數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)PPT精選文檔

1、.1三角函數(shù)總復(fù)習(xí) .2xAysin知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).31. 1.角的概念的推廣角的概念的推廣（1）正角，負(fù)角和零角正角，負(fù)角和零角. .用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負(fù)角和零角，這樣角的大小就不再限于00到3600的范圍.（3）終邊相同的角，具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角終邊相同的角（包含角在內(nèi)）的集合為.Zkk,360（4）角在“到”范圍內(nèi)，指.3600（2）象限角和軸線角.象限角的前提是角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，這樣當(dāng)角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角，若角的終邊與坐標(biāo)軸重合，這個(gè)角不屬于任一象限，這時(shí)

2、也稱該角為軸線角.4一、任意角的三角函數(shù)1、角的概念的推廣角的概念的推廣正角正角負(fù)角負(fù)角oxy的終邊的終邊),(零角零角.5二、象限角：注注：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，則該角不是象限角。三、所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，構(gòu)成集合：|360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制）（弧度制）例1、求在 到 （ ）范圍內(nèi)，與下列各角終邊相同的角036002到1950122（）、19（ ）、34812913原點(diǎn)原點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸軸的非負(fù)半軸一、在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊 與 重合。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。.6

3、1 1、終邊相同的角與相等角的區(qū)別、終邊相同的角與相等角的區(qū)別終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。2 2、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別Zkkk2 ,2xyOxyOxyOxyO3 3、角的終邊落在、角的終邊落在“射線上射線上”、“直線上直線上”及及“互相互相垂直的兩條直線上垂直的兩條直線上”的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、終邊相同的角.7(1)與與 角角終邊相同的角的集合終邊相同的角的集合:1.幾類特殊角的表示方法幾類特殊角的表示方法 | =2k + , kZ. (2)象限角、象限界角象限角、

4、象限界角( (軸線角軸線角) )象限角象限角第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角:(2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角:2 (2k + 2k +2 , k Z 或或 2k - - 2k , k Z ) 23 一、角的基本概念一、角的基本概念.8軸線角軸線角x 軸的非負(fù)半軸軸的非負(fù)半軸: =k 360(2k )(k Z); x 軸的非正半軸軸的非正半軸: =k 360+180(2k + )(k Z); y 軸的非負(fù)半軸軸的非負(fù)半軸: =k 360+90(2k +

5、)(k Z); 2 y 軸的非正半軸軸的非正半軸: =k 360+270(2k + ) 或或 =k 360- -90(2k - - )(k Z); 23 2 x 軸軸: =k 180(k )(k Z); y 軸軸: =k 180+90(k + )(k Z); 2 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸: =k 90( )(k Z). 2k .9例2、（1）、終邊落在x軸上的角度集合：（2）、終邊落在y軸上的角度集合：（3）、終邊落在象限平分線上的角度集合：|,kkZ |,2kkZ |,42kkZ .10 例例1. 1.若若是第三象限的角，問(wèn)是第三象限的角，問(wèn)/2/2是哪個(gè)象限的是哪個(gè)象限的角角?2?2是哪個(gè)象限的角是哪

6、個(gè)象限的角? ? .11.D;.C;.B;.A)(22cos2cos)90( 1第四象限第四象限第三象限第三象限第二象限第二象限第象限第象限角屬于角屬于則則，角是第二象限且滿足角是第二象限且滿足設(shè)設(shè)年，上海年，上海例例 C點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):本題先由本題先由所在象限確定所在象限確定/2所在象限所在象限,再再/2的的余弦符號(hào)確定結(jié)論余弦符號(hào)確定結(jié)論.12例例1 求經(jīng)過(guò)1小時(shí)20分鐘時(shí)鐘的分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度：解：分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度48036060201例例2 已知a是第二象限角，判斷下列各角是第幾象限角 （1） （2）23評(píng)析：評(píng)析： 在解選擇題或填空題時(shí)，如求角所在象限，也可以不討論k的幾種情況，如圖所示利用

7、圖形來(lái)判斷.13四、什么是1弧度的角？長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角。OABrr2rOABr.14（3）角度與弧度的換算.只要記住，就可以方便地進(jìn)行換算. 應(yīng)熟記一些特殊角的度數(shù)和弧度數(shù). 在書寫時(shí)注意不要同時(shí)混用角度制和弧度制 rad1180180rad180130.571801rad（4）弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式. rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS.15度 弧度 003064543602120321354315065270231803602902、角度與弧度的互化角度與弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角

