中值定理與洛必達(dá)

1、 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理統(tǒng)稱統(tǒng)稱微分學(xué)中值定理微分學(xué)中值定理，它們?cè)诶碚撋虾蛻?yīng)它們?cè)诶碚撋虾蛻?yīng)用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的變值定理，它刻劃了函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。學(xué)習(xí)時(shí)，可借助于幾何圖形來幫助理學(xué)習(xí)時(shí)，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路，并解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路，并初步掌握應(yīng)用微分學(xué)中值定理進(jìn)行論證的初步掌握應(yīng)用微分學(xué)中值定理進(jìn)行論

2、證的思想方法。思想方法。本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以及曲線的性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以及曲線的性態(tài)（如單調(diào)性、凹凸性、漸進(jìn)線等）（如單調(diào)性、凹凸性、漸進(jìn)線等） 微分學(xué)中值定理微分學(xué)中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理）（羅爾定理、拉格朗日中值定理） 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 計(jì)算不定型極限計(jì)算不定型極限 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1. 中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理( rolle 1652 1719 法國(guó)法國(guó) )滿足滿足如果函數(shù)如果函數(shù))(xf上連續(xù)，上連續(xù)，在在,)1(ba內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，在在),()2(ba,)()()3(bfaf ，內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在在那

3、么那么)(),(baba .0)( f使使幾何意義：幾何意義： ab 為為 a , b 上連續(xù)曲線，且除上連續(xù)曲線，且除a, b 兩點(diǎn)外都有切線存在，兩端點(diǎn)縱標(biāo)相等，兩點(diǎn)外都有切線存在，兩端點(diǎn)縱標(biāo)相等，則在則在 (a , b) 中至少能找到一點(diǎn)，使這點(diǎn)對(duì)應(yīng)中至少能找到一點(diǎn)，使這點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)處的曲線上的點(diǎn)處的切線平行于切線平行于 x 軸軸。ab 1 xy08證：證： f (x) 在在 閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)，f (x) 在在 a, b 必有最大值必有最大值 m 及最小值及最小值 m,有兩種情況有兩種情況: (1) m = m ;(2) m m .(1) 若若 m = m ，則

4、則 m = f (x) = m ,f (x) 為常數(shù)，即有為常數(shù)，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 內(nèi)任一點(diǎn)都可取作內(nèi)任一點(diǎn)都可取作 ， m = m 時(shí)，定理必成立。時(shí)，定理必成立。(2) 若若 m m ， f (a) = f (b) ,m , m 中至少有一個(gè)不等于中至少有一個(gè)不等于 f (a) 或或 f (b),不妨設(shè)不妨設(shè) m f (a) , (設(shè)設(shè) m f (a) 同樣可證）同樣可證）又設(shè)又設(shè) 有有 f () = m, . 0)(),( fba要證要證 f (x) 在在( a, b ) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，存在，存在，xfxffx )()(lim)(0 xfxfx )()(lim

5、0 即即xfxfx )()(lim0 都有都有或或且無論且無論,00 xx).()(xff 由極限的保號(hào)性：由極限的保號(hào)性：,0)()(, 0 xfxfx 則當(dāng)則當(dāng))()(xff ;0)()(lim0 xfxfx ,0)()(, 0 xfxfx 當(dāng)當(dāng);0)()(lim0 xfxfx .0)()( ff只能只能存在，存在，要使要使可見在函數(shù)取到最大值與最小值的點(diǎn)處，可見在函數(shù)取到最大值與最小值的點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)等于其導(dǎo)數(shù)等于 0 。例：例：說明：說明：1. 羅爾定理的條件是充分的，但非必要的。羅爾定理的條件是充分的，但非必要的。2 yxo1 .。,0,10,sin)( xxxxf 雖不滿足條件雖不滿

