矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)

1、矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)1矩陣知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)矩陣知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí) 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)21. 矩陣的定義矩陣的定義 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 記作記作簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 nmijaA nmA 或或), 2 , 1;, 2 , 1( njmianmij 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)由由列的數(shù)表，列的數(shù)表，行行排成的排成的nm.矩陣矩陣簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱nm 實(shí)矩陣實(shí)矩陣: 元素是實(shí)數(shù)元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：復(fù)矩陣： 元素是復(fù)數(shù)元素是復(fù)數(shù)矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)3一些特殊的矩陣：一些特殊的矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣2. 矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算矩陣相等矩陣相等:

2、 :同型矩陣：同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等矩陣加（減）法：矩陣加（減）法：兩個(gè)同型矩陣，對(duì)應(yīng)元素相加（減）兩個(gè)同型矩陣，對(duì)應(yīng)元素相加（減）加法滿足加法滿足 .1ABBA 交交換換律律： . 2CBACBA 結(jié)結(jié)合合律律： .4OAA .,03是是同同型型矩矩陣陣與與其其中中OAAA 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)4數(shù)乘滿足數(shù)乘滿足);()(AA ;)(AAA .)(BABA 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣相乘： 數(shù)數(shù) 與矩陣與矩陣 的乘積記作的乘積記作 或或 ，規(guī)定為，規(guī)定為 AA A ()ijAAa矩陣與矩陣相乘：矩陣與

3、矩陣相乘：()(),ijijm ss nABab 設(shè)設(shè)規(guī)定規(guī)定(),ijm nABCc 其中其中11221(1,2,;1,2,)sijijijissjikkjkca ba ba ba bim jn 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)5乘法滿足乘法滿足);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 矩陣乘法不滿足：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律交換律、消去律矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)6 A是是n 階方陣，階方陣， 個(gè)個(gè)kkAAAA 方陣的冪：方陣的冪：方陣的多項(xiàng)式：方陣的多項(xiàng)式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(a

4、AaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k為正整數(shù)）為正整數(shù)）方陣的行列式：方陣的行列式：滿足滿足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)7轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣: :3一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣: 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . . AAA滿足：滿足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：AAA ATTAA 是是反反對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)8伴隨矩陣：

5、伴隨矩陣： 行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)93. 逆矩陣逆矩陣定義：定義：A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣,使得使得ABBAE 則稱矩陣則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）矩陣矩陣B稱為矩陣稱為矩陣A的逆矩陣。的逆矩陣。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的.判定定理判定定理:n階方陣階方陣A可逆可逆0A 11AAA 且且推論

6、：推論：設(shè)設(shè)A、B為同階方陣，若為同階方陣，若,ABE 則則A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)10111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 滿足規(guī)律：滿足規(guī)律：逆矩陣求法：逆矩陣求法：（1）伴隨矩陣法）伴隨矩陣法（2）初等變換法）初等變換法分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似4. 分塊矩陣分塊矩陣矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)115. 5. 初等變換初等變換對(duì)換變換、倍乘變換、倍加變換對(duì)換變換、倍乘變換、倍加變換初等變換初等變換 逆變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的三種初等變換都是可逆的，且

7、其逆變換是同一類型的初等變換初等變換)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)12矩陣的等價(jià)：矩陣的等價(jià)：初等矩陣：初等矩陣： 由單位矩陣由單位矩陣E E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣稱為初等矩陣. . 如果矩陣如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣就稱矩陣A與矩陣與矩陣B等價(jià)。記作等價(jià)。記作AB三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣：三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣：初等對(duì)換矩陣、初等倍乘矩陣、初等倍加矩陣初等對(duì)換矩陣、初等倍

8、乘矩陣、初等倍加矩陣6. 初等矩陣初等矩陣初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。1( , )( , )E i jE i j 11( ( )( ( )E i kE ik 1( ( )( ()E ij kE ijk 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)137. 初等矩陣與初等變換的關(guān)系：初等矩陣與初等變換的關(guān)系：初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣階階初初等等矩矩陣陣。乘乘一一個(gè)個(gè)相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換，對(duì)對(duì)階階初初等等矩矩陣陣；的的左左邊邊乘乘一一個(gè)個(gè)相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次

9、次初初等等行行變變換換，矩矩陣陣，對(duì)對(duì)是是設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 定理：定理：矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)14.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣即，即， 1, AEEA，初等行變換初等行變換 1AEEA初初等等列列變變換換8. 用初等變換法求矩陣的逆矩陣用初等變換法求矩陣的逆矩陣矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)15注意注意:用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，用初等

10、行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)169 矩陣方程矩陣方程例例: 解矩陣方程解矩陣方程,AXB XAB AXBC其中其中 均為可逆矩陣。均為可逆矩陣。,A B注意：解矩陣方程時(shí)，要注意已知矩陣與注意：解矩陣方程時(shí)，要注意已知矩陣與X的位置關(guān)系，的位置關(guān)系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩陣方程，在方程兩邊同時(shí)左乘此矩陣方程，在方程兩邊同時(shí)

11、左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)17在一個(gè)在一個(gè)mn矩陣矩陣A中，中，位于這些行和列的交叉點(diǎn)上的位于這些行和列的交叉點(diǎn)上的2k個(gè)元素按原來(lái)個(gè)元素按原來(lái)的次序組成一個(gè)的次序組成一個(gè)k 階行列式，稱為階行列式，稱為A的一個(gè)的一個(gè) k 階階定義定義1.任取任取k行行k列，列，10 矩陣的秩矩陣的秩km n min( , )子式，這里子式，這里矩陣矩陣A中不等于零的子式的最高階數(shù)中不等于零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣稱為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A)定義定義2.矩陣復(fù)習(xí)總結(jié)18(1) 秩為秩為r 的矩陣可能有等于零的的矩陣可能有等于零的r，r-1 階子式階子式。(2)()( )TR AR A注意：注意：初