8、度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表.16 略解：解：例3已知角和滿足求角的范圍.43,07,44312解：.,.33例例4 4、 已知扇形的周長(zhǎng)為定值100，問(wèn)扇形的半徑和圓心角分別為多少時(shí)扇形面積最大？最大值是多少？.625)25(50)2100(212122rrrrrlrS)(2,50,25radrllr扇形面積最大值為625. .17例例7.7.已知一扇形中心角是已知一扇形中心角是，所在圓的半徑是，所在圓的半徑是R. R. 若若6060，R R10cm10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積所在的弓形面積. . 若扇形的周長(zhǎng)是一定值若扇形的周長(zhǎng)是一定

9、值C C( (C C0)0)，當(dāng)，當(dāng)為多少為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值? ?并求出這一最并求出這一最大值大值? ? .18 解：（解：（1）設(shè)弧長(zhǎng)為）設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為，弓形面積為S弓弓。 1060,10,()33Rlcm 22110131010sin6050)23232SSScm 弓扇（）（2）扇形周長(zhǎng)扇形周長(zhǎng)C=2R+l=2R+Rrrclrs)2(212120cr .19注意：（1）圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長(zhǎng)的圓叫單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中引進(jìn)正弦線、余弦線和正切線 .20 三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)線三角函數(shù)線正弦函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切

10、函數(shù)正弦線正弦線MP 正弦、余弦函數(shù)的圖象正弦、余弦函數(shù)的圖象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函數(shù)線是函數(shù)線是有有向線段向線段！余弦線余弦線OM正切線正切線AT.21 為第二象限角時(shí)為第二象限角時(shí) 為第一象限角時(shí)為第一象限角時(shí) 為第三象限角時(shí)為第三象限角時(shí) 為第四象限角時(shí)為第四象限角時(shí) .2210）函數(shù)函數(shù)y=lg sinx+ 的定義域是的定義域是（A）（A）x|2kx2k+ (kZ)（B）x|2kx2k+ (kZ)（C）x|2kx2k+ (kZ)（D）x|2kx2k+ (kZ)21cosx3323.23三角函數(shù)線的應(yīng)用三角函數(shù)線

11、的應(yīng)用一、三角式的證明一、三角式的證明042、已知：角 為銳角， 試證：2sincos21、已知：角 為銳角， 試證：（1）sintan(2)1sincos2.244、在半徑為r的圓中，扇形的周長(zhǎng)等于半圓的弧長(zhǎng)，那么扇形圓心角是多少？扇形的的面積是多少？答：圓心角為-2，面積是2)2(21r5、用單位圓證明sian tan.(00 0,0) y=Asin(x+)(A0,0) 的圖象的對(duì)稱中心的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程和對(duì)稱軸方程.73)sin(xAyxysin00|)sin(xy1101)sin(xy)sin(xAyxysin1011xysin00|)sin(xy)sin(xAy.74) )

12、的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖. .A As si in n( (x x1 1. .五五點(diǎn)點(diǎn)法法作作函函數(shù)數(shù)y y的的思思想想. .看看圖圖說(shuō)說(shuō)話話3 3. . ) )的的圖圖象象. .A As si in n( (x x函函數(shù)數(shù)y y2 2. .通通過(guò)過(guò)圖圖象象變變換換得得到到時(shí) 的的思思想想. .代代點(diǎn)點(diǎn)看看趨趨4 4. . 勢(shì)勢(shì)求求解解析析式式注注意意sin()yAxB 函數(shù)系列要求：sin()yAxB.75例例3、不通過(guò)求值，比較、不通過(guò)求值，比較tan1350與與tan1380的大小。的大小。解：900135013802700又 y=tanx在x（900，2700）上是增函數(shù) tan13500,|0,

13、0)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，則有( )sin(xAy)32sin(3)62sin(3)3sin(3)6sin(3xyxyxyxy(A)(B)(C)(D).92yx03- 312127yx02-2- 4.93yx0-4234943434如圖：根據(jù)函數(shù)如圖：根據(jù)函數(shù)圖象圖象求它的解析式求它的解析式.94yx04432-2如圖：根據(jù)函數(shù)如圖：根據(jù)函數(shù)圖象圖象求它的解析式求它的解析式.95yx0112112如圖：根據(jù)函數(shù)如圖：根據(jù)函數(shù)圖象圖象求它的解析式求它的解析式.96yx0112112如圖：根據(jù)函數(shù)如圖：根據(jù)函數(shù)圖象圖象求它的解析式求它的解析式3.97yx根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足：

