第一講函數(shù)極限連續(xù)(改)

1、返回返回 第一講第一講 函數(shù)函數(shù) 極限與連續(xù)極限與連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)的概念及其性質(zhì)與運(yùn)算，函數(shù)、極限、連續(xù)的概念及其性質(zhì)與運(yùn)算， 是學(xué)習(xí)高等是學(xué)習(xí)高等亦是由初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁，亦是由初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁，有關(guān)它的內(nèi)容幾乎滲透在每一道試題中，有關(guān)它的內(nèi)容幾乎滲透在每一道試題中，考生不能忽視考生不能忽視. .數(shù)學(xué)的的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的的基礎(chǔ)，返回返回 一、考試要求一、考試要求二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題分析三、典型例題分析返回返回 一、考試要求一、考試要求1.1.理解函數(shù)的概念，理解函數(shù)的概念，2.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和

2、奇偶性3.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，4.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，5.5.理解極限的概念，理解極限的概念，6.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則. .理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及 函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系 了解反函數(shù)及隱函數(shù)了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念的概念了解初等函數(shù)的概念了解初等函數(shù)的概念. .掌握函數(shù)的表示法，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題會(huì)建立應(yīng)用問題 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系. . 返回返回 8.8.理解無

3、窮小量、無窮大量的概念，理解無窮小量、無窮大量的概念，9.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），10.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，7.7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法掌握無窮小量的比較方法，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型理解閉區(qū)間上理解閉區(qū)間上并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (有界性、最大值和最小值定理、介值定理有界性、最大值和最小值定理、介值定理) )，返回返回 會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)的表達(dá)式或函數(shù)值、會(huì)判別函數(shù)會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)的表達(dá)式或函數(shù)值、會(huì)判別函數(shù)1 1、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形2 2、理解極限的定義和它們的性質(zhì)、理解極限的定義和它們的性質(zhì)二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容的特性的特性( (主要是單調(diào)性、奇偶性、有界性主要是單調(diào)性、奇偶性、有界性) )數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例( (收斂數(shù)列的收斂數(shù)列的有界性有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系有極限的函數(shù)

5、的有極限的函數(shù)的局部有界性局部有界性與與局部保號(hào)性局部保號(hào)性) )(16(16個(gè)基本函數(shù)個(gè)基本函數(shù)) )返回返回 二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容( (一一) ) 關(guān)于函數(shù)關(guān)于函數(shù)2.2.會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達(dá)式會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達(dá)式(或函數(shù)值或函數(shù)值)3.3.會(huì)判別函數(shù)的特性會(huì)判別函數(shù)的特性(有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性)1.1.掌握掌握1616個(gè)基本函數(shù)的個(gè)基本函數(shù)的名稱名稱、表達(dá)式表達(dá)式、定義域定義域、值域值域、特征特征、圖形圖形. .返回返回 ( (二二) ) 關(guān)于極限關(guān)于極限要理解它的概念及性質(zhì)，要理解它的概念及性質(zhì)，并會(huì)求各種形式的極限并會(huì)求各種形

6、式的極限. .1 1、數(shù)列極限：、數(shù)列極限： 1 1）按自變量的變化趨勢(shì)分為六種：）按自變量的變化趨勢(shì)分為六種：2 2、函數(shù)極限：、函數(shù)極限：0 xx0 xx0 xxx x x 2 2）函數(shù)極限的定義及極限存在的充要條件）函數(shù)極限的定義及極限存在的充要條件. .返回返回 ,0,0( )f xa有axfxx)(lim0000(,)()xxxx當(dāng)或時(shí)，極限存在的充要條件：極限存在的充要條件：axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00左極限 :00lim( )()xxf xf x或右極限 :00lim( )()xxf xf x或返回返回 0, lim( )xf xa( ).f

7、xa恒有0,x,xx使當(dāng)時(shí)axfx)(lim,0,0x當(dāng)xx 時(shí), 有 axf)(lim( )xf xa,0,0x當(dāng)xx時(shí), 有 axf)(極限存在的充要條件：極限存在的充要條件：lim( )xf xa+lim( )lim( )xxf xf xa 返回返回 3)3)極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)( (數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例) )收斂數(shù)列的收斂數(shù)列的有界性有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系有極限的函數(shù)的有極限的函數(shù)的局部有界性局部有界性與與局部保號(hào)性局部保號(hào)性極限的極限的唯一性唯一性返回返回 0,m,00lim( )xxf x 00 xx當(dāng)時(shí)，(

