高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標準方程學案新人教A版選修110912297

1、高中數(shù)學選修精品教學資料2.2.1雙曲線及其標準方程學習目標：1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程(重點)2.掌握雙曲線的標準方程及其求法(重點)3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題(難點)自 主 預 習·探 新 知1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點f1,f2距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距思考：(1)雙曲線定義中,將“小于|f1f2|”改為“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常數(shù),其他條件不變,點的軌跡是什么？(2)雙曲線的定義中,若|mf1|mf2|2a(

2、常數(shù)),且2a<|f1f2|,則點m的軌跡是什么？提示(1)當距離之差的絕對值等于|f1f2|時,動點的軌跡是兩條射線,端點分別是f1,f2,當距離之差的絕對值大于|f1f2|時,動點的軌跡不存在(2)點m在雙曲線的右支上2雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0,b0)1(a0,b0)焦點f1(c,0),f1(0,c),f2(c,0)f2(0,c)a,b,c的關系c2a2b2基礎自測1思考辨析(1)在雙曲線標準方程中,a,b,c之間的關系與橢圓中a,b,c之間的關系相同()(2)點a(1,0),b(1,0),若|ac|bc|2,則點c的軌跡是雙曲線()(3)在雙曲線標準

3、方程1中,a0,b0,且ab.()答案(1)×(2)×(3)×2雙曲線1的焦距為()a3b4c3d4dc210212,所以c2,從而焦距為4.3已知雙曲線的a5,c7,則該雙曲線的標準方程為() 【導學號：97792079】a.1b.1c.1或1d.0或0cb2c2a2725224,故選c.合 作 探 究·攻 重 難雙曲線的定義及應用若f1,f2是雙曲線1的兩個焦點(1)若雙曲線上一點m到它的一個焦點的距離等于16,求點m到另一個焦點的距離(2)若點p是雙曲線上的一點,且f1pf260°,求f1pf2的面積思路探究(1)直接利用定義求解(2)在

4、f1pf2中利用余弦定理求|pf1|·|pf2|.解(1)設|mf1|16,根據(jù)雙曲線的定義知|mf2|16|6,即|mf2|16±6.解得|mf2|10或|mf2|22.(2)由1,得a3,b4,c5.由定義和余弦定理得|pf1|pf2|±6,|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60°,所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|,所以|pf1|·|pf2|64,sf1pf2|pf1|·|pf2|·sin f1pf2×64×16.規(guī)律方法求雙曲線中的焦

5、點三角形pf1f2面積的方法(1)根據(jù)雙曲線的定義求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|、|pf2|、|f1f2|之間滿足的關系式；通過配方,利用整體的思想方法求出|pf1|·|pf2|的值；利用公式spf1f2×|pf1|·|pf2|sinf1pf2求得面積.(2)利用公式spf1f2×|f1f2|×|yp|求得面積.跟蹤訓練1(1)已知定點f1(2,0),f2(2,0),在平面內(nèi)滿足下列條件的動點p的軌跡中為雙曲線的是()a|pf1|pf2|±3b|pf1|pf2|±4c|pf1|pf2|±5

6、d|pf1|2|pf2|2±4a|f1f2|4,根據(jù)雙曲線的定義知選a.(2)已知定點a的坐標為(1,4),點f是雙曲線1的左焦點,點p是雙曲線右支上的動點,則|pf|pa|的最小值為_.【導學號：97792080】9由雙曲線的方程可知a2,設右焦點為f1,則f1(4,0)|pf|pf1|2a4,即|pf|pf1|4,所以|pf|pa|pf1|pa|4|af1|4,當且僅當a,p,f1三點共線時取等號,此時|af1|5,所以|pf|pa|af1|49,即|pf|pa|的最小值為9.求雙曲線的標準方程根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程：(1)a4,經(jīng)過點a；(2)與雙曲線1有相同的焦點,

7、且經(jīng)過點(3,2)；(3)過點p,q且焦點在坐標軸上思路探究(1)結合a的值設出標準方程的兩種形式,將點a的坐標代入求解(2)因為焦點相同,所以所求雙曲線的焦點也在x軸上,且c216420,利用待定系數(shù)法求解,或設出統(tǒng)一方程求解(3)雙曲線焦點的位置不確定,可設出一般方程求解解(1)當焦點在x軸上時,設所求標準方程為1(b>0),把點a的坐標代入,得b2×<0,不符合題意；當焦點在y軸上時,設所求標準方程為1(b>0),把a點的坐標代入,得b29.故所求雙曲線的標準方程為1.(2)法一：焦點相同,設所求雙曲線的標準方程為1(a>0,b>0),c21642

