聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像(精)

1、精品資料歡迎下載聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像一、已知兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 1、已知如圖1 所示，直線l 1 表示某機(jī)床公司一天的銷售收入與機(jī)床地的銷售量的關(guān)系，直線 l2 表示該公司一天的銷售成本與機(jī)床銷售量的關(guān)系。請(qǐng)根據(jù)圖像回答下面的問(wèn)題：（1）、當(dāng) x=1 時(shí)，銷售收入為萬(wàn)元，銷售成本為利潤(rùn)（收入 - 成本）為萬(wàn)元。（2）一天銷售件時(shí)，收入成本與銷售成本相等。萬(wàn)元，（3）直線l1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是。直線l2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是。（ 4）你能寫(xiě)出利潤(rùn) w 萬(wàn)元與銷售量 x 件之間的函數(shù)關(guān)系嗎？分析：解答這類函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的思路問(wèn)題可能會(huì)比較順利的獲

2、得求解。具體的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，0）和（ 2， 2）；直線 l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，1）和（ 2， 2）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式， 把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中， 求出函數(shù)的解析式。充分理解圖像交點(diǎn)的意義：此時(shí)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)自變量的值相等，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相等。會(huì)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小。解：因?yàn)?，直線 l 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因?yàn)?，直線l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 2），所以， 2=2 k1，所以， k1=1，即 y1=x ；因?yàn)?，直線

3、 l 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線l 2 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+1 ，精品資料歡迎下載又因?yàn)椋本€l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 2），所以， 2=2 k2+1，所以， k2=0.5 ，即 y2=0.5 x+1 ；所以，直線l 2 的解析式為：y2=0.5 x+1 ；所以，(1) 、當(dāng)x=1時(shí)， y1=x=1 （萬(wàn)元）； y2=0.5 x+1= 1.5（萬(wàn)元）；所以，當(dāng)x=1 時(shí)，銷售收入為1 萬(wàn)元，銷售成本為1.5 萬(wàn)元，利潤(rùn)（收入 - 成本）為 1-1.5=-0.5（萬(wàn)元）。（2）仔細(xì)觀察圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)一天銷售2 件時(shí)，收入成本與銷售成本相等。（3）根據(jù)上面的解答，

4、知道直線l 1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y1=x ；直線l2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y2=0.5 x+1；（4）根據(jù)利潤(rùn)=收入 - 成本的原理，所以，w= y1-y2=x- （ 0.5x+1 ） =0.5x-1。例 2、如圖2 所示，OA、BA分別表示甲、乙兩名學(xué)生運(yùn)動(dòng)的一次函數(shù)圖像。圖中s 和t 分別表示運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間，根據(jù)圖像判斷快者的速度比慢者的速度每秒快：(A) 2.5 米(B )2米 (C)1.5米(D) 1米分析：直線 OA 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0， 0）和（ 8， 64）；直線 BA 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，12）和（ 8，64）；并且直線 OA 是正比例函數(shù)， 直線 BA

5、 是一次函數(shù)， 利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)的解析式，x 的系數(shù)的差， 就是甲乙的速度的差。解：因?yàn)?，直線OA 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線OA 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因?yàn)椋本€ l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 8， 64），所以， 64=8k 1，所以， k1=8，即 y1=8x,也就是說(shuō)甲的速度是每秒8 米；因?yàn)?，直線 BA 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 12），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線BA 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+12 ，又因?yàn)?，直線 BA 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 8， 64），所以， 64 =8 k2+12 ，所以， k2=6.5 ，即 y2=6.5 x+12 ；所以，直線 BA 的解析式為： y2

6、=6.5 x+12,也就是說(shuō)乙的速度是每秒6.5 米；所以，甲乙的速度之差為 8-6.5=1.5（米）。所以，選擇 C。精品資料歡迎下載二、已知兩條直線交點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 3、如圖 3 所示，是甲、乙兩個(gè)彈簧的長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物系圖，當(dāng)所掛重物的質(zhì)量為1kg 時(shí)，甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈簧的長(zhǎng)度的差是分析：在這里，關(guān)鍵是理解圖像交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，當(dāng)彈簧掛重物的質(zhì)量等于交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，兩個(gè)彈簧的長(zhǎng)度是相等。從圖像上看出，甲、乙兩根彈簧圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，此時(shí)，兩根彈簧的長(zhǎng)度是相等的，所以，甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈簧的長(zhǎng)度的差是0.解：甲彈簧的長(zhǎng)度與乙彈簧的長(zhǎng)度的差是0.x（ kg

7、）之間的函數(shù)關(guān)。例 4、某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一國(guó)營(yíng)出租車公司其中的一家簽訂月租車合同，設(shè)汽車每月行駛x 千米，應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用是y1 元，應(yīng)付給出租車公司的月費(fèi)用是y2 元，應(yīng)付給出租車公司的月費(fèi)用是y1、y2 分別與x 之間的函數(shù)關(guān)系圖像( 兩條射線) 如圖，觀察圖象回答下列問(wèn)題：1. 每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)，租國(guó)營(yíng)公司的車合算？2. 每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？3.如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300 千米，那么這個(gè)單位租哪家的車合算分析：本題是考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖像的識(shí)圖能力，和解釋圖像所反映的實(shí)際生活問(wèn)題的意義的能力。在

