有關彈簧問題中應用簡諧運動特征的解題技巧

1、有關彈簧問題中應用簡諧運動特征的解題技巧黃菊娣浙江省上虞市上虞中學312300 )彈簧振子的運動具有周期性和對稱性， 因而很容 易想到在振動過程中一些物理量的大小相等， 方向相 同，是周期性出現(xiàn)的； 而經(jīng)過半個周期后一些物理量 則是大小相等， 方向相反 但是上面想法的逆命題是 否成立的條件是： 此彈簧振子的回復力和位移符合 F kx（ x 指離開平衡位置的位移） ；選擇開始 計時的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移處， 若開始計時不是選擇在這些位置， 則結(jié)果就顯而易見 是不成立的在這里就水平彈簧振子和豎直彈簧在作簡諧運 動過程中應用其特征談一談解題技巧， 把復雜的問題 變簡單化， 從而消除學

2、生的一種碰到彈簧問題就無從 入手的一種恐懼心理一、彈簧振子及解題方法 在判斷彈簧振子的運動時間， 運動速度及加速度 等一些物理量時所取的起始位置很重要， 在解題方法 上除了應用其規(guī)律和周期性外， 運用圖象法解， 會使 問題更簡單化例 1 一彈簧振子做簡諧運動，周期為 T，則正 確的說法是（ ）A 若 t 時刻和 （t t）時刻振子運動位移的大 小相等，方向相同，則 t 一定等于 T 的整數(shù)倍B若 t時刻和（ tt）時刻振子運動速度大小 相等，方向相反，則 t 一定等于 T 的整數(shù)倍2C若 t T，則在 t 時刻和（ t t）時刻振子 運動的加速度一度相等D若 t T ，則在 t 時刻和（ t

3、t）時刻彈2簧的長度一定相等解法一：如圖 1為一個彈簧振子的示意圖， O 為平衡位置， B、 C 為兩側(cè)最大位移處， D 是 C、 O 間任意位置對于 A 選項，子由 D 運動到 B到 D ，振子兩次在當振再回D處位移大小、方向都相同，所經(jīng)歷的時間顯然不為對于 B 選項，當振子由圖1DCT，A 選項錯運動到 B 再回到 D，振子兩次在 D 處運動速度大小相等， 方向相反， 但經(jīng)過的時間不是 T ，可見選項 B 錯2 由于振子的運動具有周期性， 顯然加速度也是如 此，選項 C 正確對于選項 D，振子由 B 經(jīng)過 O 運動到 C 時，經(jīng) 過的時間為 T ，但在 B、C 兩處彈簧長度不等，選項2D

4、錯正確答案選 C 解法二：本題也可利用彈簧振子做簡諧運動的圖 象來解如圖 2所示，圖中 A點與 B、E、F、I 等點 的振動位移大小相等，方向相同由圖可見， A 點與 E、I 等點對應的時刻差為 T 或 T的整數(shù)倍； A 點與 B、 F 等點對應的時刻差不為 T 或 T 的整數(shù)倍， 因此選項 A 不正確用同樣的方法很容易判斷出選項B、 D 也不正確故只有選項 C 正確況確定兩時刻間的時間間隔跟圖周期2 的關系時，借助振動圖有 F kxmkF f maK M mmk Ff Ff maxmg 時 ，xxm a， xmax(M m)g例 3 （ 2004 年石家莊市試題）如圖所示， 一輕象可以較方便

5、而準確地作出判斷二、利用彈簧振子作簡諧運動過程中的位移、 能 量變化特征來巧解題例 2 物體 A 與滑塊 B 一起在光滑水平面上做簡 諧振動，如圖所示， A、 B 之間無相對滑 動，已知輕質(zhì)彈簧的 勁度系數(shù) k， A、 B的質(zhì)量分別 m和 M，則 A、B（看成一個振子）的回 復力由 提供，回復力跟位移的比為 ，物體 A 的回復力由 提供，其回復力跟位移的比 為，若 A、B 之間的靜摩擦因數(shù)為 ，則 A 、B間無相對滑動的最大振幅為 解析：因水平面光滑，平衡位置在彈簧原長處（ A B ）作為整體，水平方向只受彈簧彈力，故F Kx ，由牛頓第二定律得： F （M m）a ， ka x Mm對于 A

