第十章定積分的應(yīng)用

1、1 平面圖形的面積 2 由平行截面面積求體積3 平面曲線的長4 定積分在物理學中的應(yīng)用1 平面圖形的面積平面圖形的面積 本章中我們將用前面學過的定積分的知識來本章中我們將用前面學過的定積分的知識來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅是建立計算這些幾何、物理的公式，而且不僅是建立計算這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運用元素法解決問題更重要的還在于介紹運用元素法解決問題的定積分的分析方法。的定積分的分析方法。考慮曲邊梯形面積計算問題考慮曲邊梯形面積計算問題 badxxfa)(一一 問題的提出問題的提出曲邊 梯形由連 續(xù)曲 線曲邊 梯形由連

2、 續(xù)曲 線)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所圍成。所圍成。ab xyo)(xfy 面積表示為定積分要通過如下步驟：面積表示為定積分要通過如下步驟：（1）把區(qū)間把區(qū)間,ba分成分成n個長度為個長度為ix 的小區(qū)間，的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形， 第個小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯形的面積為ia ，則，則 niiaa1.（2）計算計算ia 的近似值的近似值iiixfa )( iix （3） 求和，得求和，得a a的近似值的近似值.)(1iinixfa （4） 求極限，得求極限，得a a的精確值的精確值i

3、inixfa )(lim10 badxxf)(iinixf )(lim10 比較比較 badxxf)(與與兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實，左邊的極限式子與右邊兩式，我們發(fā)現(xiàn)一個事實，左邊的極限式子與右邊的定積分表達式有很好的對應(yīng)。我們讓的定積分表達式有很好的對應(yīng)。我們讓 ni 10lim ba對應(yīng)對應(yīng)iixf )( 而而使使dxxf)(對對應(yīng)應(yīng) 要想得到一個定積分表達式，只要求出被積要想得到一個定積分表達式，只要求出被積表達式表達式,)(dxxf這就是定積分的元素法這就是定積分的元素法當當所所求求量量u符符合合下下列列條條件件（1 1）u是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的

4、的量量；（2）u對于區(qū)間對于區(qū)間 ba,具有可加性，就是說，具有可加性，就是說，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 ba,分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則u相應(yīng)相應(yīng)地分成許多部分量，而地分成許多部分量，而u等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部部分分量量iu 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達達這這個個量量 u 二二 定積分的元素法（定積分的元素法（element method ）元素法的一般步驟元素法的一般步驟1）根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如x為為積分變量，并確定它的變化區(qū)間積分變量

5、，并確定它的變化區(qū)間,ba；2）設(shè)想把區(qū)間設(shè)想把區(qū)間,ba分成分成n個小區(qū)間，取其中任個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為一小區(qū)間并記為,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量間的部分量u 的近似值的近似值. .如果如果u 能近似地表能近似地表示為示為,ba上的一個連續(xù)函數(shù)在上的一個連續(xù)函數(shù)在 x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，就把的乘積，就把dxxf)(稱為量稱為量 u的元素且的元素且記作記作 du，即，即dxxfdu)( ； 3）以以所所求求量量u的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfu)(，即即為為所

6、所求求量量u的的積積分分表表達達式式. .這個方法通常叫做元素法這個方法通常叫做元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等l復(fù)習: 定積分的幾何意義三、平面圖形的面積:由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形y=f(x)ab0 xy怎樣求面積呢？dxxfba)(. 1a-a0)(xf0)(xfa表示以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00aa321)(aaadxxfba則2.如果f(x)在a,b上時正，時負，如下圖結(jié)論：

7、的代數(shù)和表示積的值都可用區(qū)邊梯形面dxxfba)(幾何意義abxyy=f(x)2a1a3a0問題:試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0 xy=x22yy0 xy=f(x)y=g(x)abl講授新課:直角坐標系xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfa)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfa)()(121 1 直角坐標系情形直角坐標系情形xxxx x 穿針法或微元素法穿針法或微元素法被積函數(shù)上被積函數(shù)上- -下、右下、右- -左左結(jié)論:一般地,由上,下兩條曲線y=f(x)與y=g(x)以及兩條直線x=a與x=b(ab

8、)所圍平面圖形的面積計算公式為.)()(dxxgxfaba例1.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxaa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxa2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的

9、幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxaba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxa 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解解 兩曲線的交點，兩曲線的交點，)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxda)(2

10、選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 22xyxy解方程組解方程組注注 被積函數(shù)為上被積函數(shù)為上- -下，上為下，上為 下為下為xy 22xy 解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y.1824422 dyyyaxy22 4 xy注注 被積函數(shù)為被積函數(shù)為“右右- -左左”右為直線，左為拋物線右為直線，左為拋物線如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdttta （其