8、)x ( )f xm有(,0 )x()xx當(dāng)時(shí)，)(lim)(0 xfxxx0()l()im)xxxf x 4) 無窮小與無窮大的定義無窮小與無窮大的定義lim( )0 xf x若，( )f xx 則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小.返回返回 無窮小的階無窮小的階lim0 (0), lim0,xx設(shè)若若limx,0,)0(clim0 ,0,kxck若稱稱 是比是比 的的高階高階無窮小，無窮小，稱稱 是比是比 的的低階低階無窮小無窮小稱稱 與與 是是同階同階無窮小無窮小稱稱 與與 的的等價(jià)等價(jià)無窮小，無窮小，稱稱 是是 的的 k 階階無窮小無窮小.( )o記作記作或定義定義：1c 特別當(dāng)，返回返回 常用的等價(jià)無

9、窮小常用的等價(jià)無窮?。? x 時(shí)，sin,xxtan,xxarcsin,xxarctan,xx211 cos,2xxln(1) ,xx1,xex(1)1(0)xx( ).xx則上述等價(jià)關(guān)系中可全換成0 x 當(dāng)時(shí)，sin(3 ) 3xx；x 當(dāng)時(shí)，11ln(1) xx如：如：( )0 xx若當(dāng)時(shí)，注記：注記：返回返回 ( (1111,2/3,4),2/3,4)0,x 已知當(dāng)時(shí)( )3sinsin(3 )kf xxxcx函數(shù)與是等價(jià)無窮小,()則(a)1,4(b)1,4kckc (c)3,4(d)3,4kckc c分析：分析：0,( )3sinsin(3 )kxf xxxcx當(dāng)時(shí)與是等價(jià)無窮小，0

10、0( )3sinsin(3 )limlimkkxxf xxxcxcx則1(可用可用 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 或或 泰勒公式泰勒公式 求求)返回返回 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限及兩個(gè)重要極限. .0sinlim1xxx1lim(1,)xxex10lim(1)zzze4)4)掌握極限運(yùn)算法則、掌握極限運(yùn)算法則、( (夾逼準(zhǔn)則與夾逼準(zhǔn)則與與與單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則) )(1)(1)求數(shù)列的極限常用方法有：求數(shù)列的極限常用方法有：夾逼準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則、或或 根據(jù)函數(shù)極限根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限. . 5)5)重點(diǎn)掌握求極限的方法重點(diǎn)

11、掌握求極限的方法單調(diào)有界準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則、 重要公式重要公式( (常用來證明數(shù)列收斂常用來證明數(shù)列收斂) )返回返回 2)2)求函數(shù)極限的常用方法：求函數(shù)極限的常用方法：(1)(1)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限; ;如：多項(xiàng)式與分式函數(shù)如：多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法代入法求極限求極限.(2)0 0型：2)2) 因式分解或根式有理化消去零因子法，因式分解或根式有理化消去零因子法，0sinlim1xxx3)利用第一個(gè)重要極限求，4)利用等價(jià)無窮小替換化簡(jiǎn)求極限利用等價(jià)無窮小替換化簡(jiǎn)求極限.(3)型：2)2)對(duì)多項(xiàng)式之比時(shí)分子、分母同除以它們中對(duì)多項(xiàng)式之比時(shí)分子、分母同除以它們中1)1

12、)用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則 ，1)1)用洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則 ，的最高次冪的最高次冪. .5)5)用泰勒公式用泰勒公式 ，返回返回 (4) 型：.通分根式有理化變量代0或或化為 或換型05) 0(型，0 .0將其中一個(gè)因子降到分母可化為 或001 0 (6) 等冪指形式未、型定式，、( )lim ( )v xxu xlim ( )ln ( )( )( )ln(lim (=lim()xv xu xv xu xv xxxeeu x一般的方法是：1 對(duì)型：1lim 1xxex也可利用第二個(gè)重要極限返回返回 ( )lim ( )v xxu x較簡(jiǎn)單的方法是：lim ( )( ( ) 1)xv x u