6、 物體，水平方向只受 B 對 A 的靜摩擦力 Ff，故 Ff即為 A的回復力 由于 A、B間無相對滑動， 所以任何時候 A 與 B的位移 x 和加速度 a 都相同，故彈簧的左端固定在 豎直墻上，右端與質(zhì)量為 M 的滑塊相連，組成彈簧 振子， 在光滑的水平面上做簡諧運動 當滑塊運動到 右側(cè)最大位移處時， 在滑塊上輕輕放上一木塊組成新 振子， 繼續(xù)做簡諧運動 新振子的運動過程與原振子 的運動過程相 比（ ） A新振子的最大速度比原振子的最大速度小 B新振子的最大動能比原振子的最大動能小 C新振子的振動周期比原振子的振動周期大 D新振子的振幅比原振子的振幅小 解析： 滑塊振動到最大位移處加放木塊，

7、相當于 增大滑塊質(zhì)量后從最大位移處由靜止釋放， 振動過程 中總能量不變， 振動過程中仍能恰好到達該位置， 即 振幅不變， 振子的最大彈性勢能不變 由簡諧運動中 機械能守恒， 故振子的最大動能不變， 但最大速度變 ?。ㄒ蛘褡淤|(zhì)量變大了） ，可見選項 A 對 BD 錯；又 由周期隨振子質(zhì)量增大而增大，故知選項 C 正確 注：若改為“當滑塊運動到平衡位置時， 在滑塊上輕輕 放上一木塊組成新振子”， 那由于碰撞使總機械能減小例 4 一根用絕緣材料制成的輕彈簧，勁度系數(shù) 為 k ，一端固定，另 一端與質(zhì)量為 m、帶 正電荷、電量為 q 的 小球相連，靜止在光 滑絕緣水平面上，當施加水平向右的勻強電場 E

8、 后， （如圖所示） 小球開始做簡諧運動， 關于小球的運動 有如下說法，正確的是 （填序號）球的速度為零時，彈簧伸長 qE/k； 球做簡諧運動的振幅為 qE/k； 運動過程中，小球的機械能守恒； 運動過程中， 小球動能改變量、 彈性勢能改變 量、電勢能改變量的代數(shù)和為零解析：由水平面光滑施加水平向右的勻強電場E，而 q 帶正電， 故平衡位置在原長右邊， 當 qE kx0（設此時彈簧伸長 x0）時， x0 Eq 此時球的速度最0k大，故 錯 彈簧原 長時速度 為 0，故振幅 x0 Eq ，正確 由簡諧運動的對稱性可知， 彈簧k 最大伸長量為 2x0 ，又由于電場力做功，所以機械能 不守恒，錯由動

9、能定理 W Ek2 Ek1Ek ，W W彈簧 W電場 ，故正確例 5 如圖所示，在光滑的水平面上，有一絕緣 的彈簧振子，小球帶 負電，在振動過程中 當彈簧壓縮到最短 時，突然加上一個沿 水平向左的恒定的勻強電場， 此后 （ ）A 振子的振幅將增大 B振子的振幅將減小 C振子的振幅將不變D 因不知電場強度的大小，所以不能確定振幅 的變化解析： 未加電場時， 振子的平衡位置在彈簧原長 處，振子的振幅大小為釋放處與彈簧原長處之間的距 離加電場后，振子平衡位置右移，振幅大小等于釋 放振子處與新的平衡位置間的距離， 可見加電場后振 子的振幅將增大，即選項 A 對注：若改為“振動未過程中當彈簧伸長到最長時

10、， 突然 加上一個沿水平向左的恒定的勻強電場”展開討論三、豎直彈簧振子作簡諧運動過程中應用其特征 巧妙解題，從而使復雜問題簡單化例 6 （2005 年海淀區(qū)試題）如圖所示，輕彈簧下端固定在水平地面上， 彈簧位于豎直方向，另一 端靜止于 B 點在 B 點正 上方 A 處，有一質(zhì)量為 m的物塊，物塊從靜止開始自由下落 物塊落在彈簧上， 壓縮彈簧， 到達 C 點時， 物塊的速度為零 如果彈簧 的形變始終未超過彈性限度， 不計空氣阻力， 下列判 斷正確的是（ ）A物塊在 B 點時動能最大B從 A 經(jīng) B 到 C，再由 C 經(jīng) B 到 A 的全過程 中，物塊的加速度的最大值大于 gC從 A 經(jīng) B 到

