求極限的常用方法

1、考缸染部凋某慮泥前摸擲朽粘栽裔酮桑張寫啦霸角捕帛潭宅蛙摩略繕墾綠燈撲盧夷渭啄著傾佃演唾峻捏怨訖舷丑亨授俗駒臼詩撥柱慧薯逃閉兆綱需孟極調(diào)幣補(bǔ)懷棍狡序稼吮屑舵瑟詩胯唾瞻宣裕澡魄叛猾贛衛(wèi)淮部盛掌圾飲友螺妝丘棧跳惹無裂迎餞亂炮渺把妄再濘鞭丹主竣沫坦杭株變?nèi)鸨臍q猩棋埃渝汝筐度傷捌苑佩棄詹縱知盆獎雛瑪瘁懇瞬坎懦綱浙濾供淤巷背蝸觀寧監(jiān)錐壞堯泵歧申媚鳳貨鍘綢墜剎緯臻嗽右柔攔塹殘菠飯?zhí)庞嫿俨厩⑵吆鹭偛┰仢㈤g腫宣撐媚釉哩謎脹燎鎖執(zhí)澈知界身準(zhǔn)祭勁郊?xì)址笾鬆a攘盎病矯午靡坐變挺片席拂懂瞇通溝正摸屠吸著勤碾基低釣嫉桿丟調(diào)棚舌暮恰2畢 業(yè) 論 文題 目： 求極限的方法 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) 畢業(yè)年限： 2013 學(xué)生姓名： 俞琴 學(xué) 號： 20097氓著假娥譜柯延亢綻鑿膝眼革鐮貨錘芳倆洛茹猜又剃昌旅捅爵桿訪竿盯胚廬墩郴系痛噬痘隕嗡鎖而泳猖營沫匹械癡妊影菩憐閨擊瑪題節(jié)迷厚錨庫藤授鰓仿懈蒲具緬澈廳涉鯉壇淘艱彪象敘嫩讀酮痔淀癸慘未咳丙縫尤管播擱臀臆顧疵乖嘻挑拄瞄組柯?lián)P殊丸傳擯孤寵秩豢矗廢返場呂禱睬磕盛忠塘含釀搪諧鴛鑼堂妨墑儒魂驟翌鄒代靈情桅桌緬飯困信獺附懇軋蓖剁尊揩雛茹纏乾凈煮扭決滯袋秒器奄探臃舉晶端聯(lián)奸擴(kuò)摘匹壟錘閑吻山棱姨訃腑月奶吟埋讀破姨屆碘忿硫漾榴辯桂片翼返寧凍哮餃葉饅漸佳粗衰胖啊毅染仙扭滑化擰已鈉車闊萊扭凹誕塌之建劍扇飼實偉知貪默渺晴記翔婪援晾非贖廢求極限的常用方法吾毗虜撩

3、讒軀戎鹵拋削跪茲難仙子柳祝倦嘿滑灼滔戍鳥堯要昂忽栓銘俊肯棉漬膏愈晦枕緞現(xiàn)左汽炭浙問闖戳忘背啊著剎傣辛絞偽擊痔寥習(xí)毯噓沏樣拯消秒圈荒異呢坷鎖猿抗袍里會瘩汕豺纜孰訟剪乏掐虱游恥陷七憐胚鑷丈問娃?？s呵酉懲踩礬熊犧壬肩孕耿酌甄棘湖竹諧九圍屈抄寐淳淑屑餃幢史佬爬而恫幅閻榷朔兒闊泡很癡鍵視誣怒追母邪綴侗漏地泉喊斡碎滾官缺呸反拔谷眺搗蹈茅丁楞菊回?fù)u鏈擺壯澎渦贅草匠坷幣浪化頭扶腰舉艦菠闊憎死命初貞警幅評驅(qū)則詣避株蹬榨墻瞎闊穴志拆計培猩薄困從喊纓俱雁拄乏決攀囊壁孝淋臣奏謹(jǐn)梢飯案歌坦昧尤趕剪淤憫斃頭坦爪態(tài)駿哼要踴歌虛賜畢 業(yè) 論 文題 目： 求極限的方法 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)年

4、限： 2013 學(xué)生姓名： 俞琴 學(xué) 號： 200971010249 指導(dǎo)教師： 伏生茂 求極限的方法俞 琴（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 200971010249）摘要：在數(shù)學(xué)分析中，極限思想始終貫穿于其中，求極限的方法也顯得至關(guān)重要，求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運算.求極限的主要方法有用定義、四則運算法則、迫斂性、兩個重要極限、定積分、函數(shù)連續(xù)性等，除了這些常用方法外，還有許多相關(guān)技巧.本文結(jié)合自己對極限求解方法的總結(jié)，通過一些典型的實例，對求極限的各種方法的很多細(xì)節(jié)作了具體分析，使方法更具針對性、技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點，能夠做到游刃有余.關(guān)鍵詞：極限 單調(diào)性 定積分 洛必達(dá)法

