計算機數(shù)學基礎(chǔ)第5章定積分幾何應用

1、5.1 定積分的微元法定積分的微元法5.2 定積分求平面圖形的面定積分求平面圖形的面5.3 定積分求空間立體的體積定積分求空間立體的體積結(jié)束前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁1.選取一個變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間選取一個變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間a,b,此方法稱為微元法或積分元素法此方法稱為微元法或積分元素法. .在區(qū)間上任在區(qū)間上任取一小區(qū)間取一小區(qū)間, ,并記為并記為 . .d x,x+xd( )dbbaaaaf xxxdxx aba 5.1 5.1 定積分的微元法定積分的微元法對定積分問題對定積分問題,所求量所求量 的積分表達式的積分表達式,可如下確定可如下確定: a 2. 2.找出找

2、出 在在a,ba,b 上任意小區(qū)間上任意小區(qū)間 x,x+d+dx 上部分量上部分量a a的近似值的近似值 , ,d( )daf xx a 3. 3.在在 a, ,b 上求上求d da的定積分即得的定積分即得a的積分表達式的積分表達式前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)在區(qū)間間 上連續(xù)上連續(xù), ,求由曲線求由曲線 及及直線直線 所圍成所圍成的圖形的面積的圖形的面積.1. 直角坐標下平面圖形的面積直角坐標下平面圖形的面積5.2 5.2 用定積分求平面圖形的面積用定積分求平面圖形的面積( ), ( )f xg x , a b( )( )g xf x( ),( )yf xyg x, ()xa

3、xbab( )yf x ( )yg x ab前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(2) (2) 以以 為被積表達式為被積表達式, ,在區(qū)間在區(qū)間 作定作定積分積分 , ,這就是所求圖形的面積這就是所求圖形的面積. . (1) (1) 在區(qū)間在區(qū)間 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , ,設(shè)此小設(shè)此小區(qū)間上的面積為區(qū)間上的面積為 , ,它近似于高為它近似于高為 , ,底為底為 的小矩形面積的小矩形面積, ,從而得面積微元為從而得面積微元為d ( )( )d .af xg xx ( )( )dbaaf xg xx 分析分析 , a b ,d x xx a ( ) ( )f xg x dx ( )( ) df xg x

4、x , a b 在這個公式中，無論曲線在這個公式中，無論曲線 在在x 軸的上方或下方都成立，只軸的上方或下方都成立，只要要 在曲線在曲線 的下方的下方即可。即可。( )y g x ( )yf x ( )yf x ( )yg x abx xdx da前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 ( )0f x ( )0g x ( )0f x ( )0g x 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁331202331.3xx 120daxxx2ddaxxx例例1 1 求由曲線求由曲線 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積a a。2yxyx，解解 兩曲線的交點為兩曲線的交點為（0,0）,（1,1）,于是積分區(qū)間為于是積分區(qū)間為0,1面

5、積微元面積微元所求面積為所求面積為1xdxx 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁面積為面積為 , ,則近似于高為則近似于高為d dy, ,底底同理，設(shè)函數(shù)同理，設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，為為 的小矩形面積的小矩形面積, , 在區(qū)間在區(qū)間 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , ,設(shè)此小區(qū)間上的設(shè)此小區(qū)間上的求由曲線求由曲線 及直線及直線 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積.21()()d dcayyy12( ),( )yy , c d12( )( )yy 12( ),( )xyxy, ()yc ydcddyy cd2( )y 1( )y y ,d y yy 21d( )( )d .ayyx ,c d

6、a 21( )( )yy 于是所求面積為于是所求面積為從而得面積微元為從而得面積微元為前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2212231(242)d 2 =439.ayyyyyy 解解 由由 解得交點解得交點a(2,-1),b(8,2)例例2 2 求拋物線求拋物線 與直線與直線 所圍成的圖所圍成的圖形的面積形的面積. . 22yx 24xy242xyxy a(2,-1),b(8,2)取取y為積分變量為積分變量,于是于是,所求面積為所求面積為:前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁且且 求此曲線與射線求此曲線與射線 所圍成的曲邊所圍成的曲邊扇形的面積扇形的面積.2.2.極坐標下平面圖形的面積極坐標下平面圖形的面積 設(shè)曲線

