1.5.1曲邊梯形的面積上課（課堂PPT）

1、.1oxy1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.2.3.4 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.5A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.6A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.7 y = f(x)bax y

2、OA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.8分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積S S。“以直代曲以直代曲”的具體操作過程的具體操作過程曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 分成

3、很窄的小曲邊梯形，分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代替后求和。然后用矩形面積代替后求和。.9xxx1 x1 xy1 xyy12yxxyO0.10.20.40.60.8.10O1xyyx 2分割分割1nin近似近似代代替替求和求和取極限取極限i-1n區(qū)間長(zhǎng)度：區(qū)間長(zhǎng)度：x=x=區(qū)間高：區(qū)間高：h=h=小矩形面積：小矩形面積：S=S=1ifn 第第i i個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間1ifn 1n 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線、直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。.11.1235.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo 軸的直線段

4、近似用平行于就是從圖形上看值處的函數(shù)等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為它近似地個(gè)常數(shù)近似等于一的值變化很小可以認(rèn)為函數(shù)上在區(qū)間很小時(shí)即很大當(dāng)如圖記近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 .1335.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 則有以直代曲即在局部小范圍內(nèi)近似地代替的面積用小矩形上間在區(qū)這樣圖邊地代替小曲邊梯形的曲.14 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 為中陰影部分的面積圖由求和n1n1n102n1

5、n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .61n2n1n1n21222 可以證明可以證明.15 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 從而有趨向于時(shí)于趨向即趨向于無窮大當(dāng)可以看到圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 55.1圖圖oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.16例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積。 n1n2nk

6、nn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個(gè)窄條個(gè)窄條, , 用矩形來近似代替用矩形來近似代替, ,然后把然后把這些小矩形的面積加起來這些小矩形的面積加起來, , 得到一個(gè)近似值得到一個(gè)近似值: :2xy 因此因此, , 我們有理由相我們有理由相信信, , 這個(gè)曲邊三角形這個(gè)曲邊三角形的

7、面積為的面積為: :lim111lim1261.3nnnSSnn分割分割以直代曲以直代曲求和求和取極限取極限.17.勢(shì)勢(shì)數(shù)數(shù)值值上上看看出出這這一一變變化化趨趨我我們們通通過過下下表表還還可可以以從從n1 , 0的等分?jǐn)?shù)的等分?jǐn)?shù)區(qū)間區(qū)間nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0.18 n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy .19小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 有理由相信，分有理由相信，分點(diǎn)越來越密時(shí)，即分點(diǎn)越來越密時(shí)，即分割越來越細(xì)時(shí)，矩形割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲面積和的極限即為曲邊形的面積。邊形的面積。（1 1）分割分割 （3 3）求和求和 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加 作為整個(gè)曲邊形面積作為整個(gè)曲邊形面積S S的近似值。的近似值。 （4 4）取極限取極限 n