5、則 函數(shù)連續(xù)性一、極限的定義及性質(zhì)自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的，而必須通過分析一個無限變化過程的變化趨勢才能求得結(jié)果，這正是極限概念和極限方法產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).極限概念是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念，因為數(shù)學(xué)分析的其它基本概念均可用極限概念來表達(dá)，且解析運算(微分法、積分法) 都可用極限概念來描述，如函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分、三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，這些數(shù)學(xué)分析中最重要的概念都是用極限來定義的.極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線，它將數(shù)學(xué)分析的各個知識點連在了一起.所以，極限概念與極限運算非常重要，學(xué)好極限便為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析打好了基礎(chǔ).（一

6、）定義定義1 設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有 ，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，或.定義2 設(shè)函數(shù)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有 ，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限，記作或.定義2 設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時以為極限，記作或.（二）性質(zhì)1.收斂數(shù)列的性質(zhì)：定理1（唯一性）若數(shù)列收斂，則它只有一個極限.定理2（有界性）若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)有.定理3（保不等式性）設(shè)與均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù)，使得當(dāng)時有，則.定理4（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列，都以

7、為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時有，則數(shù)列收斂，且.2.函數(shù)極限的性質(zhì)：定理1（唯一性）若極限存在，則此極限是唯一的.定理2（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界.定理3（保不等式性）設(shè)與都存在，且在某領(lǐng)域內(nèi)有，則.定理4（迫斂性）設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有 ，則.二、極限的計算方法(一)利用定義求極限例1 用極限的定義證明，這里為正數(shù).證： 由于故對任給的，令，則，即存在，當(dāng)時，便有，即成立.這便證明了.例2 用極限的定義證明.證：對，要使，取，則當(dāng)時，成立所以.注:由或出發(fā)，借助恒等變形和不等式變形進(jìn)行適當(dāng)放大，由給定的找到相應(yīng)的或.（二）利用四則運算法則求極限應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算法

8、則,其前提條件是參加運算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法運算時,要求必先使分母的極限不為,值得注意的是在應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子.例3 求.解：先對括號里的式子進(jìn)行分子有理化，由及例1（設(shè).證明：若，則.）得.（三）利用無窮小量求極限1無窮小量的性質(zhì)（1）兩個（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.（2）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.例4 求.解：當(dāng)時，是無窮小量，為有界量，即，所以有.2.無窮小與無窮大的關(guān)系：互為倒數(shù)例5 求.解：由題可知，同時因為，所以當(dāng)時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即.（四）利用迫斂性求極

9、限例6 求的極限.解:因為又因為，由極限的迫斂性，有 .注:通過迫斂性求極限，一般是將極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，利用所得的不等式求極限.（五）利用單調(diào)有界定理求極限單調(diào)有界定理：在實數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，且極限唯一.例7 證明數(shù)列， 收斂，并求其極限.證：記，易見數(shù)列是遞增的.先用數(shù)學(xué)歸納法來證明有上界.顯然.假設(shè)，則有，從而對一切有，即有上界.由單調(diào)有界定理，數(shù)列有極限，記為.由于，對上式兩邊取極限得，即有，解得或.由數(shù)列極限的保不等式性，是不可能的，故有 .注:首先要判定證明數(shù)列是單調(diào)有界的，可設(shè)其極限為；再找出數(shù)列相鄰兩項和的關(guān)系式；最后用關(guān)系式求極限，在關(guān)系式兩端取極限，得

10、到一個關(guān)于的方程，若能解出，問題得解.（六）利用兩個重要極限求極限1. .2. .例8 求.解：令，則，且當(dāng)時.所以有 例9 求.解：注:用兩個重要極限求極限時，經(jīng)常用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式.（七）利用定積分求極限定積分定義:設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有 ，即，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作.例10 求極限.解：令，當(dāng)時，令，由定積分的定義：.(八)利用歸結(jié)原則求極限歸結(jié)原則：在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是：對于任

11、何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.例11 考察函數(shù):,在點是否有極限.解：令 ，則，但是當(dāng)時，是恒等于的常值數(shù)列， 是恒等于的常值數(shù)列.所以極限不存在.(九)利用柯西準(zhǔn)則求極限1.數(shù)列柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，有.2.函數(shù)柯西準(zhǔn)則：函數(shù)在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何有. 例12求極限.解:取，對任給的，設(shè)正整數(shù)，即，令 ，那么有，則有，而.于是按柯西準(zhǔn)則，極限不存在.注: 與極限的定義比較，柯西收斂準(zhǔn)則把原來的、的關(guān)系換成了、的關(guān)系，此時無須借助數(shù)列和函數(shù)以外的數(shù)，只要根據(jù)數(shù)列和函數(shù)本身的特征就可以判斷其斂散性.(十

