CH13高斯定理

1、13.413.4 真空中的高斯定理真空中的高斯定理本節(jié)內容：本節(jié)內容：1、電場線的定義和性質；、電場線的定義和性質；2、電場強度通量的概念和計算公式；、電場強度通量的概念和計算公式；3、高斯定理的內容、數學表達式和物理、高斯定理的內容、數學表達式和物理 意義；（意義；（重點重點）4、利用高斯定理計算特殊帶電體的電、利用高斯定理計算特殊帶電體的電 場。場。(重點重點)一、電場線（電力線）一、電場線（電力線）用矢量一點一點表示場強的缺點：用矢量一點一點表示場強的缺點：1）只能表示有限個點場強；）只能表示有限個點場強；2）場中箭頭零亂。）場中箭頭零亂。1 1）線上每一點切線方向表示該點場強的方向；）

2、線上每一點切線方向表示該點場強的方向；2 2）通過垂直于電力線單位面積的電力線數（電）通過垂直于電力線單位面積的電力線數（電力線密度）應等于該點的電場強度值。力線密度）應等于該點的電場強度值。曰曰規(guī)定：規(guī)定：規(guī)定：規(guī)定：1 1）線上每一點切向方向表示該點電場）線上每一點切向方向表示該點電場 強度的方向；強度的方向；2 2）通過垂直于電力線單位面積的電力）通過垂直于電力線單位面積的電力 線數（電力線密度）應等于該點的線數（電力線密度）應等于該點的 電場強度值。電場強度值。ndsndnndsde電力線有什么特點呢？電力線有什么特點呢？電力線特點：電力線特點：1）起于正電荷（或）起于正電荷（或“ ”

3、遠），止于負電荷遠），止于負電荷 （或（或“ ”遠）。遠）。2）任何兩條電力線不能相交。）任何兩條電力線不能相交。3）電力線越密的地方，場強）電力線越密的地方，場強 越大；電力線越越大；電力線越 疏的地方，疏的地方， 場強越小。場強越小。1ae2ae電力線作用有電力線作用有：說明場強的方向；說明場強的方向；說明電場的強弱；說明電場的強弱；說明電場的整體分布。說明電場的整體分布。ndsndnndsde二、電場強度通量（電通量）二、電場強度通量（電通量）1）定義定義：通過某一面積的電力線數，叫通過：通過某一面積的電力線數，叫通過 這一面積的電通量。記為這一面積的電通量。記為“ e”。2）計算：計算

4、：a）均勻電場）均勻電場角時成與esneeses時：時：cosesesnees nes nn snndsde定義面積矢量定義面積矢量ss大?。好娣e大小大?。好娣e大小s方向：面積正法線方向；方向：面積正法線方向；面積有兩個面，規(guī)定一個面面積有兩個面，規(guī)定一個面為正面，則另一面則為負面。為正面，則另一面則為負面。角時成與escosesesne建立面積矢量建立面積矢量s則電通量：則電通量：seesecos注意：注意：ese上的是n es nssn b）非均勻場）非均勻場 因各點場強不一樣。因各點場強不一樣。分割成許多小面元，任分割成許多小面元，任取一面元取一面元sdedesdesec）通過封閉曲面的

5、電通量）通過封閉曲面的電通量+sdese規(guī)定面積正法線規(guī)定面積正法線由曲面指向外由曲面指向外qseeesd例）在一球面內有一點電荷，求通過此球面的例）在一球面內有一點電荷，求通過此球面的 電通量。電通量。sdesdesedsrqs204sdsrq204022044qrrqqs注意：注意： 是球面上是球面上的電場強度的電場強度e+ +例例 真空中一立方體形的封閉面真空中一立方體形的封閉面, ,位于圖示位置。已知立方體邊位于圖示位置。已知立方體邊長為長為a =0.1=0.1m，空間的場強分布為：，空間的場強分布為：常數常數b b = 1000 = 1000 n/(c.m)。試求通過該閉合面的電場強