14、根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足： 使符合條件的使符合條件的 的角的角x有且只有一個(gè)，而且有且只有一個(gè)，而且包括銳角包括銳角ax sin)11( a4.11 已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，符合條件上，符合條件 的角的角x，叫做，叫做實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的反正弦，記作的反正弦，記作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 2,2 )11(sin aaxaarcsinaxarcsin 2,2 xxasin aarcsin的意義：的意義：首先首先 表示一個(gè)角，角的正弦值為表示一個(gè)角，角的正弦值為a ，即，即角的范圍是角的范圍是aarcsin2,2arcsin a)11( aa

15、a )sin(arcsin.984.11 已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角練習(xí)：練習(xí)：（1） 表示什么意思？表示什么意思？21arcsin表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那個(gè)角，即角的那個(gè)角，即角 ，2,2 216 21arcsin621arcsin 故故（2）若）若2,2,23sin xx，則，則x= 3)23arcsin( （3）若）若2,2, 7 . 0sin xx，則，則x=7 . 0arcsin.994.11 已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角aarccos的意義：的意義：首先首先 表示一個(gè)角，角的余弦值為表示一個(gè)角，角的余弦值為a ，即，即角的范圍是角的范圍是 aarc

16、cos, 0arccos a)11( aaa )cos(arccos根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足： 使符合條件的使符合條件的 的角的角x有且只有一個(gè)，而且有且只有一個(gè)，而且包括銳角包括銳角ax cos)11( ayx 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，符合條件上，符合條件 的角的角x，叫做，叫做實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的反余弦，記作的反余弦，記作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 , 0 )11(cos aaxaarccosaxarccos , 0 xxacos .1004、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值求角y=sinx , 的反函數(shù) y=arcsinx ,

17、2,2x 1 , 1xy=cosx, 的反函數(shù)y=arccosx, 0 x 1 , 1xy=tanx, 的反函數(shù)y=arctanx,)2,2(xRx已知角已知角x ( )的三角函數(shù)值求的三角函數(shù)值求x的步驟的步驟2 , 0 x先確定x是第幾象限角若x 的三角函數(shù)值為正的，求出對(duì)應(yīng)的銳角 ；若x的三角函數(shù) 值為負(fù)的，求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角根據(jù)x是第幾象限角，求出x 若x為第二象限角，即得x= ；若x為第三象限角，即得 x= ；若x為第四象限角，即得x=若 ，則在上面的基礎(chǔ)上加上相應(yīng)函數(shù)的周期的整數(shù)倍。1x1x1x1x12xRx反三角函數(shù)反三角函數(shù).101已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角x（

18、僅限于0，2 ）的解題步驟： 1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則求出對(duì)應(yīng)的銳角x0；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則求出與其絕對(duì)值相對(duì)應(yīng)的銳角x0 ；2、由函數(shù)值的符號(hào)決定角x可能的象限角；3、根據(jù)角x的可能的象限角得出0，2 內(nèi)對(duì)應(yīng)的角：如果x是第二象限角，那么可以表示為 x0如果x是第三象限角，那么可以表示為 x0如果x是第四象限角，那么可以表示為2 x0.102.寫出結(jié)果寫出結(jié)果. . （三）已知三角函數(shù)值求角（三）已知三角函數(shù)值求角”的基本步驟的基本步驟1、基本步驟、基本步驟.103這時(shí)這時(shí)sin(arcsina)=a 這時(shí)這時(shí)cos(arccosa)=a 這時(shí)這時(shí)tan(arctana)=a .104三、

19、兩角和與差的三角函數(shù)1 1、預(yù)備知識(shí)：兩點(diǎn)間距離公式、預(yù)備知識(shí)：兩點(diǎn)間距離公式xyo),(111yxp),(222yxp22122121)()(|yyxxpp),(21yxQ2 2、兩角和與差的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù) sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantantantan)tan(1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及變形的應(yīng)用及變形的應(yīng)用)tantan)(tan(tantan 1公式變形公式變形.1053 3、倍角公式、倍角公式2sinsinsin2 sincoscos2222sin112coscos2221sincos22tan12tanta

20、n222cos21cos22cos21sin2.106二、知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)（一）（一）兩角和與兩角和與差公式差公式 sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan（二）（二）倍角倍角公式公式 cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的變形如：注意2、公式成立的條件（使等式兩邊都有意義）.C：