6、足條件 (1)、(3)但仍存在但仍存在.0)(,2 f使使但若條件都不滿足，則但若條件都不滿足，則一定找不到定理中的一定找不到定理中的 。2.特別，當(dāng)特別，當(dāng) f (a) = f (b) = 0 時(shí)，時(shí)，rolle 定理定理 可簡(jiǎn)述為：可簡(jiǎn)述為：若若 f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在連續(xù)，在 ( a, b ) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則在函數(shù)的則在函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)之間，它的之間，它的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)至少有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn)（或一個(gè)（或一個(gè)根根）。）。例題討論例題討論例例1： 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù) f (x) = sin x在在 0， 上的正確性，并求出上的正確性，并求出 。證

7、：證：可導(dǎo)，可導(dǎo)，在在連續(xù)連續(xù)，在在), 0(,0sin)( xxf 0)()0( ff滿足羅爾定理?xiàng)l件，滿足羅爾定理?xiàng)l件，,cos)(xxf ,cos)( f2, 0cos)( 有有要使要使 f 羅爾定理成立。羅爾定理成立。), 0( 例例2：，設(shè)設(shè)xxxxfn 2122)(中至少有一個(gè)根。中至少有一個(gè)根。在在證明證明0, 10)( xf可導(dǎo)，可導(dǎo)，在在連續(xù)連續(xù)，在在)01(,01)( xf證：證：由由rolle定理，定理，至少存在至少存在)1( f)0, 1( 即即得得證證。，使使0)( f，若設(shè)若設(shè)14)12()(2 xxnxfn中至少有一個(gè)根。中至少有一個(gè)根。在在證明方程證明方程0,

8、10)( xf，0)0( f，設(shè)設(shè)14)12()(2 xxnxfn中至少有一個(gè)根。中至少有一個(gè)根。在在證明方程證明方程0, 10)( xf例例3：證：證：，作作xxxxn 2122)( 可導(dǎo)，可導(dǎo)，在在連續(xù)連續(xù)，在在則則) , 01(,01)( x ，0)0()1( 由由rolle定理，定理，至少存在至少存在)0, 1( ，使使0)( 14)12()(2 xxnxn 即即得證。得證。中至少有一個(gè)根中至少有一個(gè)根在在 ,0, 1 0)( xf設(shè))(xf在0， 1上可微， 對(duì)0,1上的每個(gè)x，有1)(0 xf，且1)( xf，證明方程xxf )( 在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)根。 xxfxf )()

9、(上連續(xù)，上連續(xù)，在在且由條件，且由條件，10)(xf, 0)0()0( ff，)1 , 0( ，使使0)( f內(nèi)有根。內(nèi)有根。至少在至少在即即)1, 0()(xxf 證：先證根的存在性：令證：先證根的存在性：令01)1()1( ff由零點(diǎn)定理，必有由零點(diǎn)定理，必有例例4：)(0)()(2121xxxfxf ，),(21xx ，使使01)()( ff，1)( xf再證唯一性：再證唯一性：有兩個(gè)根有兩個(gè)根 x1 與與 x2 , 即即設(shè)設(shè) f (x) = 0 在在 (0, 1)又又f(x) 在在 0, 1 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 (0, 1) 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理，必存在由羅爾定理，必存在但已

10、知但已知 f (x) = 0 只有一個(gè)小于只有一個(gè)小于1的正根。的正根。矛盾矛盾 !反證：反證：，有有若若0)()(21 xfxf；0)( f，若若0)()(21 xfxf0)( f由上述即知，由上述即知，則在則在 x1, x2 間有間有 ，使使則在則在 x1, x2 間有間有 ，使使以此類推。以此類推。 若若 f (x) 在在0, 1上有二階導(dǎo)數(shù)，且上有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (1) = 0，設(shè)設(shè) f (x) = x2 f (x)，試證在（，試證在（0, 1）內(nèi)至少存）內(nèi)至少存在一點(diǎn)在一點(diǎn) ，使，使, )()(2)(2xfxxxfxf .0)( f可導(dǎo)，可導(dǎo)，在在連續(xù)連續(xù)在在), 0(, 0)(1

