大學(xué)數(shù)學(xué)微積分

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分微積分中央財經(jīng)大學(xué) )(o)(0 xxxfy若 y = f (x) 在點 x0 處有(有限)導(dǎo)數(shù), 則xxfy)(0現(xiàn)在反過來想一想：若在 x0 點處 y = f (x) 的增量 y 可以表示為 一個線性函數(shù)與一個高階無窮小量之和的形式那么, 我們自然要問 a = ? )0 ( )o(xxxayxxaxy )(o xy ax0lim )(0 xf 就是說, 在點 x0 處若可用關(guān)于自變量的增量 x 的線性函數(shù)逼近函數(shù)的增量 y 時, 其關(guān)系式一定是 y = f (x0)x + o(x) 我們稱 f (x0)x (或 ax) 為函數(shù)在點 x0 處增量的線性主部, 通常將它記

2、為 dy = f (x0)x ( dy =ax ). 微分一. 函數(shù)的微分將以上的討論歸納一下, 可得出什么結(jié)論 ?1.微分的概念y =ax + o(x)此時, 稱 f (x) 在點 x0 處可微 。設(shè) y = f (x) 在 u(x0) 有定義, 給 x0 以增量x , 且 x0+x u(x0) 。如果函數(shù)相應(yīng)的增量可表示為則稱 y 的線性主部為 f (x)在點 x0 處的微分,記為 d y =ax , 其中, a 叫微分系數(shù) 。2.可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理 ).( , )( )(000 xfaxxfxxf且處可導(dǎo)在點處可微在點y = f (x0)x + o(x)dy = f (x0)x 也就是

3、說 , f (x) 在點 x0 處的可微性與可導(dǎo)性是等價的 , 且 f (x) 在點 x0 處可微 , 則解解.d , yxy求什么意思？例例1自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成:該例說明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外, 當(dāng) x 為自變量時, 還可記. )( d , d22等znxxxxnn ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( , d)(d xyxfxxfy有時當(dāng)即函數(shù) f (x) 在點 x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法, 這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求

4、導(dǎo)公式就好理解了.3. 微分的幾何意義oxyyydxxdxxx)(xfy 幾何上, 函數(shù) y = f (x) 在點 x 處的微分表示為: 相應(yīng)于自變量 x 的改變量 x, 曲線y = f (x) 在點 p(x, y) 的切線上縱坐標(biāo)的改變量.2微分的運(yùn)算法則 1.微分的基本公式可微 可導(dǎo) 微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似 微分公式一目了然, 不必講了.01xaxln1x1aaxlnxexcosxsinx2secx2cscxx sectanxx csccot211x211x211x211x cxxalogxln xa xexsinxcosxtanxcotxsecxcscxarcsinxarcc

5、osxarctanxarccot0dcdxxxd1dxaxxdaln1logdxxxd1ln adxaadxxln dxeedxxxdxxdcossinxdxxdsincosxdxxd2sectanxdxxd2csccotxdxxxdsectansecxdxxxdcsccotcscdxxxd211arcsindxxxd211arccosdxxxd211arctandxxxd211cotarc2.一階微分形式不變性 ( 復(fù)合函數(shù)微分法則 ) )( )( 可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)與設(shè)xuufy).(xfy而處可微在點若 , )(0 xxu , )( )(00且處可微在相應(yīng)點xuufy)( , )u( )(0

6、 xfyxxf則內(nèi)有定義在在點 x0 處可微.按微分的定義但故xxfxxyyd)(ddddxxxfd)()(xxud)(d d)(d)()(duufxxufy)( 為中間變量u 說明什么問題？ 我們發(fā)現(xiàn) y = f (u) , 當(dāng) u 為中間變量時的微分形式與 u 為自變量時的微分的形式相同 , 均為 dy = f (u) du , 這種性質(zhì)稱為函數(shù)的一階微分形式不變性 .解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 , 2 3處的微分在時以及當(dāng)處的微分在求xxxxy

7、例例2.dd ,4 2xyyyx求設(shè)解解yyxd)42(d )2( 421dd yyxy) 42dd (yyx或例例3三. 二階微分其二階微分為設(shè)函數(shù) y = f (x) 二階可導(dǎo), 當(dāng) x 為自變量時,)d)(d()d(dd2xxfyy2d)(d)(d(xxfxxf 由此看出, 當(dāng) x 為自變量時,22dd)(xyxf d 22xx 除法xxd類似可定義 n 階微分:nnnnnnxxfxxfyyd)()d)(d()d(dd)(1)1(1nnnxyxfdd)( )(且有 注意這里 x 是自變量 四. 微分在近似計算中的應(yīng)用)(o)( xxxfy由函數(shù)增量的近似值：, | , 0)( 0很小時當(dāng)

8、xxfxxfxfxxfy)()()(000函數(shù)值的近似值：xxfxfxxf)()()(000)( )()()(000 xxxfxfxf將半徑為 r的球加熱. 如果球的半徑, r估計球的體積的增量.伸長解解3334)(34rrrvrr)34(3rr 24, 343rv則由所以, 球的體積增量大約為.42rr 例例5. 3030sin 的近似值利用微分求, sin)( xxf設(shè). 36063030 又, 360 , 6 0 xx取 , 236cos)( 0 xf而3606cos6sin)3606sin(5076. 0得3602321解解例例6xxfxfxxf)()()( 000由例例7 7.計算下列各數(shù)的近似值解解.)2(;5 .99