21、S ：C2：S 2：T2：T：2sin.1073、倍角公式、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實(shí)質(zhì)上就是降冪的過(guò)程。特別注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實(shí)質(zhì)上就是降冪的過(guò)程。特別22cos1cos222cos1sin2返回和角公式的一個(gè)重要變形和角公式的一個(gè)重要變形cos,sin)sin(cossin222222baababxbaxbxa其中.108其其 它它 公公 式式(1)cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin2221、半角公式cos1cos12ta

22、n,2cos12cos,2cos12sinsincos1cos1sin2tan2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin22222、萬(wàn)能公式.109十二、兩角和與差的正弦、余弦、正切：():S():S():C():C()T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan注意： 、 的以及運(yùn)用和差公式時(shí)要會(huì)()T()T如：(),2()()2()(),2()36與互余， + 與互余44.110

23、22sincossin()abab十三、一個(gè)化同角同函數(shù)名的常用方法：22cos()ab如：sin3cos2sin()2cos()36sincos2sin()2cos()44例7、求 的值1tan151tan15十四、二倍角公式：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos121 2sin 22tantan21tan.11121coscos2221 cossin2221 cos2sin221 cos2cos2降冪（擴(kuò)角）公式降冪（擴(kuò)角）公式升冪（縮角）公式升冪（縮角）公式和差化積公式：和差化積公式：積化和差公式：積化和差公式：1sincossin()sin()21

24、cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 sinsin2sincos22coscos2sinsin22 sinsin2cossin22coscos2coscos22.112例例4化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2cos2cos21coscossinsin2222 解法1：從“角”入手，“復(fù)角”化為“單角”，利用“升冪公式”。) 1cos2)(1cos2(21coscossinsin222222原式21coscoscoscossinsin22222221cossincossinsin2222221cossin2221.113例例4化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2cos

25、2cos21coscossinsin2222 解法2：從“冪”入手，利用“降冪公式”。2cos2cos21)2cos1)(2cos1 (41)2cos1)(2cos1 (41原式2cos2cos21)2cos2cos1 (2121.114例例4化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2cos2cos21coscossinsin2222 解法3：從“名”入手，“異名化同名”。2cos2cos21cos)sin1 (sinsin2222原式2cos2cos212cossincos22)2cos21(sin2coscos22)22cos22cos1(2cos)2cos1 (2121.115例例4化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2cos2cos21

26、coscossinsin2222 解法4：從“形”入手，利用“配方法”。2cos2cos21coscossinsin2)coscossin(sin2原式2cos2cos212sin2sin21)(cos2)22cos(21)(cos221.116三角解題常規(guī)三角解題常規(guī)宏觀思路宏觀思路分析差異分析差異尋找聯(lián)系尋找聯(lián)系促進(jìn)轉(zhuǎn)化促進(jìn)轉(zhuǎn)化指角的、函數(shù)的、運(yùn)算的差異指角的、函數(shù)的、運(yùn)算的差異利用有關(guān)公式，建立差異間關(guān)系利用有關(guān)公式，建立差異間關(guān)系活用公式，差異轉(zhuǎn)化，矛盾統(tǒng)一活用公式，差異轉(zhuǎn)化，矛盾統(tǒng)一.117微觀直覺微觀直覺1、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化；、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化；2、見切割，

27、想化弦；個(gè)別情況弦化切；、見切割，想化弦；個(gè)別情況弦化切；3、見和差，想化積；見乘積，化和差；、見和差，想化積；見乘積，化和差；4、見分式，想通分，使分母最簡(jiǎn)；、見分式，想通分，使分母最簡(jiǎn)；5、見平方想降冪，見、見平方想降冪，見“1cos”想升冪；想升冪；6、見、見sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、見、見sincos或或9、見、見coscoscos，先運(yùn)用，先運(yùn)用sin+sin=pcos+cos=q8、見、見a sin+b cos，想化為，想化為 的形式的形式若不行，則化和差若不行，則化和差10、見、見cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘想乘 想兩邊平方或和差化積想兩邊平方