8、這里，兩條圖像的交點(diǎn)，表示當(dāng)行駛1500 千米時(shí)，付給個(gè)體車主的月費(fèi)用和付給出租車公司的月費(fèi)用是相等的，除這個(gè)點(diǎn)外， 所要支付的費(fèi)用就不會(huì)再相等了。圖像在上，就意味著多支付費(fèi)用。只要理解了這些，本題的解答就顯得那么的容易了。此時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成為了判斷哪一種方式更合算的分界點(diǎn)。解：1）從圖像上，可以看出，當(dāng) x 1500 時(shí)， y1 y2。 所以當(dāng)每月行駛的路程在 x1500 千米的范圍內(nèi)時(shí)，租國(guó)營(yíng)公司的車合算。2、 從圖像上，可以看出，兩條圖像的交點(diǎn)，表示當(dāng)行駛1500 千米時(shí)，付給個(gè)體車主的月費(fèi)用和付給出租車公司的月費(fèi)用是相等的，所以每月行駛的路程等于1500 千米時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同。

9、3、 如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300 千米，因?yàn)?300 1500 ，根據(jù) 1）的意義可以知道租國(guó)營(yíng)公司的車合算。例 5、一條高速公路上，一輛轎車和一輛貨車沿相同的路線從程 y（千米）與時(shí)間 x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖A 地開(kāi)往B 地，所行駛的路5 所示，請(qǐng)你根據(jù)圖像，回答下面精品資料歡迎下載的問(wèn)題：（1）貨車比轎車早出發(fā)小時(shí)；轎車追上貨車時(shí)，行駛了千米；A 地到 B 地的路程是千米。（2）轎車追上貨車時(shí)，轎車行駛了小時(shí)。（3）轎車比貨車早到小時(shí)。分析：（1）貨車比轎車早出發(fā)的時(shí)間，從時(shí)間軸上的直線起點(diǎn)的差上找答案，貨車的起點(diǎn)橫軸上的坐標(biāo)為0，轎車在橫軸上的坐標(biāo)為 1，所以，

10、坐標(biāo)的差是1，也就是貨車比轎車早出發(fā)1 個(gè)小時(shí)；轎車追上貨車時(shí)， 行駛的路程， 就是看交點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值，看坐標(biāo)在 y 軸的正半軸上所對(duì)應(yīng)數(shù)值是 150，因此，轎車追上貨車時(shí)，行駛了150 千米；A 地到 B 地的路程，就是圖上點(diǎn)N 的縱坐標(biāo) 300，所以， A 地到 B 地的路程是 300 千；（2）貨車行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx ，根據(jù)圖像，知道圖像還經(jīng)過(guò)（5， 300），所以， 300=5k，解得： k=60 ，所以，函數(shù)的解析式為： y=60x ，設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（t， 150），所以， 150=60t，解得： t=2.5 ，即貨車行駛2.5小時(shí)，兩車相遇 ,

11、 由于貨車比轎車早出發(fā)1個(gè)小時(shí) , 所以 , 轎車追上貨車時(shí)，轎車行駛了1.5個(gè)小時(shí)；（3）設(shè)轎車的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b ，把 x=1 ， y=0 和 x=2.5 ， y=150 分別代入上式，得：k+b=0 ，2.5 k+b=150 ，解得： k=100， b=-100 ，所以，函數(shù)的解析式為：y=100x-100 ，當(dāng) y=300 時(shí)， 300=100x-100 ，解得： x=4，所以，轎車行駛?cè)逃脮r(shí)間為：4（小時(shí)），精品資料歡迎下載而貨車走完全程所用的時(shí)間為5 小時(shí)，所以，轎車比貨車早到1 個(gè)小時(shí)。解：答案略。三、隱藏兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問(wèn)題例 6、為迎接2008 年

12、北京奧運(yùn)會(huì)，某學(xué)校組織了一次野外長(zhǎng)跑活動(dòng)，參加長(zhǎng)跑的同學(xué)出發(fā)后，另一些同學(xué)從同地騎自行車前去加油助威。如圖5，線段 L1， L2 分別表示長(zhǎng)跑的同學(xué)和騎自行車的同學(xué)行進(jìn)的路程y（千米）隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，解答下列問(wèn)題：（1）分別求出長(zhǎng)跑的同學(xué)和騎自行車的同學(xué)的行進(jìn)路程y 與時(shí)間x 的函數(shù)表達(dá)式；（2）求長(zhǎng)跑的同學(xué)出發(fā)多少時(shí)間后，騎自行車的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)？（ 08年宜賓市）分析：解答這類函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的思路問(wèn)題可能會(huì)比較順利的獲得求解。具體的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（0，0）和（ 60， 10

