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文檔簡介

1、 6.2 6.2 數(shù)數(shù) 項項 級級 數(shù)的判斂法數(shù)的判斂法12 正項級數(shù)及其判斂法正項級數(shù)及其判斂法 數(shù)數(shù)列列 ns單單調(diào)調(diào)增增加加. . 若若 ns有有界界,則則nns lim必必存存在在,從從而而 1nnu收收斂斂. . (1 1)若若 1nnv收收斂斂,則則 1nnu也也收收斂斂; (2 2)若若 1nnu發(fā)發(fā)散散,則則 1nnv也也發(fā)發(fā)散散. . 證證: (1 1)設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv的的部部分分和和分分別別為為nns 及及, 若若 1nnv收收斂斂,則則 n 有有界界,0 m即即,mn 使使得得. . 且且nnvu ), 2 , 1( n nnvu ), 2 , 1( n, m

2、snn , 從從而而 有有界界ns,故故 1nnu收收斂斂. . (2 2)用用反反證證法法. .若若 1nnv收收斂斂,則則由由(1 1)知知 1nnu收收斂斂, 這這與與 1nnu發(fā)發(fā)散散矛矛盾盾,故故 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 推論推論 設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv都是正項級數(shù),且都是正項級數(shù),且 nkkvunn , 0 ( n,) nn ,則,則 (1 1)若)若 1nnv收斂,則收斂,則 1nnu也收斂;也收斂; (2 2)若)若 1nnu發(fā)散,則發(fā)散,則 1nnv也發(fā)散也發(fā)散. . 而而 11nn發(fā)發(fā)散散,故故 11npn發(fā)發(fā)散散. . 例例 1 1 11 npnp級級數(shù)數(shù)討討論論的

3、的斂斂散散性性. . ppnns1211 xxxxnnppd1d11121 . ,1, ,11 1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù)ppnpnpnpnpxpxx111 111d11 常用等比級數(shù)和常用等比級數(shù)和p p 級數(shù)作為比較判別法的比較對象級數(shù)作為比較判別法的比較對象. . .111)11(1111 pnpp例例 2 2判定判定下下列列正正項項級數(shù)的斂散性:級數(shù)的斂散性: (1 1) 12)1(4nnn ; 解解:nnn252)1(4 ( , 2 , 1 n) , 而等比級數(shù)而等比級數(shù) 125nn收斂,收斂, 12)1(4nnn收斂收斂. . (2 2) 1)1(1nnn 解解:1

4、1)1(1 nnn( , 2 , 1 n) ,) , 而而 111nn發(fā)發(fā)散散, 1)1(1nnn發(fā)發(fā)散散. . 1 1 23nn收收斂斂而而, xn 證證:nnnvwu , nnnnuvuw 0, 1nnu與與 1nnv都收斂,都收斂, )(1 nnnuv收斂,從而收斂,從而)(1 nnnuw收斂,收斂, 1nnu與與)(1 nnnuw收斂,收斂, 11)(nnnnnnwuwu收斂收斂. . 定理定理1.41.4(比較準則比較準則) 設(shè)設(shè) 1nnu和和 1nnv均均為為正正項項級級數(shù)數(shù),且且 則則有有限限或或 , ) ( lvunnn lim(2 2)當(dāng))當(dāng)0 l,

5、且,且 1nnv收斂時,收斂時, 1nnu也收斂;也收斂; (3 3)當(dāng)當(dāng) l,且且 1nnv發(fā)發(fā)散散時時, 1nnu也也發(fā)發(fā)散散. . 對對02 l, nn, nn 時,有時,有 2 llvunn ,即,即232lvulnn , 從而從而)( 232nnvluvlnnn , 由由比比較較判判別別法法可可知知結(jié)結(jié)論論成成立立. . 證證: (1 1)lvunnn lim, (2 2)0lim nnnvu, 1 nnvu,)( nnvunn , 由由比比較較判判別別法法可可知知,當(dāng)當(dāng) 1nnv收收斂斂時時, 1nnu也也收收斂斂. . (3 3) nnnvulim,0lim nnnuv, 由由反