13、 xe(7) 利用無窮小性質(zhì)利用無窮小性質(zhì)(有界量與無窮小之積為無窮小有界量與無窮小之積為無窮小)求極限求極限;(8) 利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限.( )( ( ) 1)1( ) 1=lim (1( ) 1)v x u xu xxu x( (1111,2,4),2,4)1012lim_2xxx2特別對(duì)于1 型，返回返回 ( (三）關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性三）關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性 0)()(limlim0000 xfxxfyxx1) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及在區(qū)間內(nèi)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及在區(qū)間內(nèi)(上上)連續(xù)定義：連續(xù)定義：0( )yf xx在連續(xù)00lim( )(

14、)xxf xf x0000( )lim( )lim( )()xxxxf xxf xf xf x函數(shù)在處連續(xù)2) 函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義及分類函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義及分類. 函數(shù)間斷點(diǎn)函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)，等振蕩間斷點(diǎn)，等等等返回返回 21ln(1)_(1)(3)xyxxx的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù). .( (可見求初等函數(shù)的間斷點(diǎn)或連續(xù)區(qū)間，只要求定義域即可可見求初等函數(shù)的間斷點(diǎn)或連續(xù)區(qū)間，只要求定義域即可.).)如：如：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都

15、連續(xù)，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)，4) 4) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的條件條件與與結(jié)論結(jié)論。結(jié)論：結(jié)論：3) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 (四則、復(fù)合運(yùn)算等四則、復(fù)合運(yùn)算等)有界定理、有界定理、 最值定理最值定理 、零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 、 介值定理介值定理 .返回返回 三、典型例題分析三、典型例題分析(一一)關(guān)于函數(shù)（歸結(jié)為三個(gè)方面）關(guān)于函數(shù)（歸結(jié)為三個(gè)方面）1. 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域2. 討論函數(shù)的特性討論函數(shù)的特性3. 求函數(shù)的表達(dá)式求函數(shù)的表達(dá)式(或函數(shù)值或函數(shù)值)返回返回 例例1. 1. (88,1/2,5)(88,1/2,5)設(shè)設(shè),0)(,1)(,

16、)(2xxxfexfx且)(x)(2xe求求及其定義域及其定義域 . 解解:,e)(fx2xf)(xe)(x2由由x1得得,)1ln()(xx0,(x( )0,x及l(fā)n(1)0 x10 x由由返回返回 例例2 2： (90,3/4,03)(90,3/4,03) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)sin( )tan,xf xxxe則則f x( )是是 b(a)(a)偶函數(shù)偶函數(shù) (b) (b) 無界函數(shù)無界函數(shù) (c)(c)周期函數(shù)周期函數(shù) (d)(d)單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)分析分析:由sin2lim (tan)xxxx e ( ).f x知無界()(2)4nf xfn或22(2) 14ne ()n ( )f x知無界.或

17、用排除法或用排除法.返回返回 例例3 3： (04,3/4,04)(04,3/4,04)函數(shù)函數(shù)2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界 a(a)(-1,0) (b) (0,1) (c)(1,2) (d)(2,3)(a)(-1,0) (b) (0,1) (c)(1,2) (d)(2,3)分析分析:由2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx1sin(2)(1)(2)(2)xxxx1(1)(2)xx( 1,0)在內(nèi)，1(1)(2)xx1(2)(1)xx1,2( )( 1,0)f x所以在內(nèi)有界.返回返回 2sin(2)( )(1)(2)x

18、xf xx xx或或1lim( )xf x21sin(2)lim(1)(2)xxxx xx 1lim( )xf x2lim( )xf x2sin(2)(2)lim (1)(2)xxxxx xx ( )(0,1), (1,2), (2,3).f x故在內(nèi)均無界返回返回 例例4：( )f x滿足滿足, ,| |,( )a b cabf x為常數(shù),且試證為奇函數(shù)1( )( ),caf xbfxx證明：證明：1( )( ),afbf xcxx 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)fx1( )fx由上兩式消去得是奇函數(shù)是奇函數(shù). 1 ( )( ),caf xbfxx由得得221( )()acf xbcxxab221()ac