6、度通量。試求通過該閉合面的電場強度通量。0,zyxeebxeoxzyaaaa因為場強為沿因為場強為沿x方向的非均勻電方向的非均勻電場場. .因此因此, ,通過立方體上通過立方體上, ,下下, ,前前, ,后四個面的電場強度通量為零后四個面的電場強度通量為零. . 設通過左、右兩個平面的電設通過左、右兩個平面的電場強度通量分別為場強度通量分別為 和和1232111baabasese3222222baabasesecmnbababasee/.)(23333122111010002通過閉合面的總通量通過閉合面的總通量e 穿出任一閉合曲面的電通量穿出任一閉合曲面的電通量 等于該曲面等于該曲面內所包圍的

7、所有電荷的代數和除以內所包圍的所有電荷的代數和除以 ，而與，而與閉合面外的電荷無關。閉合面外的電荷無關。0三、高斯定理三、高斯定理sdese-+6q5q4q)(13210qqq例：例：s面內siseqsde012q+-+1q3q證明證明：1 1）僅有一個點電荷）僅有一個點電荷a）點電荷在）點電荷在s面內：面內：s+qenssdese0qsdensb）點電荷在）點電荷在s面外：面外：s+qesdese0+sesdenqqq, 2, 12 2）s s面內有面內有n n個電荷。個電荷。s s面外有面外有knnnqqq, 2, 1k k個電荷個電荷。s+1q-3q+2q5q-4q+sknsdeee)(

8、21ssde1snsde101qsdse2nsnsdesndse2knsknsde0nq02qniiq10100s+qe+-+-+1q-3q+2q5q-4q+從電力線性質看：從電力線性質看：3）s面內外有帶電體面內外有帶電體帶電體是點電荷帶電體是點電荷的集合。同樣可的集合。同樣可證明高斯定理的證明高斯定理的結論。結論。s+ + +q1定理證畢！定理證畢！e 穿出任一閉合曲面的電通量穿出任一閉合曲面的電通量 等于該曲面等于該曲面內所包圍的所有電荷的代數和除以內所包圍的所有電荷的代數和除以 ，而與，而與閉合面外的電荷無關。閉合面外的電荷無關。0面內siseqsde01面內siseqsde01e注意

9、：注意：1）高斯定理的數學表達式中）高斯定理的數學表達式中 是是s面內面內 外所有電荷在外所有電荷在s面上所產生的總場強。面上所產生的總場強。iq2）僅指僅指s面內的所有電荷的代數和。面內的所有電荷的代數和。s面面內外內外所有電荷在所有電荷在s面上面上產生的場強產生的場強s面內電荷代數和面內電荷代數和0iq21qq 3）0e當當時，時，面內有正電荷，并非面內有正電荷，并非一定僅一定僅只有正電荷只有正電荷s+-1q2qs0e當當時，時，面內有負電荷，并非面內有負電荷，并非一定一定僅有有負電荷僅有有負電荷0iq0e當當時，時，0iq21qq s+-1q2q面內siseqsde01面內凈電荷為零，但

10、面內凈電荷為零，但并非沒有電荷。并非沒有電荷。21qq +-1q2q4）靜電場是有源場）靜電場是有源場s當當s面內只有正電荷面內只有正電荷0e從從s面內發(fā)出正通量面內發(fā)出正通量+ +qe正電荷稱為正電荷稱為源頭源頭當當s面內只有負電荷面內只有負電荷0e從從s面內發(fā)出負通量（吸進通量）面內發(fā)出負通量（吸進通量）負電荷稱為負源頭（負電荷稱為負源頭（尾閭尾閭）s-3q-3q這種有源頭、尾閭的場稱這種有源頭、尾閭的場稱之為之為有源場有源場。高斯定理是。高斯定理是說明靜電場基本性質的方說明靜電場基本性質的方程。程。四、應用高斯定理計算場強四、應用高斯定理計算場強若某個電場可找到這樣的高斯面，高斯面上若某

