正項級數(shù)及其判斂法

1、 6.2 6.2 數(shù)數(shù) 項項 級級 數(shù)的判斂法數(shù)的判斂法12 正項級數(shù)及其判斂法正項級數(shù)及其判斂法 數(shù)數(shù)列列 ns單單調(diào)調(diào)增增加加. . 若若 ns有有界界，則則nns lim必必存存在在，從從而而 1nnu收收斂斂. . （1 1）若若 1nnv收收斂斂，則則 1nnu也也收收斂斂； （2 2）若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv也也發(fā)發(fā)散散. . 證證： （1 1）設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv的的部部分分和和分分別別為為nns 及及， 若若 1nnv收收斂斂，則則 n 有有界界，0 m即即，mn 使使得得. . 且且nnvu ), 2 , 1( n nnvu ), 2 , 1( n， m

2、snn ， 從從而而 有有界界ns，故故 1nnu收收斂斂. . （2 2）用用反反證證法法. .若若 1nnv收收斂斂，則則由由（1 1）知知 1nnu收收斂斂， 這這與與 1nnu發(fā)發(fā)散散矛矛盾盾，故故 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 推論推論 設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv都是正項級數(shù)，且都是正項級數(shù)，且 nkkvunn , 0 ( n,) nn ，則，則 （1 1）若）若 1nnv收斂，則收斂，則 1nnu也收斂；也收斂； （2 2）若）若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv也發(fā)散也發(fā)散. . 而而 11nn發(fā)發(fā)散散，故故 11npn發(fā)發(fā)散散. . 例例 1 1 11 npnp級級數(shù)數(shù)討討論論的

3、的斂斂散散性性. . ppnns1211 xxxxnnppd1d11121 . ,1, ,11 1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù)ppnpnpnpnpxpxx111 111d11 常用等比級數(shù)和常用等比級數(shù)和p p 級數(shù)作為比較判別法的比較對象級數(shù)作為比較判別法的比較對象. . .111)11(1111 pnpp例例 2 2判定判定下下列列正正項項級數(shù)的斂散性：級數(shù)的斂散性： （1 1） 12)1(4nnn ； 解解：nnn252)1(4 （ , 2 , 1 n） ， 而等比級數(shù)而等比級數(shù) 125nn收斂，收斂， 12)1(4nnn收斂收斂. . （2 2） 1)1(1nnn 解解：1

4、1)1(1 nnn（ , 2 , 1 n） ，） ， 而而 111nn發(fā)發(fā)散散， 1)1(1nnn發(fā)發(fā)散散. . 1 1 23nn收收斂斂而而， xn 證證：nnnvwu ， nnnnuvuw 0， 1nnu與與 1nnv都收斂，都收斂， )(1 nnnuv收斂，從而收斂，從而)(1 nnnuw收斂，收斂， 1nnu與與)(1 nnnuw收斂，收斂， 11)(nnnnnnwuwu收斂收斂. . 定理定理1.41.4（比較準則比較準則） 設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，且且 則則有有限限或或 , ) ( lvunnn lim（2 2）當(dāng)）當(dāng)0 l，

5、且，且 1nnv收斂時，收斂時， 1nnu也收斂；也收斂； （3 3）當(dāng)當(dāng) l，且且 1nnv發(fā)發(fā)散散時時， 1nnu也也發(fā)發(fā)散散. . 對對02 l， nn， nn 時，有時，有 2 llvunn ，即，即232lvulnn ， 從而從而)( 232nnvluvlnnn ， 由由比比較較判判別別法法可可知知結(jié)結(jié)論論成成立立. . 證證： （1 1）lvunnn lim， （2 2）0lim nnnvu， 1 nnvu，)( nnvunn ， 由由比比較較判判別別法法可可知知，當(dāng)當(dāng) 1nnv收收斂斂時時， 1nnu也也收收斂斂. . （3 3） nnnvulim，0lim nnnuv， 由由反

6、反證證法法及及（2 2）即即知知結(jié)結(jié)論論成成立立. . 對對1 ， nn， nn 時時，有有 例例 4 4判判別別下下列列正正項項級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性 （1 1） 12sin1nnn 解解 對對級級數(shù)數(shù)的的通通項項先先作作分分析析： 12sin1nnn發(fā)發(fā)散散. . 當(dāng)當(dāng) n時時，n2sinn2，從從而而nn2sin1 n2. . （2 2）nnnn2ln1113 對對級級數(shù)數(shù)的的通通項項先先作作分分析析： 當(dāng)當(dāng) n時時，311 n31n，)21ln(2lnnnn n2， 從從而而nnn2ln113 342n. . 解解：212lim12ln11lim3434343 nnnnnnnn， n

7、nnn2ln1113 收收斂斂. . 而而 1341 nn收收斂斂， （3 3） 1ln nnn 解解： nnnnnnlnlim1lnlim， 而而 11 nn發(fā)發(fā)散散， 1ln nnn發(fā)發(fā)散散. . （1 1）當(dāng)）當(dāng)時時 1 ，收斂收斂 1 nnu； 證證： （： （1 1）當(dāng)）當(dāng)1lim1 nnnuu時，時， , 021 取取有有時時使使當(dāng)當(dāng)則則 , , nnnn , 1 nnuu 1 nnuu. 1 21 q ),( 1nnquunn 因此因此 由由比比較較判判別別法法和和級級數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì) 3 3 可可知知，級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. . ,1223 nnnuqquu, 12 nnqu

8、u即即,111 nkknknuqquu（2 2）當(dāng)）當(dāng),)( 1lim1時時或或 nnnuu nn 必必， 使使時時當(dāng)當(dāng) nn ，有有 11 nnuu). ( 0 1nnuunn 這這表表明明當(dāng)當(dāng)nn 時時正正項項級級數(shù)數(shù)的的通通項項nu是是遞遞增增的的， 從從而而0lim nnu，故故 1nnu發(fā)發(fā)散散. . 但但當(dāng)當(dāng)時時 1 p，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 p；當(dāng)當(dāng)時時 1 p，級級數(shù)數(shù)收收斂斂 p. . , 11)1(1limlim1 ppnnnnnnuu例例 5 5判判定定下下列列正正項項級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: : 解解：nnnuu1lim nnn332lim1 nnnnn3tan23tan

9、2lim11 , 132 級級 數(shù)數(shù) 13tan2nnn收收 斂斂 . . ;3tan2 ) 1 (1 nnn （2 2） 155nnn； 解解：nnnuu1lim nnnnn5)1(5lim551 , 15)1(5lim5 nnn解解： nnnnnnnxnnxnuu)( ! )1( ! 1limlim11 當(dāng)當(dāng) ex ，即即1 ex時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂； 當(dāng)當(dāng)ex ，即即1 ex時時，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 當(dāng)當(dāng)ex 時時，比比值值法法失失效效. . ,)11( ,)11( enennn 有有且收斂于且收斂于,)11 (limexnxnn ) , 2 , 1 ( 1)11 ( nnennnnnxuuex)11 ( , 1 時時當(dāng)當(dāng). ; 0 )0( )( ! 1時時發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù)綜綜上上可可知知exexxnxn，nn 例例 7 7判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性. . 1)2(lnarctannnn發(fā)發(fā)散散. . , 12ln12ln)2(0 ;)2(lnarctan ) 1 (1 nnn（2 2）)0()1(1 anannn. . 當(dāng)當(dāng)1 a時時，級級數(shù)數(shù)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)1 a時時，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 當(dāng)當(dāng)1 a時時，根根值值判判別別法法失失效效. . 當(dāng)當(dāng)1 a時時，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)