11、1 xf 0)0( f使使, )1 , 0(1 ；0)(1 f例例5：證：證：f (x) 在在0,1連續(xù)連續(xù), 在在(0, 1)可導(dǎo)可導(dǎo)(由題意由題意),)1()1(ff 則由羅爾定理，則由羅爾定理，,0)0( f顯然顯然又由羅爾定理，又由羅爾定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( f使使這條件很特殊，若取消這條件，這條件很特殊，若取消這條件，ab 弦就不弦就不一定平行于一定平行于 x 軸，此時(shí)結(jié)論又如何？軸，此時(shí)結(jié)論又如何？)()(bfaf三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理（lagrange 1736 - 1813 法國(guó)）法國(guó)）羅爾定理中：羅爾定理中：拉格朗日中值定理拉格朗日中

12、值定理： 若函數(shù)若函數(shù) f (x)（1）在）在 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)， （2）在（）在（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，）內(nèi)可導(dǎo)， 則在（則在（a, b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：，使得： 而右端正是而右端正是ab弦的斜率弦的斜率 . abafbff )()()(abfafbf xabyoab12幾何意義：幾何意義：式式 可寫成可寫成:abxyoab12在上述條件下，曲線在上述條件下，曲線ab上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)，使使 ( , f () 處的切線平行于處的切線平行于 ab 弦。弦。abxyoab12顯然，羅爾定理顯然，羅爾定理 是是 l 定理定理 的特殊情況的特殊情況 ：弦弦 ab 平

13、行于平行于 x 軸。軸。曲線曲線ab與弦與弦ab交于交于a、b點(diǎn)，此處它們的點(diǎn)，此處它們的 ,ba axabafbfafy ，若取若取yxfx .0 ba （1）分析：）分析：這樣就要使兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，為此引進(jìn)這樣就要使兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，為此引進(jìn)希望能用羅爾定理來證，希望能用羅爾定理來證，輔助函數(shù)輔助函數(shù) (x) , 且要滿足且要滿足注意，弦注意，弦ab的方程：的方程：f (x) 為為曲線曲線ab上縱坐標(biāo)，上縱坐標(biāo)，y 為為弦弦ab上的縱坐標(biāo)。上的縱坐標(biāo)。差即為差即為0，即，即證：證：至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) axabafbfafxfx 0 a 且且 使使,ba ,0 ,abafbfxfx

14、（2）證：）證：作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)： f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導(dǎo)，）可導(dǎo)， (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導(dǎo)，）可導(dǎo)， ,b 則由羅爾定理，則由羅爾定理， ,0 abafbff 即即須掌握這種引進(jìn)輔助函數(shù)來證明須掌握這種引進(jìn)輔助函數(shù)來證明一些等式的方法。一些等式的方法。 ,0 abafbff 即即 ,abafbff )()()(abfafbf ,ba ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使使例：例： 設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 連續(xù)，在（連續(xù)，在（a, b）可導(dǎo)，）可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)證明存在一點(diǎn)分析：分析：由羅爾定理，存

15、在由羅爾定理，存在 ，作作xexfxf , 0 aeafaf 使使,ba , 0 f證明：證明：由條件知由條件知f(x) 在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 , 0)( bebfbf, )()(bfaf 0 ff即即 ,)(xxexfexfxf ，有有0)( efeff . ff 得證。得證。此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可采用采用反向演繹反向演繹的思維方式，多掌握一些函數(shù)的思維方式，多掌握一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，如的導(dǎo)數(shù)形式，如 ,)(lnxfxfxf ,xfxxfxfx 以下對(duì)拉格朗日中值定理（以下對(duì)拉格朗日中值定理（l

16、 l- -定理）作說定理）作說明，并導(dǎo)出它的其它一些形式。明，并導(dǎo)出它的其它一些形式。 bafbfaf 為：為： ,ab 1.說明：說明：),(),)()()(baabfafbf 定理中定理中又稱為又稱為拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式。 若若 a b , 即在即在 b, a 中，中，l 定理仍成立，定理仍成立，2.注意：此式并不是注意：此式并不是 式的反向，式的反向， 的范圍不同。的范圍不同。 10 aba ,aba 10 ba, 表示表示 ，或或ab, ba 由由aba 0ab 由由0 aab lagrange中值定理的另一些形式：中值定理的另一些形式：3.(1)aba 令令則有則有)()