28、或和差化積)sin(22basin22sincos2sin22sin2.118 總結(jié)： 多種名稱想切化弦；遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系數(shù)轉(zhuǎn)換； 多角湊和差倍半可算； 難的問(wèn)題隱含要顯現(xiàn)； 任意變?cè)稍囂刂邓悖?求值問(wèn)題縮角是關(guān)鍵； 字母問(wèn)題討論想優(yōu)先； 非特殊角問(wèn)題想特角算； 周期問(wèn)題化三個(gè)一再算； 適時(shí)聯(lián)想聯(lián)想是關(guān)鍵！.119【解題回顧解題回顧】找出非特殊角和特殊角之間找出非特殊角和特殊角之間的關(guān)系的關(guān)系,這種技巧在化簡(jiǎn)求值中經(jīng)常用到，這種技巧在化簡(jiǎn)求值中經(jīng)常用到，并且三角式變形有規(guī)律即堅(jiān)持并且三角式變形有規(guī)律即堅(jiān)持“四化四化”：多角同角化多角同角化異名同名化異名同名化切割

29、弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化.120公式體系的推導(dǎo)：公式體系的推導(dǎo)：首先利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)首先利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo) ，()C然后利用換元及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，以然后利用換元及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，以 為中心為中心推導(dǎo)公式體系。推導(dǎo)公式體系。()C()C()C()S()S()T()T2S2C2T用 替換用替換用 替換用替換用 替換用替換相 除相 除相除.121sin+cos=1222222222222222sin coscossinsin1 cos2coscossin1 tsincoscos1 sin(cossin )sincos1 cossinsinsincoscoscosco

30、ssin sin( 21-21-（同位素）1-；，（1-）（1+）=（異構(gòu)體）（1-）（1+）=（=tan ）（形變）22an21 tantan()4.122cossin1 sin2cos21 cossin21 sin2cos2cossin1 sin2cos21 cossin421 sin2cos24tan ()tan ;tan()()tan()1-1+（合分比）異構(gòu)異構(gòu)二【述評(píng)】二【述評(píng)】1 1、變?yōu)橹骶€，抓好訓(xùn)練。變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換（恒等）、變?yōu)橹骶€，抓好訓(xùn)練。變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換（恒等）、三角函數(shù)名的變換（誘導(dǎo)公式）、三角函數(shù)次數(shù)的變換（升、

31、降冪公式）、三角函數(shù)三角函數(shù)名的變換（誘導(dǎo)公式）、三角函數(shù)次數(shù)的變換（升、降冪公式）、三角函數(shù)表達(dá)式的變換（綜合）等比比皆是。在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變化意識(shí)是關(guān)鍵。但題目不可以表達(dá)式的變換（綜合）等比比皆是。在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變化意識(shí)是關(guān)鍵。但題目不可以太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌握課本中常見問(wèn)題的解法，把課本中的太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌握課本中常見問(wèn)題的解法，把課本中的習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。2 2、基本解題規(guī)律：觀察差異（角或函數(shù)或運(yùn)算）、基本解題規(guī)律：觀察差異（角或函數(shù)或運(yùn)算） 尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方

32、法或技巧）尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因）分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因） 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。.1231、值域與最值問(wèn)題1sin2sin)2();tan(sin) 1 (xxyxy求求函函數(shù)數(shù)的的值值域域：利用有界性，求其值域，求其值域其中其中已知函數(shù)已知函數(shù)0cossin2siny化二次函數(shù)型的的值值域域求求函函數(shù)數(shù)xxycos3sin2運(yùn)用合一變換的的值值域域求求函函數(shù)數(shù)xxxxy22cos3cossin2sin換元.124十七、：主要是將式子化成的形式，再利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的求解。例10、求函數(shù) 的值域2cossin cosyxxx有時(shí)還要運(yùn)用

33、到 的關(guān)系sincossincosxxxx與.1252、對(duì)稱性問(wèn)題3、奇偶性與周期性問(wèn)題xxyxyxycossin3sin224tan1）（）（）（求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：注意絕對(duì)值的影響化為單一三角函數(shù).,82cos2sin)3(.,21sin)2(.)32cos(5) 1 (axxaxyxyxy求求對(duì)對(duì)稱稱圖圖像像關(guān)關(guān)于于直直線線如如果果函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)值值寫寫出出是是偶偶函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)稱稱軸軸方方程程的的圖圖像像的的對(duì)對(duì)稱稱中中心心和和對(duì)對(duì)求求函函數(shù)數(shù).1264、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間32sin)2(tan) 1 (:xyxy求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間復(fù)后函數(shù)單

