55 950，因此r0.999 8，由于r0.999 8>0.75，因此x與y之間有很強的線性相關關系(2)設所求的回歸直線方程為x 則有 0.668. 91.70.668×5554.96.因此，所求的回

17、歸直線方程為 0.668x54.96.(3)當x200時，y的估計值為 0.668×20054.96188.56189，因此，加工200個零件所用的工時約為189分變式遷移2解(1)12.5，8.25，xiyi438,4 412.5，x660，y291，所以r0.995 3.因為r>0.75，所以y與x有很強的線性相關關系(2)由(1)知：0.7286， 0.8575.回歸直線方程為0.728 6x0.857 5.例3解題導引分類變量的獨立性檢驗是建立在2×2列聯(lián)表基礎之上的，因而根據(jù)題目提示的分類標準設計2×2列聯(lián)表是獨立性檢驗的關鍵所在解列聯(lián)表如下：皰疹

18、面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計注射藥物aa70b30100注射藥物bc35d65100合計10595n200k224.56.由于k2>10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物a后的皰疹面積與注射藥物b后的皰疹面積有差異”變式遷移3解對于上述四個科目，分別構造四個隨機變量k，k，k，k.由表中數(shù)據(jù)可以得到語文：k17.294>6.635，數(shù)學：k230.008>10.828，英語：k324.155>10.828，綜合科目：k417.264>10.828，所以，有99%的把握認為語文上線與總分上線有關系，有99.9%的把握認為數(shù)學、英語、

19、綜合科目上線與總分上線有關系，數(shù)學上線與總分上線關系最大課后練習區(qū)1c在獨立性檢驗中，隨機變量k2的取值大小可說明兩個變量關系的程度一般地隨機變量k2的值越大，兩變量的相關程度越大，反之就越小k2>6.635說明有99%的把握認為二者有關系2c若r>0，表示兩個相關變量正相關，x增大時，y也相應增大，故正確r<0，表示兩個變量負相關，x增大時，y相應減小，故錯誤|r|越接近1，表示兩個變量相關性越高，|r|1表示兩個變量有確定的關系(即函數(shù)關系)，故正確3d因為r>0且丁最接近1，殘差平方和最小，所以丁相關性最高4ar有正負，應為|r|越大，相關性越強；正確；r2越大，擬合效果越好5c由公式得k27.317，因為7.317>6.