7、的極坐標方程設(shè)曲線的極坐標方程 在在 上連續(xù)上連續(xù),( )( )rrr ， , ( ) 0r ，( )rr rd 在區(qū)間在區(qū)間 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間 ,設(shè)此小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上曲邊扇形的面積為上曲邊扇形的面積為 ,則則 近似于半徑為近似于半徑為 ,中心中心 , ,d a a ( )r 角為角為 的扇形面積的扇形面積,d 21dd2ar ，211 ( )d .22ar 從而可得面積為從而可得面積為從而得到面積微元為從而得到面積微元為前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁22012(1cos ) d2aa220(12coscos)da2031(2coscos2 )d22a202312sinsin2243.

8、2aa 例例3 求心形線求心形線 所圍成的面積所圍成的面積. (1cos )ra 解解 當當 從從0變到變到 時時,得得 的圖形為上半的圖形為上半部分部分,心形線所圍圖形的面積心形線所圍圖形的面積a為極軸上方部分的兩倍為極軸上方部分的兩倍,即即 (1cos )rax前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 例例4 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線 上對應于上對應于 從從0變到變到 的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積.ra 解解 面積微元為面積微元為21d() d2aa 于是于是,所求面積為所求面積為2202230231() d22343aaaa 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁5.3 5

9、.3 用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積5.3.1 平行截面面積已知的立體體積平行截面面積已知的立體體積設(shè)有一立體價于過點設(shè)有一立體價于過點 且垂直于且垂直于 軸軸的兩平面之間的兩平面之間,求此立體的體積求此立體的體積., ()xa xbabxabxdxx 如圖如圖,介于介于 與與 之間的薄之間的薄片的體積近似等于底面積為片的體積近似等于底面積為a(x),高為高為dx的扁柱體的體積的扁柱體的體積,即體積微即體積微元為元為xdxx a(x)d( )dva xx( )dbava xx即對截面積即對截面積a(x)從從a到到b求積分求積分!于是所求體積為于是所求體積為前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁

10、前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁5.3.2 5.3.2 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體體積體積 設(shè)設(shè) , 及及y=0所圍圖形繞所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),求所得旋轉(zhuǎn)體的體積求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.( )yf x ()xaxbab，ab( )yf x 選取選取 為積分變量為積分變量,其變化區(qū)其變化區(qū)間為間為 ,過點過點x做垂直于做垂直于x 軸的平軸的平面面,截得旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為截得旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為 的圓的圓,其截面積為其截面積為ab( )yf x x從而所求旋轉(zhuǎn)體體積為從而所求旋轉(zhuǎn)體體積為x , a b|( )|f x2( ) ( )a xf x 2( )d ( ) dbbaava xxf xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例

11、4 計算由橢圓計算由橢圓 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積的體積.12222byax體積微元區(qū)間為積分變量，它的變化取,aaxxxaabvdd222. 22軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體軸圍成的圖形繞與旋轉(zhuǎn)體可看作上半橢圓xxxaaby解解前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁xxaabxxaabvaaaad )( d 2222222旋轉(zhuǎn)體的體積為xxaabad )(2 022223432203222abxxaaba前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.)0()0( 2 2222轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋繞形圍成的圖與拋物線求圓xxaaxyayx例5.d)(,) 12(d2) 12( , 0, 0 22xxaaaxaxaax積微元是上，體；在上，體積微元是在為積分變量，變化區(qū)間取，求解axyayx22222解，交點為)28,1)2( ()28,1)2( (aaaa前頁前頁結(jié)束結(jié)束