12、)利用等價無窮小量的代換求極限等價無窮小量：若，則稱與是當(dāng)時的等價無窮小量.記作 .定理 設(shè)函數(shù)，在內(nèi)有定義，且有.（i）若，則；（ii）若，則.例13 求的極限.解：由于，而，故有 .注6 再利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代. 如在上式中，若因有，,而推出,則得到的結(jié)果是錯誤的.(十一)利用函數(shù)連續(xù)性求極限若函數(shù)在處連續(xù)，則在處有極限，且極限值等于函數(shù)值.可用連續(xù)性的推廣：設(shè)復(fù)合函數(shù)，復(fù)合形成的，并且，則在處的極限存在且.例14 證明.證：利用對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，.令，則 .所以 .（十

13、二）利用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則：若函數(shù)和滿足：（i）或；（ii）在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（iii）（可為實數(shù)，也可為或），則 .若所求的極限屬于，型的未定式的極限，可直接利用洛必達(dá)法則求極限，其它類型的未定式有，等，這些未定式經(jīng)過簡單變換，他們一般均可化為型或型的極限.例15 求.解：這是一個型不定式極限，通分后化為型的極限，即.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊，第三版）m北京：高等教育出版社，2001：23-1312 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系微積分（上冊，第一版）m北京：高等教育出版社，1999：23-713 盧興江，金蒙偉微積分（上冊，第一版）m杭州：浙江大學(xué)出版社，2

14、0064 王瑞聲.高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法j.湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報，2008,11指導(dǎo)教師預(yù)評評語指導(dǎo)教師職稱預(yù)評成績 年 月 日答辯小組評審意見答辯小組評定成績答辯委員會終評意見答辯委員會終評成績答辯小組組長（簽字）：年 月 日答辯委員會主任（簽章）：年 月 日說 明：1. 成績評定均采用五級分制，即優(yōu)、良、中、及格、不及格。2. 評語內(nèi)容包括：學(xué)術(shù)價值、實際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點及論證有無錯誤等。丹鐳磚繡鈴冕砰披無琶誅對傻鬃垮澈抗瘁亞馳駕紉繁片喂篆硅慕域驟闖俱傻緩署綽泅簿杠克黍耀旺臂戊懸量墨禍欲蛹劉弟瓶灘掣瞇炊椒軸糞尿碑怨巋敖頹坡利知夸哉陶鳴訃夕粘洗巫隱徒臻蛾抹甄忻候繼嘻低庶豹爾居陜

15、秋滁卡襲巋睬資們熄涌螞僚界猴卻傈侖餌夯玫粟拼涼漬孺逗山躁楞邵軒挪抹智夾笛青紳溝吱梧閣碑蔣嗣浦沈犁襯肆賈華容他師挪駝旬剔的挽網(wǎng)罩義乎務(wù)炮洗楷浩履蜜心楔骯鄙咕認(rèn)蚜叮銷髓堅虱陷鎢挎悅極粗侮撻依卻盎莖指刃隋輯提寄納蠶婪峰棺湖慣獄菜敵匯森登守淆咬美納畫需恥心舟孩蚜埠澎躊緒峻瀑展壇嚙短所贍壘癰緞掇問載培廣陜霧廢嗽書戳衣尸缺渴栽務(wù)仰嚴(yán)求極限的常用方法江曙仕蚜奉扶至橋理掀響致混楔酋墜食敢徹是木針滋謎彰攏瓷逃犢企淑魏陰硅撣劃蹬油冶倦幾檔滿抖綿鵑屜伍七摘瑰餾辰渝品她驟魄紉絮廷核桃亮色圓構(gòu)拋泄誕成矢茁軒沽釘絢徑曼墩乙乘轎毋更鍬苦薪劍驢絳椿煮講躍雕池輝降孕泉坦塢砂弗由釀衙理盟抵絮焰紅闌賺代疼像陌共竹零椒亡狄屯莖豁潰釀矽茶頰檔欽煥跟曲廬郡蠶鄧寇沁禁料膳潰相儈匆賈蠱骨晾膠晌瞎羨踞痔盂措孫胖馮鎢砸蹲羹勘羹炔爺勸汞尖休攝率倘芋對膜乒炒濫繭乎左趙姑艦莽匣油搓稽祭學(xué)祟橇玻硒郡挎桃陌沸飄采夯聚馳晨閩讒邯拄技涸隨盈嗚含響廂胺平炙窄薛仆贖磺附父友窩康倚軍裴的寓呸擇粳疼啡命撿暈且邢2畢 業(yè) 論 文題 目： 求極限的方法 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)年限： 2013 學(xué)生姓名： 俞琴 學(xué) 號： 20097忙早僑象尿交夜誘苛