13、）；直線 l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（20，0）和（ 40， 10）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式， 把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中， 求出函數(shù)的解析式。充分理解圖像交點(diǎn)的意義：此時(shí)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)自變量的值相等，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相等。解：因?yàn)椋本€l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因?yàn)?，直線l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 60， 10），精品資料歡迎下載所以， 10 =60 k 1，所以， k1= 1 ，即 y1= 1 x；66因?yàn)?，直線l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 20， 0），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線l2 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+b ，所

14、以， 20 k2+b=0又因?yàn)?，直線 l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 40， 10），所以， 10 =40k 2+b，所以， k2=0.5 ， b=-10 ，即 y2 =0.5x-10 ；所以，長(zhǎng)跑的函數(shù)解析式為：1x ,騎車的函數(shù)解析式為：1yyx 1062（ 2）因?yàn)椋T自行車的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)的意義就是兩隊(duì)相遇的意思，此時(shí)，坐標(biāo)的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)“同” ，即此時(shí)函數(shù)的橫坐標(biāo)相同，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相同，也就是求兩個(gè)y1 x函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得方程組：6，1 x 10y2解得： x=30,y=5, 即長(zhǎng)跑的同學(xué)出發(fā)了30 分鐘后，騎自行車的同學(xué)就追上了長(zhǎng)跑的同學(xué)。例 7、我邊防局

15、接到情報(bào)，近海處有一艘有一只可疑船只A 正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇B 追趕，如圖7 所示，在圖8 中，直線 l 1、 l 2 分別表示兩船相對(duì)于海岸的距離 s（海里）與追趕時(shí)間 t（分）之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：（ 1）哪條線表示 B 到海岸的距離與追趕的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系？（ 2） A 、 B 哪個(gè)的速度快？（ 3） 15 分鐘內(nèi) B 能追上 A 嗎？（ 4）如果一直追下去 B 能追上 A 嗎？（5）當(dāng) A 逃到離海岸12 海里的公海時(shí)，B 將無(wú)法對(duì)其進(jìn)行檢查，照此速度，B 能否在 A逃入公海前將其攔截？精品資料歡迎下載分析：解答這類函數(shù)圖像問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要能遵循如下的

16、思路問(wèn)題可能會(huì)比較順利的獲得求解。具體的思路為：寫(xiě)出圖像上能表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（ 0， 0）和（ 10，5）；直線l2 上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（ 0， 5）和（ 10，7）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式，把中的關(guān)鍵點(diǎn)分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的解析式。解：因?yàn)?，直線l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因?yàn)?，直線l 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 10， 5），所以， 5 =10 k1，所以， k1=0.5 ，即 y1=0.5 x；因?yàn)?，直線 l 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 5），不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，直線l 2 是一般地一次函數(shù)

17、，設(shè) y2=k 2x+5 ，又因?yàn)?，直線l 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 10， 7），所以， 7 =10 k2+5，所以， k2=0.2 ，即 y2=0.2 x+5 ；所以，直線 l 2 的解析式為： y2=0.2 x+5 ；所以，（1）因?yàn)?t=0 時(shí)， s=0 是 B 船的最大特點(diǎn)，所以，直線l 1 表示 B 到海岸的距離與追趕的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系；（ 2） A 、 B 哪個(gè)的速度快，有三種方法來(lái)判斷：比較 x 的系數(shù)大小：因?yàn)椋?B 的 x 的系數(shù)是 0.5 ， A 的 x 的系數(shù)是 0.2 ，所以， B 的速度快；精品資料歡迎下載比較等時(shí)間內(nèi)增量的大?。簩?duì)于 B 來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間t 從 0 增到 10

18、時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從0 增到 5，增量為5；而對(duì)于 A 來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)間t 從 0 增到 10 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從5 增到 7，增量為7-5=2 ，所以， B 的速度快；比較圖像的傾斜度：仔細(xì)觀察圖像不難看出B 的傾斜度大，所以， B 的速度快；評(píng)析：比較 x 的系數(shù)大小，系數(shù)大的速度大；比較等時(shí)間內(nèi)增量的大小，增量大的，速度大；比較圖像的傾斜度，與x 軸的夾角大的速度大。（3） 15 分鐘內(nèi) B 能追上 A 嗎？這一問(wèn)的意思，就是當(dāng)t=15 分時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較而者的大小。解：當(dāng)t=15時(shí)，y1=0.5 x=0.5× 15=7.5y2=0.2 x+5= 0.2 × 15+5=8 ；y1 y2，所以， 15 分鐘內(nèi) B 不能追上A ；（4）如果一直追下去B 能追上 A 嗎？這一問(wèn)，實(shí)際上就是問(wèn)你，這兩條直線是否有交點(diǎn)的問(wèn)題， 當(dāng)然，也就是直線是平行還是相交的問(wèn)題，只有當(dāng)函數(shù)的x 的系數(shù)相等時(shí)， 直線是平行的，否則，就一定相交，在這里x 的系數(shù)分別是0.2 和 0.5 ，所以，兩條直線一定相交，所以，一直追下去B 一定能追上A 。（5）當(dāng) A 逃到離海岸12 海里的公海時(shí)，B 將無(wú)法對(duì)其進(jìn)