19、bcxxab( ),f x ( )f x設(shè)設(shè)返回返回 ( (二二) )求極限的方法與技巧求極限的方法與技巧關(guān)鍵：關(guān)鍵：1. 1. 求定式的極限的方法有：求定式的極限的方法有：(1)(1)代值法代值法(2)(2)運(yùn)算法則運(yùn)算法則(3)(3)無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)判別類型，判別類型，然后選擇相應(yīng)方法然后選擇相應(yīng)方法, 消除不定因素消除不定因素. 22lim(35)xxx例例1:223 25 2222lim3limlim5xxxxx323231lim34xxxx例例2:232( 3)1( 3)3( 3)410542(每年幾乎都考極限題每年幾乎都考極限題)返回返回 101lim1xxe求例例3:解：

20、解：101lim1xxe 故故101lim1xxe不存在不存在.0,101lim1xxe1,01limsinxxx又如又如:00lim0 xx ，1sinx有界11 0返回返回 2.2.未定式的極限未定式的極限0,0, 0,1 ,000 , 例例4：求下列極限：求下列極限220931) limxxx1320(1)12) limcos1xxx3200222299lim(93)xxxx16221lim93xx20213lim12xxx返回返回 201sincos4) limxxxxx201sincoslim( 1sincos)xxxxxxxx220011cos1sinlimlim22xxxxxxx

21、113.4242011sincoslim2xxxxx2200111sin2limlim22xxxxxx返回返回 arctan25) lim1xxx limx221limxxx111lim21xx211x21x思考思考: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) ?返回返回 6 6） tan30 limxxxeextan30limxxxeextan30(1)limxx xxe ex30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tanlim3xxx220lim3xxx13解解：型00返回返回 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限7).3cos2lim402x

22、xexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex44407()12limxxo xx解解:原式712返回返回 已知已知200( )ln1( )sin(2 )lim5,lim31xxxf xf xxx則解：解：0( )ln1sin(2 )lim31xxf xx20( )lim10ln 3xf xx0( )sin(2 )limln3xf xxx20( )lim2ln3xf xx5 例例5.返回返回 例例6.( )0 xx已知在點(diǎn)的某個(gè)今鄰域內(nèi)連續(xù)，0 x 在點(diǎn)處可導(dǎo)，(0)0,(0)16且，0040( ) lim.sin

23、xtxtu du dtx 求解：解：0040( )limsinxtxtu du dtx 0040( )limxtxtu du dtx 030( )lim4xxxu dux020( )lim4xxu dux0( )lim8xxx01( )(0)lim80 xxx1(0)82 返回返回 20sin2()limsinxxxtxdttxx304(sin) (sin)limxxxxxxx例例7：20sin22()lim1 cosxxxx201 cos4(1 1)lim3xxx222022(sin)lim2xxxxx43返回返回 設(shè)對(duì)同一變化過程設(shè)對(duì)同一變化過程 , , 為無窮小為無窮小 ,說明說明:無窮

24、小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)由等價(jià)可得極限運(yùn)算的下述規(guī)則可得極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若若 = o( ) , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價(jià)與且若,則例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則,limlim且.時(shí)此結(jié)論未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2-看低階看低階返回返回 (3)(3)乘除代替規(guī)則乘除代替規(guī)則: :,( )x若且極限存在或有界，則則)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132

25、210limxxxx例例1. 求01lim(arcsinsin)xxx解解: 原式原式 和差不能濫用和差不能濫用01lim(sin)xxx0返回返回 .125934lim22xxxxx2211439lim1152xxxxx54例例8：返回返回 推廣推廣1 1：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)推廣推廣2：分母同除以絕對(duì)值最大的項(xiàng)分母同除以絕對(duì)值最大的項(xiàng).”型，型， 則分子，則分子，若在某一過程中為若在某一過程中為“返回返回 例例9 9：2351) lim21xxxx235lim21xxxxxx3

26、51lim12xxxx2352) lim21xxxx1 02012235lim21xxxxxx2xx 351lim12xxxx1 020 12 2xx返回返回 ( (0000,1,5),1,5)1402sinlim1xxxexxe求解：解：因?yàn)?402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe434002sinlimlim1xxxxxeexxe0010 111402sinlim1xxxexxe14002sinlimlim1xxxxexxe2011 011所以 原式返回返回 2112(1) lim()11xxx2(2) lim(100)x