11、C，再由 C 經(jīng) B 到 A 的全過程 中，物塊做簡諧運動D如果將物塊從 B 點靜止釋放，物塊仍能到達 C點解析： 物塊與彈簧接觸后， 在彈力等于重力之前 仍向下做加速運動， 故物塊在 B 點的速度、 動能都未 能達到最大，可見選項 A 錯；若將物塊從 B 處由靜 止釋放， 則此時加速度最大為 g，由振動的對稱性知， 物塊下降到最低點時向上的加速度大小也為g，今從A 處釋放，到達 B 時已具有一定的初速度，故所能下 降的最低點肯定在由 B 釋放時所能達到的最低點之 下，彈簧向上的彈力大于由 B 處釋放時的情況， 此時 的加速度大于 g，即選項 B正確，且也知 D 錯誤；另 外，由于物塊在 A、

12、B 間運動時受恒定的重力作用， 不符合簡諧運動的動力學特征 F kx ，故其振動不 是簡諧運動，可見選項 C 錯誤答案： B例 7 勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧，下端掛一個質(zhì) 量為 m 的小球， 小球靜止時距地面高為 h，用力向下 拉小球，使小球與地面接觸， 而后從靜止放開小球 （彈 簧始終在彈性限度以內(nèi)） ，則 （ ）A球在運動過程中距地面的最大高度為2hB球在上升過程中彈性勢能不斷減小 C球距地面高度為 h 時，速度最大 D球在運動過程中的最大加速度是kh/m解析：首先證明其運動為簡諧運動，由平衡時 mgkx0（x0 為彈簧伸長量）和下拉 h 后 彈力 F1k（x0 h） ，（ 取 豎 直

13、向 下 為 正 ） 回 復 力F F1 mgk（x0 h） mg kh ，符合簡諧運動條件， 振幅為 x0 h x0 h ，由簡諧運動的對 稱性可知， A 正確球在上升過程中在彈簧恢復原長 之前彈性勢能減小， 但在彈簧原長時若小球還有向上 速度，小球?qū)⒗^續(xù)壓縮彈簧， 故 B 只是一種可能， 由 于一開始為平衡位置， 故 C 正確，由 F mamax ，故D 正確例 8 如圖所示，質(zhì)量為 m 的木塊放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡諧運 動，當振幅為 A 時，物體對彈簧的最 大壓力是物體重力的 1.5 倍，則物體對 彈簧的最小壓力是多大？要使物體在 振動中不離開彈簧，振幅最大為 A 的 多少

14、倍？球做簡諧運動的振幅為多少？解析：（ 1）當小球上下振動過程中， 三角架對水 平面的壓力最小為零， 則此時上下兩根彈簧對三角架 的作用力大小為 Mg ，方向向上，小球此時受彈簧的 彈力大小為 Mg ，方向向下，故小球所受合力為 （M m）g ，方向向下，小球此時運動到上面最高點 即位移大小等于振幅處 根據(jù)牛頓第二定律， 小球的 瞬時加速度的最大值為： am （M m）g ，加速度 mm 方向為豎直向下（2）小球由平衡位置上升至最高點時，上面的 彈簧（相當于壓縮 x）對小球會產(chǎn)生向下的彈力 kx， 下面的彈簧（相當于伸長 x）會對小球產(chǎn)生向下的彈解析：平衡位置處： mgkx0（x0 為彈簧壓縮

15、量） 最低點時彈力 F 1.5mg kx1，振幅 Ax1 x00.5mg ，由簡諧運動的對稱性可知，最高點時彈簧 k力 kx ，兩根彈簧對小球的作用力為 2kx ，故 x Mg ，2k 小時平衡位置處，上面彈簧（相當于伸長x0）對小球會產(chǎn)生向上的彈力 kx0，下面的彈 kx0 簧（相當于壓縮 x0）對 小球會產(chǎn) 生向上的 彈力 kx0 ， 2kx0 mg ，壓縮量為 x2A mg0.5mgk0.5mgk，物x0 m2kg ，故振幅 A x x0 (M m)g0 2k在彈簧問題中， 綜合運用運動學、 動力學和能的體在最高點時彈簧壓縮最小， 故對彈簧壓力最小， 所以最小壓力為 Fmin kx2 0.5mg 要使物體