8、0,即a2b220.雙曲線經(jīng)過點(3,2),1.由得a212,b28,雙曲線的標準方程為1.法二：設所求雙曲線的方程為1(4<<16)雙曲線過點(3,2),1,解得4或14(舍去)雙曲線的標準方程為1.(3)設雙曲線的方程為ax2by21,ab<0.點p,q在雙曲線上,解得雙曲線的標準方程為1.規(guī)律方法1.求雙曲線標準方程的步驟(1)確定雙曲線的類型,并設出標準方程；(2)求出a2,b2的值2當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時,需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論,特別地,當已知雙曲線經(jīng)過兩個點時,可設雙曲線方程為ax2by21(ab<0)來求解跟蹤訓練2(1)與橢圓y2

9、1共焦點且過點p(2,1)的雙曲線方程是()a.y21b.y21c.y21 dx21c設所求雙曲線方程為1(a>0,b>0),由題意得,解得所以所求雙曲線方程為y21.(2)已知雙曲線中心在坐標原點且一個焦點為f1(,0),點p位于該雙曲線上,線段pf1的中點坐標為(0,2),則該雙曲線的方程是()a.y21 bx21c.1 d.1b由雙曲線的焦點可知c,線段pf1的中點坐標為(0,2),所以設右焦點為f2,則有pf2x軸,且pf24,點p在雙曲線右支上所以pf16,所以pf1pf26422a,所以a1,b2c2a24,所以雙曲線的方程為x21,選b.與雙曲線有關的軌跡問題探究問題

10、1到兩定點f1,f2的距離之差是常數(shù)(小于|f1f2|)的點的軌跡是雙曲線的兩支還是一支？提示：一支2求以兩定點f1,f2為焦點的雙曲線方程時,應如何建系？提示：以直線f1f2和線段f1f2的垂直平分線分別為x軸和y軸建系如圖2­2­1,在abc中,已知|ab|4,且三內(nèi)角a,b,c滿足2sin asin c2sinb,建立適當?shù)淖鴺讼?求頂點c的軌跡方程圖2­2­1思路探究解以ab邊所在的直線為x軸,ab的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,則a(2,0),b(2,0)由正弦定理,得sin a,sinb,sin c(r為abc的外接圓半徑)

11、2sin asin c2sinb,2|bc|ab|2|ac|,即|ac|bc|2<|ab|.由雙曲線的定義知,點c的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)由題意,設所求軌跡方程為1(x>a),a,c2,b2c2a26.即所求軌跡方程為1(x>)規(guī)律方法求與雙曲線有關的點的軌跡問題的方法(1)列出等量關系,化簡得到方程(2)尋找?guī)缀侮P系,由雙曲線的定義,得出對應的方程提醒：雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支跟蹤訓練3如圖2­2­2所示,已知定圓f1：x2y210x240,定圓f2：x2y210x90,動圓m與定圓

12、f1,f2都外切,求動圓圓心m的軌跡方程. 【導學號：97792081】圖2­2­2解圓f1：(x5)2y21,圓心f1(5,0),半徑r11.圓f2：(x5)2y242,圓心f2(5,0),半徑r24.設動圓m的半徑為r,則有|mf1|r1,|mf2|r4,|mf2|mf1|3<10|f1f2|.點m的軌跡是以f1,f2為焦點的雙曲線的左支,且a,c5,于是b2c2a2.動圓圓心m的軌跡方程為1.當 堂 達 標·固 雙 基1已知m,nr,則“mn0”是“方程1表示雙曲線”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件c方程1表示雙曲線,必有mn0；當mn0時,方程1表示雙曲線,所以“mn0”是“方程1表示雙曲線”的充要條件2以橢圓1的焦點為頂點,以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線的方程是()a.y21by21c.1 d.1b橢圓1的焦點為f1(0,1),f2(0,1),長軸的端點a1(0,2),a2(0,2),所以對于所求雙曲線a1,c2,b23,焦點在y軸上,雙曲線的方程為y21.3若雙曲線e：1的左,右焦點分別為f1,f2,點p在雙曲線e上,且|pf1|3,則|pf2|等于()a11b9c5d3b由題意知|pf2|3|6,即|pf2|3±6,解得|pf2|9或|pf2|3(舍去)4設m是常數(shù),若點f(