11、中（其中1t和和2t對應(yīng)曲線起點與終點的參數(shù)值）對應(yīng)曲線起點與終點的參數(shù)值）在在 1t, ,2t （或（或 2t, ,1t ）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù). .解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxa04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 dda

12、2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 da 2 2 極坐標系情形極坐標系情形)( r d dada)(2122 解解2 , 0 202221daa于是于是3220234321 aa 解解 dada22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aa d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14aa daa2cos214402 .2a xy 2cos22a 1a元素法的提出、思想、步驟元素法的提出、思想、步驟. .（注意微元法的本質(zhì)）

13、（注意微元法的本質(zhì)）四四 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題微元法與定積分的關(guān)系是什么？微元法與定積分的關(guān)系是什么？平面圖形面積的計算方法平面圖形面積的計算方法（注直角坐標、參數(shù)方程、極坐標）（注直角坐標、參數(shù)方程、極坐標）2 由平行截面面積求體積由平行截面面積求體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺1 1 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積一、一、 空間立體的體積空間立體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看作是由連續(xù)曲線旋轉(zhuǎn)體可以看作是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線、直線ax 、bx 及及x

14、軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，現(xiàn)在我們考慮用定積分來計轉(zhuǎn)一周而成的立體，現(xiàn)在我們考慮用定積分來計算這種旋轉(zhuǎn)體的體積。算這種旋轉(zhuǎn)體的體積。取積分變量為取積分變量為x,ba變變化化范范圍圍相應(yīng)于相應(yīng)于,ba上的任一小區(qū)間上的任一小區(qū)間,dxxx ，窄邊梯形繞，窄邊梯形繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積近近似似的的于于以以)(xf為為底底半半徑徑、dx為為高高的的扁扁圓圓柱柱體體的的體體積積，即即體體積積元元素素dxxfdv2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfvba2)( )(xfy yr解解hpxhry 取積分變量為取積分

15、變量為x，, 0h它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間為為圓錐體中相應(yīng)于圓錐體中相應(yīng)于, 0h上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間,dxxx 的薄片的薄片xo直線方程為直線方程為),(rhp過原點過原點 及點及點o的體積近似于底半徑為的體積近似于底半徑為xhr、高為、高為dx的扁圓柱體的體的扁圓柱體的體積即體積元素積即體積元素dxxhrdv2 于是所求圓錐體的體積為于是所求圓錐體的體積為dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr yrhpxo用與上面類似地方 法可以推出：由曲線用與上面類似地方 法可以推出：由曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy )(dc 與與y軸所軸所圍成的曲邊梯形，繞圍成的曲邊梯形，繞y

16、軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為體的體積為xyo)(yx cddyy2)( dcv解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyvax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖oabc與與obc分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差. .dtyxvay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2abca2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022

17、sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 用用與與上上面面類類似似地地方方法法可可以以推推出出另另一一個個計計算算旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積公公式式： 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線0)( xfy、直線、直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為而成的立體，體積為dxxfxvbay)(2 dxxx xdxxfxfxxfdxxdv)(2)()()(22 證明：如圖，體積元素證明：如圖，體積元素dxxfxvbay)(2 y)(xfdxxfxvbay)(2 利用公式利用公式，dxxfxvay| )(|220 20

18、)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 可知上例中可知上例中xoab2、平行截面面積為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 從計算旋轉(zhuǎn)體體積的過程可以看出：如果一個從計算旋轉(zhuǎn)體體積的過程可以看出：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算也可用定積分來計算. .如圖，如圖，)(xa表表示過點示過點x且垂且垂直于直于x軸的截軸的截面面積，面面積，)(xa為為x的已知

19、連續(xù)函數(shù)，體積元素的已知連續(xù)函數(shù)，體積元素,)(dxxadv .)( badxxav立體體積立體體積rr xyo解解 建立坐標系建立坐標系，底圓方程為底圓方程為222ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xrxa 立體體積立體體積dxxrvrr tan)(2122 .tan323 r 軸軸。軸軸的的直直線線為為垂垂直直于于軸軸，底底面面上上過過圓圓心心、且且為為取取平平面面與與圓圓柱柱體體的的交交線線yxx解解建立坐標系建立坐標系， 底圓方程為底圓方程為,222ryx xyorx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角

20、角形形截面面積截面面積22)(xrhyhxa 立體體積立體體積dxxrhvrr 22.212hr 正正劈劈錐錐的的頂頂平平行行。軸軸與與為為原原點點，并并使使圓圓心心面面，取取底底圓圓所所在在的的平平面面為為xoxoy3 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoy0ma nmb 1m2m1 nm設(shè)設(shè)a、b是是曲曲線線弧弧ab上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點 bmmmmmanni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當當分分點點的的數(shù)數(shù)目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段iimm1 都都縮縮向向一一點點時時， 此折線的長此折線的長|11 n