27、xxx例例9 9：求下列極限：求下列極限11lim(1)xx122100lim10011xx5011 2lim(1)(1)xxxx 2100lim100 xxxx返回返回 1 1）解：解：.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 01limln(cot)lnxxxe原式01limln(cot )lnxxx201csccotlim1xxxx0limcossinxxxx, 1 .1 e原原式式例例1010：求下列極限：求下列極限返回返回 2）1lnlim(arctan ).2xxx求1limln(arctan )ln2xxxe解解：原式1limln(arctan )ln2xxx2111arc

28、tan2lim1xxxx 21limarctan2xxxx22221 (1)2(1)lim11xxxxxx 221lim1xxx1 1e原式型00返回返回 3 3）10arctan lim.xxxx求10arctanlimxxxx01arctanlimlnxxxxe01arctanlim1xxxxe20arctanlimxx xxe20111lim2xxxe20111lim2xxxe20lim2(1)xxxe0e1解解：原式=10arctanlim xxxx2arctanarctan0arctanlim11x xxxx xxxx20arctanlimxx xxe)1( 或返回返回 3324)

29、lim(1)xxx32232lim (1)xxx2e25) lim()3xxxx(3)311lim(1)(1) 33xxxx1ee 2lim()3xxxx2(1)lim3(1)xxxx22332(1)lim3(1)xxxxx23eee返回返回 1lim(1).xxxe( )11.lim 1( )xxx推廣推廣: 1( )2. lim(1( )xxxezzz1)1 (lim01( )3.lim 1( )xxkx( )( )4.lim(1)sxakxbx公式公式ii：-基本型基本型, e, e,ke,k se111返回返回 ( (1111,3,10),3,10)012sin1limln(1)xxx

30、xx求極限( (1111,1,10),1,10)110ln(1)limxexxx求極限( (1111,2,10),2,10)20ln(1)d ( ).xttf xx已知函數(shù)0lim( )lim( )0,xxf xf x設(shè)試求的取值范圍.12e1312 返回返回 222 lim12nkkknnnn求2nknn22212kkknnnn2,1nkn2 limnnknn又lim11nkn, k2lim1nnkn2lim11nkn, k222 lim12nkkkknnnn解解:返回返回 2. 求1lim(12345 ) .nnnnnn解解:1(12345 )nnnnn5 15 5n由夾逼準(zhǔn)則可知1lim

31、(5 5 )nnlim55,n而1lim(12345 )5.nnnnnn5,因返回返回 ( (0606,1/2,12),1/2,12)例例. 110,sin1,2,. .nnnxxxxn設(shè)數(shù)列滿足lim.nnx存在，并求該極限()()證明證明211limnxnnnxx()()計(jì)算計(jì)算 nx數(shù)列(i) (i) 用歸納法證明用歸納法證明單調(diào)下降且有界單調(diào)下降且有界. .10 x210sinxx由由得得0nx，10sinnnxx設(shè)設(shè)則則1xnx返回返回 nx所以所以單調(diào)下降且有下界單調(diào)下降且有下界, , limnnxlimnnax，1sinnnxxsinaa0a ，lim0nnx故故存在存在. .記

32、記由由得得所以所以即即210sinlim()xxxx30cossinlim2xxxxxe因?yàn)橐驗(yàn)?()() 解法解法1:1:201sinlimln()xxxxe20lnsinlnlimxxxxe01cos1lim()2sinxxxxxe20sinlim6xxxxe16e返回返回 lim0nnx，22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx又由又由(i)(i)知知 所以所以210sinlim()xxxx0sinlim6xxxe解法解法2:2:故故 22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx210sinlim()xxxx16e因?yàn)橐驗(yàn)?3sinsin0si

33、nlim1x xxxx xxxxx30sinlimxx xxe20cos1lim3xxxe16e210sinlim()xxxx16e返回返回 (三三) 求極限的其它方法舉例求極限的其它方法舉例1、利用導(dǎo)數(shù)定義、利用導(dǎo)數(shù)定義例例13：（：（1）設(shè)）設(shè)( )fa存在，則存在，則0()()limxf axf axix（2）設(shè)）設(shè)( )f x可微，可微，22400( )(0)0,(0)1,( )(),lim.xxf xfff xtf xtdtx求()( )fa220430011()() 222limlim4xxxf uduf xxixx220(0)(0)1lim(0)44xfxffx返回返回 1lim