11、個電場可找到這樣的高斯面，高斯面上的場強處處相等或分區(qū)域相等，則：的場強處處相等或分區(qū)域相等，則：面內sisqdse01coss面是一個簡單易求的曲面面積：面是一個簡單易求的曲面面積：ssidsqecos10內sqsicos10內這樣的高斯面通常應滿足這樣的高斯面通常應滿足：1）高斯面上的場強大小相等高斯面上的場強大小相等或分區(qū)域相等，其方向與面或分區(qū)域相等，其方向與面積正法線之間的夾角相同或積正法線之間的夾角相同或分區(qū)域相同。（或場強與面分區(qū)域相同。（或場強與面法線垂直，其通量為零法線垂直，其通量為零)ssidsqecos10內sqsicos10內n n esdeqs+ +2）高斯面是簡單而

12、又便于高斯面是簡單而又便于計算的平面或曲面。計算的平面或曲面。3）高斯面上的場強為所求。高斯面上的場強為所求。通常是具有某種對稱性通常是具有某種對稱性的電場的電場-軸對稱、球對軸對稱、球對稱、均勻場等。稱、均勻場等。例例1 1）求半徑為）求半徑為r r均勻帶電均勻帶電q q的球殼所產生電場的球殼所產生電場 的分布。的分布。+已知：已知：r、q)(re)(re求：求：解：解：1）分析對稱性）分析對稱性將電荷看成許多成對的點電荷將電荷看成許多成對的點電荷的集合的集合orrqdqdq+q其球內也一樣。其球內也一樣。+結論：結論： 是以是以o o為中心的為中心的球對稱電場。球對稱電場。+2）作半徑為）

13、作半徑為 的高斯球面的高斯球面rq+rsq依高斯定理：依高斯定理：內sisqsde01內sisqdse010cosqdses01qre0214)(re)( rrrrqre4)(20rrqre304)(或或+)(re)0(rr 3）作半徑為）作半徑為 r的高斯球面的高斯球面內sisqsde010cosdses0e)(4)0(020rrrrqrre)(rerrrsq例例2 2）一半徑為）一半徑為r r、均勻帶電、均勻帶電q q的球體，求其電場的球體，求其電場的分布。的分布。+rq+rq已知：已知：r、q)(re求：求：解解：1）對稱性分析：）對稱性分析：將球體看成許多薄球殼組成。將球體看成許多薄球

14、殼組成。+rq+結論：球內外都是球對稱分結論：球內外都是球對稱分 布。布。+rq+rsq2）作半徑為）作半徑為 的球面的球面r)( rr內sisqsde01由高斯定理：由高斯定理：內sisqdse010cosqdses01qre0214rrqre4)(20rrqre304)(或或)(resd+2）作半徑為）作半徑為 的球面的球面r)0(rr 內sisqsde01由高斯定理：由高斯定理：內sisqdse010cos30341rdses3302343414rrqre)(resdsrrq2）作半徑為）作半徑為 的球面的球面r)0(rr 30341rdses+ +rq)(resdr3302343414

15、rrqrerrqre430)0(4)(4)(3020rrrrqrrrrrqre)(rerr此題能用疊加原理求，你能求出嗎？此題能用疊加原理求，你能求出嗎？例例3 3）求無限大帶電平面的電場。設電荷面密度為）求無限大帶電平面的電場。設電荷面密度為 。已知：已知： ， 求：求：e解：對稱性分析；解：對稱性分析；+ 結論：是以面為對稱的場。與帶電面等距離的結論：是以面為對稱的場。與帶電面等距離的 兩平行平面處場強值相等。兩平行平面處場強值相等。+ 2）作垂直于帶電面的高斯圓柱面）作垂直于帶電面的高斯圓柱面依高斯定理：依高斯定理：內sisqsde0132133211sssssdesdesdesde2023322120sessesexos1s2s3s1s3s2ixxe20+已知：已知： 、r 求：求：)(ree解：對稱性分析：解：對稱性分析：例例4）求一無限長，單位長度帶電）求一無限長，單位長度帶電 的直圓柱帶電的直圓柱帶電 體的電場。體的電場。+結論：電場以結論：電場以中心軸線為對中心軸線為對稱。稱。s側側內sisqsde01以軸線為中心，作半徑為以軸線為中心，作半徑為r r的圓柱形高斯面的圓柱形高斯面s s2 2）依高斯