21、iiimm的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧ab的弧長的弧長.1、平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念 平面曲線的弧長平面曲線的弧長定理定理 光滑曲線弧是可求長的光滑曲線弧是可求長的。簡介簡介 光滑曲線光滑曲線 當曲線上每一點處都具有切線，且切線當曲線上每一點處都具有切線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣的曲線稱為光滑曲線。光滑曲線。就是一條光滑曲線。就是一條光滑曲線。如如2xy -2-1121234-6-4-2246-1-0.50.512xy xysin 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba

22、上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 就是弧長元素就是弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 2 直角坐標情形由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知dxyds21 例例 1 10 0 計計算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長長度度. .解解,21xy 因因為為dxxds2)(121 從而弧長元素從而弧長元素,1dxx 所以弧長為所以弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab 0.511.520.250.50.7511.251.51.75設(shè)曲線弧為設(shè)曲

23、線弧為,)()( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). .22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 3 3 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形解解)0()cos1(),sin( atayttax例例 11 11 計算曲線計算曲線的全長的全長).20( 2sin2 )()(sin)(),cos1()(22 tdttadttytxdstatytatx于是于是.82cos42sin22020atadttas 所以所以a 2a )(xy曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( r在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)

24、數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). . sin)(cos)(ryrx由由)( 22)()(dydxds 得到得到,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 4 4 極坐標情形極坐標情形例例 1 12 2 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長長. .解解 drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 1 1光滑曲線的概念光滑曲線的概念.四四 小結(jié)小結(jié)2 2平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標系下直角坐標系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標系下極坐標系下3 3 弧長的公式弧長的公式 4 定積

25、分在物理學中的應(yīng)用定積分在物理學中的應(yīng)用 由物理學知道，如果物體在作直線運動的由物理學知道，如果物體在作直線運動的過程中有一個不變的力過程中有一個不變的力f作用在這物體上，且作用在這物體上，且這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在物體移動了距離物體移動了距離s時，力時，力f對物體所作的功為對物體所作的功為sfw . . 如如果果物物體體在在運運動動的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就會會遇遇到到變變力力作作功功的的問問題題，不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”。一一 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功例

26、例 1 1 把一個帶把一個帶 q 電量的點電荷放在電量的點電荷放在 r 軸上坐軸上坐標原點處，它產(chǎn)生一個電場這個電場對周圍的標原點處，它產(chǎn)生一個電場這個電場對周圍的電荷有作用力由物理學知道，如果一個單位正電荷有作用力由物理學知道，如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為電荷放在這個電場中距離原點為 r 的地方，那么的地方，那么電場對它的作用力的大小為電場對它的作用力的大小為 2rqkf （k是常是常數(shù)） ，當這個單位正電荷在電場中從數(shù)） ，當這個單位正電荷在電場中從 ar 處沿處沿 r軸移動到軸移動到 br 處時，計算電場力處時，計算電場力 f 對它所作對它所作的功的功解解取取r為為積積分分

27、變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 即功元素為即功元素為,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq于于區(qū)區(qū)間間上上所所作作的的功功近近似似等等取取,drrr 為為 a,ba,b上的任一小區(qū)間上的任一小區(qū)間, ,電場力在此小電場力在此小,2drrkq例例 2 2 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為 5 5 米，底米，底半徑為半徑為 3 3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水. .問要把問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？解解建立坐標系如圖建立坐標系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0

28、x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,5m3m這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)xo3m5m 由由物物理理學學知知道道，在在水水深深為為h處處的的壓壓強強為為hp ，這這里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面積積為為a的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深為為h處處，那那么么，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力為為app 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點處壓強的點處壓強p不相等，平板一側(cè)所受的水壓力

29、不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“元素法”元素法”二二 水壓力水壓力例例 3 3 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為r，水的比重為，水的比重為 ，計算桶的一端，計算桶的一端面上所受的壓力面上所受的壓力解解 在端面建立坐標系如圖在端面建立坐標系如圖xo取取x為積分變量為積分變量，, 0rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各處處的的壓壓強強近近似似相相等等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxr ,xp 小小矩矩形形片片的的壓壓力力元元素素為為dxxrxdp222 端面上所受的壓力端面上所受的壓力dxxrxpr2202 )(22022xrdxrr rxr032232 .323r 例例 5 5 將斜邊定長為將斜邊定長為 l l 的直角三角形薄板垂的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，使一直角邊的邊直地浸人水中，斜邊朝下，使一直角邊的邊長與水面重合，問斜邊與此直角邊的夾角長與水面重合，問斜邊與此直角邊的夾角 多大時，才能使薄板一側(cè)所受水的壓力最多大時，才能使薄板一側(cè)所受水的壓力最大？大？解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖l xoa2 則斜邊所在直線方程則斜邊所在直線方程dxlxxydxxd