17、()()(ababafafbf ).10( ),00( xx或或,xaxxb .)(xxaba 則則(2)設(shè)設(shè) x, x + x 為（為（a, b）內(nèi)任意兩點(diǎn)）內(nèi)任意兩點(diǎn),則則 f (x) 在在 x, x + x 或或 x + x, x 上上仍滿足仍滿足l 定理，定理，在在中令：中令： xxxfxfxxf )()()( ,)(xxxfy 即即).10( 式即稱為式即稱為有限增量公式有限增量公式。由此。由此 l 定理定理也稱為也稱為有限增量定理有限增量定理，或，或微分中值定理微分中值定理。xxxfxfxxf )()()( ,)(xxxfy 即即).10( 曾知曾知)(,)(xoxxxfy 從從l

18、 定理可得以下推論：定理可得以下推論： )( ,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)而而xyxxfdy xxf 即即 xxxf 而而只是只是y 的近似式，的近似式，是是y 的精確表達(dá)式，的精確表達(dá)式，它明確表達(dá)了函數(shù)增量與函數(shù)在某點(diǎn)它明確表達(dá)了函數(shù)增量與函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 ixcxf )(常數(shù)常數(shù)，任取任取ixx 21,，設(shè)設(shè)21xx 連續(xù)，連續(xù)，在在則則21,)(xxxf 可導(dǎo)，可導(dǎo)，在在21,xx定理：定理： ixxf 0(原已知常數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為原已知常數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為0，現(xiàn)逆命題也成立，現(xiàn)逆命題也成立)證：證：由由l 定理：定理：ixxf , 0)( .,)(ixcxf 21,xx )(1212x

19、xfxfxf ,0)( f0 )()(12xfxf 由由 x1, x2 的任意性，的任意性，（p. 129）（說明若兩個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)具有相同的（說明若兩個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)具有相同的導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)僅差一個(gè)常數(shù)）導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)僅差一個(gè)常數(shù)）, )()(xgxf 為常數(shù)。為常數(shù)。ccxgxf,)()( 推論推論 ：若若 f (x) , g (x) 在在 (a, b) 內(nèi)成立內(nèi)成立則在則在 (a, b) 內(nèi)內(nèi)證：證：),()()(xgxfxf 令令)()()(xgxfxf , 0 由定理由定理: f (x) = c,.)()(cxgxf即即 例題討論例題討論證證： .,1 , 0arcta

20、n)( 并求出并求出上的正確性上的正確性在在xxf ,10,1, 0)(可導(dǎo)可導(dǎo)，在在連續(xù)連續(xù)在在xf例例1：驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì) 滿足滿足 l 定理定理 的條件，的條件， ).01)( )0()1(,10 fff使使，)01)()0()1( fff由由2114 )01(110arctan1arctan2 14142 1 , 0 利用利用l 定理證明一些不等式：定理證明一些不等式：.sinsinyxyx 例例2：證明不等式證明不等式證：證：)(yx 即即,sin)(yxuuuf ，設(shè)設(shè)則則 f (u) 在在 x, y 連續(xù)，在連續(xù)，在( x, y ) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，由由l

21、 定理：定理： yx, ),()()()(xyfxfyf 使使; )(cossinsinxyxy 即即,xyu 即即);,(),(cossinsinyxxyxy 同理，同理，x y,),(xy )(cossinsinyxyx ,cossinsinyxyx , 1cos .sinsinyxyx ).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 可可導(dǎo)導(dǎo)，連連續(xù)續(xù)，在在在在則則babaxf,)(例例3：證明：證明：分析：分析：出現(xiàn)函數(shù)出現(xiàn)函數(shù) arctan x 在在a, b上的增量上的增量,用用 l定理定理 。由由l 定理：定理：使使),(ba , )(