34、sin(0)n annixdxax求由定積分中值定理， ,n na 知，1sinn anxdxx使1sina1limsinn annixdxx1lim( sin)na1lim( sin)aa解：解：1sin()nan2、利用定積分定義或中值定理求、利用定積分定義或中值定理求.返回返回 ( (9898,1,6),1,6)23sinsinsinsin lim.111123nnnnnnnnn求1sinlim1nniinni分析：分析： 這是這是n項(xiàng)和式的極限項(xiàng)和式的極限, , 由于分母不同由于分母不同, ,一般用夾逼準(zhǔn)則一般用夾逼準(zhǔn)則. .返回返回 1sin1niinni1sinlim1nniinn

35、解：解：1sin1niinn1sin0niinn1sinlim0nniinn11limsinnniinn10sin()dxx21sinlim1nniinnnn11limsin1nnininnn101sin()dxx 101cos()x 2又又由夾逼準(zhǔn)則知由夾逼準(zhǔn)則知2原式返回返回 3 3、利用級(jí)數(shù)的收斂性求、利用級(jí)數(shù)的收斂性求. .lim_!nnbn分析：分析：0!nnbn考慮級(jí)數(shù)，1(1)!lim!nnnbnbn因?yàn)閘im1nbn01 ，0!nnbn所以收斂，0!nnbn從而收斂，lim0!nnbn故0!nnxn由(,)xex ，,0!nnbn知收斂或者或者0返回返回 3 3、極限的局部逆問

36、題、極限的局部逆問題220ln(1)()lim2,_ ,_xxaxbxabx設(shè)則分析：分析：00該極限必為型，220ln(1)()2limxxaxbxx01(2)1lim2xabxxx1a2012(1)lim2xbx1 22b 52b 01lim(2)01xabxx152例例.返回返回 例：例：, a b試確定正的常數(shù)， 使等式22001limsinxxtdtxbxat220lim1cosxxaxbbx1,220lim0 xxax而，0lim(1cos)1xbbxb 01b ，解：解：22001lim1.sinxxtdtxbxat成立返回返回 2201lim1 cosxxaxx于是2202li

37、m12xxaxx202limxax2a4a220lim1cosxxaxbbx1,返回返回 （四）關(guān)于無窮小的階（四）關(guān)于無窮小的階( (0707,1/2,04),1/2,04)0 xx當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是1( ) 1( ) ln( )11() 1 cos1xxaebcxdxx0 x當(dāng)時(shí)，1xe,x11x1,2x21()2x1 cosx分析：分析：返回返回 0 x20cos,xt dt20tan,xtdtdttx03sin,把把時(shí)的無窮小量時(shí)的無窮小量排列起來，排列起來，（b b） (a(a) ) , ,使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是則

38、正確的排列次序是 ( (0404,1/2,04),1/2,04)(c(c) ) (d(d) ) 分析：分析：0 x時(shí)，2cos()x 1,2 tanxx 22,x321sin()2xx 32122xxxb只要比較它們的導(dǎo)數(shù)階的高低即可只要比較它們的導(dǎo)數(shù)階的高低即可.返回返回 ( (0909,1/2,04),1/2,04)20,( )sin()( )ln(1), ( )xf xxaxg xxbxa b當(dāng)時(shí)與是等價(jià)無窮小，則的值返回返回 ( (0202,1,1,0606) )( )0,f xx 設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(0)0,(0)0,ff 且( )(2 )(0)0af hbfhfhh若在時(shí)是比高階的無窮小, a b試確定的值.( (0202,2,2,0808) )( )0,f xx 設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(0)0,(0)0,(0)0.fff且123, 證明:存在惟一的一組實(shí)數(shù),0h 使得當(dāng)時(shí),2123( )(2 )(3 )(0)f hfhfhfh是比高階的無窮小.分析：分析：都是考查高階無窮小的定義，都是考查高階無窮小的定義，用洛必法則或