34、調(diào)性注意負(fù)號(hào)的處理.32sinlog2 . 0性性、周周期期性性、奇奇偶偶性性的的定定義義域域、值值域域、單單調(diào)調(diào)求求函函數(shù)數(shù)xy.1275、圖像變換問(wèn)題相位變換、周期變換、振幅變換).(,cos,21,8)()2(.)32sin(sin) 1 (xfxyxxfyxyxy求函數(shù)的圖像恰好得到橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的再把所得圖像上各點(diǎn)的個(gè)單位軸向右平移的圖像沿把函數(shù)的兩種方法的圖像的圖像變換為指出求函數(shù)解析式.), 0, 0()sin(達(dá)式達(dá)式的圖象如圖，求函數(shù)表的圖象如圖，求函數(shù)表AxAy.128例例4:已知函數(shù)已知函數(shù) 求：求：函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單增區(qū)間；函數(shù)的單增區(qū)間；,

35、cos3cossin2sin22Rxxxxxy解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22T得由,224222kxkZkkxk,883)(8,83Zkkk函數(shù)的單增區(qū)間為 應(yīng)用應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù).129例例4:已知函數(shù)已知函數(shù) 求：求： 函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值 及相應(yīng)的及相應(yīng)的x的值；的值； 函數(shù)的圖象可以由函數(shù)函數(shù)的圖象可以由函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)怎的圖象經(jīng)過(guò)怎 樣的變換得到。樣的變換得到。,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：解：xxxxxxy222co

36、s22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22,)(8,2242最大值時(shí)即當(dāng)yZkkxkxxy2sin2圖象向左平移圖象向左平移 個(gè)單位個(gè)單位8)42sin(2xy圖象向上平移圖象向上平移2個(gè)單位個(gè)單位)42sin(22xy 應(yīng)用應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù).130例例5：已知：已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2 ,222tan2解：解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos221tan32 21tan,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sinc

37、ossincos應(yīng)用：應(yīng)用：化簡(jiǎn)求值化簡(jiǎn)求值.131例1cos40sin50 (13tan10 )sin701 cos40化簡(jiǎn)：解: 3sin1013tan101cos10 2(cos60 cos10sin60 sin10 )cos102cos50cos10原式=1 cos402sin50 cos50cos40cos102sin70 cos202cos4012cos 202cos103sin10cos1022cos 202cos20.132 20cos)10tan31 (40cos50sin 22計(jì)算例 20cos)10tan31 (40cos40cos 2原式解 20cos)10tan32(

38、40cos2 20coscos1010cos)10sin310(cos40cos2o 20coscos1010cos)1030sin(240cos2o.133 20coscos1010cos40cos40sin240cos2o 20coscos1010cos40cos80sin2o)240cos1(10cos)40cos1 (10cos2.134_212cos412csc)312tan3(224cos12cos12sin212cos312sin324cos212csc)33(12cos12sin34484834481212342321 sinsinsin)cscsin(練習(xí)題練習(xí)題.1355s

39、in(),(0,)4134xx例2 (1)已知5sinsin(2)求證：2tan()3tan(2)已知求cos(),cos24xx(1)證明：5sinsin(2)5sin()sin()化簡(jiǎn)得：2sin()cos3cos()sin2tan()3tan5sin()cos5cos()sinsin()coscos()sin.136(2) 已知5sin(),(0,)4134xx求cos(),cos24xx解:()()442xxcos()4xsin()4x(0,)4x()(0,)44x5sin()413x12cos()413xcos2x120169513cos()24xsin(2 )2xsin2()4x2

40、sin()cos()44xx.137解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos應(yīng)用：化簡(jiǎn)求值應(yīng)用：化簡(jiǎn)求值322例例5.5.已知已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2 ,222tan2.138113sin2sin2,cos2cos2,23 例已知求tan( + )解：2（）（）2（）-（）sin2sin2sinsin （）（）（）-（ - ）2sin()cos()cos2cos2coscos （）（）（）-（- ）2cos()cos(

41、)1213 3tan(+ )=2.1392、解: 由1sinsin4兩邊平方得:221sin2sin sinsin1621coscos2由兩邊平方得:221cos2coscoscos42由2+2得:522(coscossinsin)16即52 2cos()16 所以27cos()32 由2 2得:22223cossin2(cos cossin sin ) cossin163cos22cos() cos216 3cos() () 2cos() cos() ()16 32cos()cos() 2cos()16 3cos()5.140cos36cos,sin2sin 1已知：例sin2sin解：由已