6、反證證法法及及(2 2)即即知知結(jié)結(jié)論論成成立立. . 對對1 , nn, nn 時時,有有 例例 4 4判判別別下下列列正正項項級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性 (1 1) 12sin1nnn 解解 對對級級數(shù)數(shù)的的通通項項先先作作分分析析: 12sin1nnn發(fā)發(fā)散散. . 當(dāng)當(dāng) n時時,n2sinn2,從從而而nn2sin1 n2. . (2 2)nnnn2ln1113 對對級級數(shù)數(shù)的的通通項項先先作作分分析析: 當(dāng)當(dāng) n時時,311 n31n,)21ln(2lnnnn n2, 從從而而nnn2ln113 342n. . 解解:212lim12ln11lim3434343 nnnnnnnn, n

7、nnn2ln1113 收收斂斂. . 而而 1341 nn收收斂斂, (3 3) 1ln nnn 解解: nnnnnnlnlim1lnlim, 而而 11 nn發(fā)發(fā)散散, 1ln nnn發(fā)發(fā)散散. . (1 1)當(dāng))當(dāng)時時 1 ,收斂收斂 1 nnu; 證證: (: (1 1)當(dāng))當(dāng)1lim1 nnnuu時,時, , 021 取取有有時時使使當(dāng)當(dāng)則則 , , nnnn , 1 nnuu 1 nnuu. 1 21 q ),( 1nnquunn 因此因此 由由比比較較判判別別法法和和級級數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì) 3 3 可可知知,級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. . ,1223 nnnuqquu, 12 nnqu

8、u即即,111 nkknknuqquu(2 2)當(dāng))當(dāng),)( 1lim1時時或或 nnnuu nn 必必, 使使時時當(dāng)當(dāng) nn ,有有 11 nnuu). ( 0 1nnuunn 這這表表明明當(dāng)當(dāng)nn 時時正正項項級級數(shù)數(shù)的的通通項項nu是是遞遞增增的的, 從從而而0lim nnu,故故 1nnu發(fā)發(fā)散散. . 但但當(dāng)當(dāng)時時 1 p,級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 p;當(dāng)當(dāng)時時 1 p,級級數(shù)數(shù)收收斂斂 p. . , 11)1(1limlim1 ppnnnnnnuu例例 5 5判判定定下下列列正正項項級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: : 解解:nnnuu1lim nnn332lim1 nnnnn3tan23tan

9、2lim11 , 132 級級 數(shù)數(shù) 13tan2nnn收收 斂斂 . . ;3tan2 ) 1 (1 nnn (2 2) 155nnn; 解解:nnnuu1lim nnnnn5)1(5lim551 , 15)1(5lim5 nnn解解: nnnnnnnxnnxnuu)( ! )1( ! 1limlim11 當(dāng)當(dāng) ex ,即即1 ex時時,級級數(shù)數(shù)收收斂斂; 當(dāng)當(dāng)ex ,即即1 ex時時,級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; 當(dāng)當(dāng)ex 時時,比比值值法法失失效效. . ,)11( ,)11( enennn 有有且收斂于且收斂于,)11 (limexnxnn ) , 2 , 1 ( 1)11 ( nnennnnnxuuex)11 ( , 1 時時當(dāng)當(dāng). ; 0 )0( )( ! 1時時發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù)綜綜上上可可知知exexxnxn,nn 例例 7 7判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性. . 1)2(lnarctannnn發(fā)發(fā)散散. . , 12ln12ln)2(0 ;)2(lnarctan ) 1 (1 nnn(2 2))0()1(1 anannn. . 當(dāng)當(dāng)1 a時時,級級數(shù)數(shù)收收斂斂;當(dāng)當(dāng)1 a時時,級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; 當(dāng)當(dāng)1 a時時,根根值值判判別別法法失失效效. . 當(dāng)當(dāng)1 a時時,級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)

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