22、)()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令證證 ：, )(11arctanarctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 可導(dǎo)，可導(dǎo)，連續(xù)，在連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)bxbxxf,)(00存在，存在，又設(shè)又設(shè))0()(lim00 xfxfxx)0()(00 xfxf例例4:則則 f (x) 在在 x0 處右導(dǎo)數(shù)存在處右導(dǎo)數(shù)存在, 且且)(lim0 xfxx （即導(dǎo)函數(shù)在左端點(diǎn)處的右極限值（即導(dǎo)函數(shù)在左端點(diǎn)處的右極限值該點(diǎn)右導(dǎo)

23、數(shù)值）該點(diǎn)右導(dǎo)數(shù)值）定理。定理。上滿足上滿足在在則則lxxxf,)(0 )10( ,)()()(0000 xxxfxxxfxf證：證： ，任取任取bxx,0 )0()(00 xfxf)(lim0 xfxx 要證：要證： )(lim)()(lim000000 xxxfxxxfxfxxxx )(0 xf )0(0 xf)0( 0得證。得證。=課外作業(yè)課外作業(yè)習(xí)題習(xí)題 3-1 （a）1, 2, 4, 6, 8, 10習(xí)題習(xí)題 3-1 （b）2, 3, 5, 6, 9, 10, 12而而弦弦ab的的斜斜率率為為 )()()()(agbgafbf abcyxf(b)f(a)g(a)g(b)g()四、柯西

24、中值定理四、柯西中值定理 (cauchy 1789-1857 法法國(guó)國(guó))若曲線若曲線ab: y = f (x) 用參數(shù)方程表示：用參數(shù)方程表示：,)()(xgxfdxdy 則曲線斜率則曲線斜率 ,)()(bxaxfyxgx若若曲曲線線上上某某點(diǎn)點(diǎn) c c（對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于參參數(shù)數(shù) x）的的切切線線欲欲平平行行于于弦弦ab，則則有有 與這一事實(shí)相應(yīng)的就是與這一事實(shí)相應(yīng)的就是柯西中值定理柯西中值定理： )()()()()( )( agbgafbfgfdxdyx abcyxf(b)f(a)g(a)g(b)g(),)()(xgxfdxdy 曲線斜率曲線斜率而而弦弦ab的的斜斜率率為為 )()()()(ag

25、bgafbf 柯柯西西中中值值定定理理：( ( p p. .1 13 31 1 ) ) 若若兩兩函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )，g g( (x x) ) 滿滿足足： ( (1 1) )在在 a a, ,b b 上上連連續(xù)續(xù)； ( (2 2) )在在（a a, ,b b）內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且 ;0)( xg 則則在在( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使得得 )()()()()()( gfagbgafbf 成成立立。 注意注意：柯西中值定理并不是分子分母分別：柯西中值定理并不是分子分母分別利用拉格朗日中值定理而得，如這樣，則利用拉格朗日中值定理而得，如這樣，則不不會(huì)是一

26、個(gè)會(huì)是一個(gè)，但柯西中值定理中的，但柯西中值定理中的是同一個(gè)是同一個(gè)。).10( , xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxg )(，1)(,)()( xgabagbg說明：說明： (1) 當(dāng)當(dāng) b a 時(shí)定理同樣成立，并仍有時(shí)定理同樣成立，并仍有(2)()()()()()( gfagbgafbf ),(ba 柯西中值定理主要用于證明計(jì)算極限的柯西中值定理主要用于證明計(jì)算極限的一個(gè)非常重要的法則一個(gè)非常重要的法則洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則。 此時(shí)即為此時(shí)即為 lagrange 中值定理。中值定理。2. 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型不定式型不定式”“”及”及“一、一、 00滿足滿足設(shè)設(shè))(),(xgxf定理：定理：;0)(,

27、0)()1(0 xgxfxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng),)()(),()2(0都存在都存在與與內(nèi)，內(nèi)，在在xgxfxu ;0)( xg且且;)()()(lim)3(0 或或axgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 則則證：證：,0)(, 0)(0 xgxfxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)則則 x 0 至多是至多是 f (x), g (x) 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn) 設(shè)設(shè) f (x0) = 0, g (x0) = 0,那么那么 f (x), g (x) 在在 x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 且且除除 x0 外外 f (x), g (x) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，由柯西中值定理由柯西中值定理)(