42、知得：cos36cos得：222222cos32sin2cossin.0的值、），求，（、.1413cos2)cos1(63cos2sin6222243cos2656,23cos或434,22cos或.142練習(xí) 已知11tan(),tan,(,0)27 求2tan()tan1tan()tan解:tantan()tan1tan()tan13tan(2)tan()tan()111tan,tan, ,(,0)37 3,4 045224 724T0AT.143.,200coscoscos, 0sinsinsin2值值求求且且、已已知知 由由條條件件有有解解 :coscoscossinsinsin :

43、兩兩邊邊平平方方相相加加得得1)coscossin(sin22 21)cos( ,20又又 3432或或 3432或或同同理理 ,20但但 .32 .144例15. （06陜西理17）已知函數(shù)f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR)（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求使函數(shù)f(x)取最大值的x的集合 6123.1453解：f(x) sin(2x ) 1 cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1函數(shù)f(x)的最小正周期T . 使函數(shù)f(x)取最大值的x的集合為x|x=k ,k Z 6123512366.146 5、已知、已知f(x)=

44、2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化簡(jiǎn)）化簡(jiǎn)f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函數(shù)，使函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。（3）在（）在（2）成立的條件下，求滿足）成立的條件下，求滿足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)當(dāng)當(dāng)= 時(shí)時(shí) f(x)為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 .147 2、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=sin(x+

45、)+sin(x- )+cosx+a(aR,a常數(shù)常數(shù))。（1）求函數(shù)）求函數(shù)f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x- , 時(shí)，時(shí)，f(x)的最大值為的最大值為1，求，求a的值。的值。6622解：（解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期最小正周期T=26663（2）x - , x+ - , f(x)大大=2+a a=-1622332.148例例3、求函數(shù)、求函數(shù) 的值域的值域. 2sin2cos2xxy解：解：1sin2sin2sin2cos22xxxxy2) 1(sinx又-1s

46、inx1原函數(shù)的值域?yàn)椋?4，變題：變題：已知函數(shù)已知函數(shù) （a為常為常數(shù)，且數(shù)，且a0），求該函數(shù)的最小值），求該函數(shù)的最小值. 21sinsin2xaxy當(dāng)當(dāng)-2 0時(shí)，時(shí)，a;2142minay當(dāng)當(dāng) -2時(shí)，時(shí)，a.21min ay.1493、函數(shù)函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時(shí)及此時(shí)f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 當(dāng)當(dāng)-1 1即即-2a2時(shí)時(shí) f(x)小小=- 2-a-1當(dāng)當(dāng)

47、1 即即a2時(shí)時(shí) f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a當(dāng)當(dāng) -1 即即a0函數(shù)函數(shù)y=-acos2x- asin2x+2a+bx0, ，若函數(shù)的值域?yàn)?，若函?shù)的值域?yàn)?5,1，求常數(shù)，求常數(shù)a,b的值。的值。32解：解：12676260621 )sin(, xxa 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5baxabaxxay 222222262321)sin()sincos( .1523、函數(shù)函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時(shí)及此時(shí)f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1

48、）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 當(dāng)當(dāng)-1 1即即-2a2時(shí)時(shí) f(x)小小=- 2-a-1當(dāng)當(dāng) 1 即即a2時(shí)時(shí) f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a當(dāng)當(dāng) -1 即即a-2時(shí)時(shí) f(x)小小=f(-1)=1 ).().().()(21241221222aaaaaaag.153（2）a=-1 此時(shí)此時(shí) f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大大=521213、函數(shù)函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時(shí)及此時(shí)f(x)的最大值的最大

49、值。21.154 5、已知、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化簡(jiǎn)）化簡(jiǎn)f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若0，求，求，使函數(shù)，使函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。（3）在（）在（2）成立的條件下，求滿足）成立的條件下，求滿足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)當(dāng)當(dāng)= 時(shí)時(shí) f(x)為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 .155例12

50、.（2006年天津文9）已知函數(shù)f(x)asinxbcosx（a，b為常數(shù)，a0，xR）在x 處取得最小值，則函數(shù)yf( x)的對(duì)稱中心坐標(biāo)是_ 434.156解：由 (ab) 化簡(jiǎn)得ab所以f(x) asin(x )，a0從而f( x) asinx，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為(k，0)，kZ.22422ab2342.157平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)向量的三種表示向量的三種表示表示表示運(yùn)算運(yùn)算向量加向量加法與減法法與減法向量的相關(guān)概念向量的相關(guān)概念實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)與向量向量 的積的積三三 角角 形形 法法 則則平行四邊形法則平行四邊形法則向量平行、向量平行、垂直的條件垂直的條件平面向量平面向量的基本定

51、理的基本定理平平面面向向量量向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用.158幾何表示 : 有向線段有向線段向量的表示字母表示 : aAB 、等坐標(biāo)表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)則則 AB = (x2 x1 , y2 y1)返回返回.1591.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.單位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共線向量:既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量1.有向線段有向線段 2.字母字母 3.有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)字母有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)字母長(zhǎng)度為零的向量長(zhǎng)度為零的向量(零向量與任意向量都平零向量與任意向量都平行行長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1個(gè)單位的向量個(gè)

52、單位的向量1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量2.零向量與任一向量平行零向量與任一向量平行長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量平行向量就是共線向量平行向量就是共線向量.160a向量的模（長(zhǎng)度）向量的模（長(zhǎng)度）1. 設(shè)設(shè) = ( x , y ),則則2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，則，則 ABa22yx 221221yyxx返回返回.16111,;(2)3,4,;(5)/ , / ,/ababABCDABCDab bcacac bcab 例：判斷下列各命題是否正確？（）則若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；（ ）若則四邊形是平

53、行四邊形；（ ）若則若則.162例例1 1：思考下列問(wèn)題：思考下列問(wèn)題：1 1、下列命題正確的是、下列命題正確的是（1 1）共線向量都相等）共線向量都相等 （2 2）單位向量都相等）單位向量都相等（3 3）平行向量不一定是共線向量）平行向量不一定是共線向量（4 4）零向量與任一向量平行）零向量與任一向量平行四、例題.163一、第一層次一、第一層次知識(shí)回顧知識(shí)回顧：1.向量的加法運(yùn)算OABOBABOA三角形法則OABCOCOBOA平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算),(),(2211yxbyxa設(shè)： 則 ba),(2121yyxx“首尾相接首尾連”.1642.向量的減法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算1）減法法則減法法則

54、：OABOBOABA2）坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算),(),(2211yxbyxa 設(shè)： 則 ba),(2121yyxx),(1212yyxx),(),(2211yxByxAAB 設(shè) 則 思考：思考：若 非零向量 ，則它們的模相等且方向相同。同樣 若：ba 2121yyxxba則,2211yxbyxa“同始點(diǎn)尾尾相接,指向被減向量”一、第一層次一、第一層次知識(shí)回顧知識(shí)回顧：.1651.向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算ABC AB+BC=三角形法則三角形法則OABC OA+OB=平行四邊形法則平行四邊形法則坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算:則則a + b =重要結(jié)論：重要結(jié)論：AB+BC+CA= 0設(shè)設(shè) a = (x1, y

55、1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC?,)2(?,)1(,:則四邊形是什么圖形則四邊形是什么圖形注babababADaAB.166DCDCDCACBADADBACAB)()()()(11）：（例DCDDBCCDBADAADBCAB)()()()(2）（.167實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 與向量與向量 的積的積定義定義：坐標(biāo)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算：其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長(zhǎng)或縮短！若若 = (x , y), 則則(x , y)= ( x , y)返回返回.168 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 （1）a與與b的夾角的夾角： （2）向量夾角的范圍）向量

56、夾角的范圍： （3）向量垂直）向量垂直：00 ，1800ab共同的起點(diǎn)共同的起點(diǎn)aOABbOABOABOABOAB.169（4）兩個(gè)非零向量的數(shù)量積：）兩個(gè)非零向量的數(shù)量積： 規(guī)定：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0a b = |a| |b| cos幾何意義：幾何意義：數(shù)量積 a b 等于 a 的長(zhǎng)度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘積。AabBB1OBAbB1aOBb(B1)AaO若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )則則a b= x1 x2 + y1 y2.1705、數(shù)量積的運(yùn)算律：、數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律：交換律：abba對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：對(duì)數(shù)乘

57、的結(jié)合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )(注意：注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足結(jié)合律)()( :cbacba即返回返回.1713.平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì) (1)ab ab0(2)ab|a|b|(a與與b同向取正，反向取負(fù)同向取正，反向取負(fù)) (3)aa|a|2 或或 |a|aa(4) (5)|ab|a|b| babacos4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1)設(shè)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)設(shè)設(shè)a起點(diǎn)起點(diǎn)(x1，y1),終點(diǎn)終點(diǎn)(x2，y2) 則則222221212121yxyxyyxxcos222121y-yx-xa.1725、重要定理和公式：、重要定理和公式：22)()(bababa2222)(b