28、)(xgxf)()()()(00 xgxgxfxf )()( gf 之間，之間，與與在在xx0 ,00 xxx 時(shí)，時(shí)，且且. x0. x. x0. . )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 gfxx )()(lim0 gfx .)()(lim0 xgxfxx ( 或連續(xù)點(diǎn)或連續(xù)點(diǎn) )，.)()(lim)()(lim0000 xgxfxgxfxxxx ”“說明：說明：),()()(lim)1(0 或或若若axgxfxx；或或則則)()()(lim0 axgxfxx處連續(xù)，處連續(xù)，在在若若0)(),()2(xxgxf .)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 則則, 0)(

29、, 0)()3(0 xgxfxx時(shí)時(shí)，若若)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 則則 )()(lim0 xgxfxx”“00, 0)(0 xg滿滿足足洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則條條件件，)()(xgxf 同理同理,定理相仿。定理相仿。時(shí)，時(shí)，,0)(, 0)( xgxfx定理相仿。定理相仿。時(shí)，時(shí)，,)(,)(0 xgxfxx定理相仿。定理相仿。時(shí)，時(shí)，,)(,)( xgxfx)()(lim)(0 xgxfxxx 即對(duì)即對(duì)”，”，“00”“ )()(lim)(0 xgxfxxx例題討論例題討論求下列極限:axaxax sinsinlim. 11coslimxax ”“00aco

30、s .lnlnlnbaba xbaxxx 0lim. 2”“001lnlnlim0bbaaxxx .201120sin6lim0 xxx420536cos6lim. 3xxxx 0030206sin6limxxxx 20606cos6limxxx 20cos1101limxxx =xxxcotlnlim. 40 xxx20csc1lim 整理整理 xxx20sinlim . 0 0000axxln1lim )1, 0,(lim. 6 axaxx )1, 0(loglim. 5 axxax 1ln1lim xaxx 22)1()ln(lim xaaxx1lnlim xaaxx !)()( x!)

31、ln(lim xxaa = 0.)1, 0(loglim. 5 axxax )1, 0,(lim. 6 axaxx 0 由例由例5、6 可見，三個(gè)函數(shù)可見，三個(gè)函數(shù) a x , x , log a x當(dāng)當(dāng) x + 時(shí)都是時(shí)都是無窮大量無窮大量, 但它們趨于無但它們趨于無窮大的快慢程度不同。窮大的快慢程度不同。以以指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) a x 的速度最快，的速度最快，冪函數(shù)冪函數(shù) x 次之，次之，對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) log a x 最慢。最慢?？梢娨晃队寐灞剡_(dá)法則，則永遠(yuǎn)無結(jié)果?？梢娨晃队寐灞剡_(dá)法則，則永遠(yuǎn)無結(jié)果。 洛必達(dá)法則并不是萬能的，一旦做不下洛必達(dá)法則并不是萬能的，一旦做不下去必須改用其它方法

32、。去必須改用其它方法。xxaxlnlim= 0，xxnxlnlim, xexxlim. shxchxx limchxshxxlim. 7 chxshxxlim若用若用消去無窮因子消去無窮因子法：法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原式原式 原定理只說原定理只說存在等于存在等于a或或，則，則顯然極限不存在，顯然極限不存在，用洛必達(dá)法則無意義。用洛必達(dá)法則無意義。xxxxxcossinlim. 8 ?)( ,)()(lim 或或存在也等于存在也等于axgxf)()(limxgxf 問題：?jiǎn)栴}：也不存在嗎？也不存在嗎？不存在時(shí)不存在時(shí))()(lim,)()(limxgxfxg

33、xf 答：答：否否 ！xxxsin1cos1lim 0 0 極限不存在時(shí)只能說明洛必達(dá)法極限不存在時(shí)只能說明洛必達(dá)法則則失效失效，應(yīng)改用以前學(xué)的方法求極限。，應(yīng)改用以前學(xué)的方法求極限。xxxxxcossinlim. 8 xxxxxcos1sin1lim = 1 .xexx10lim. 9 001lim10 xxe 21x? xxex101lim yyey lim)(1yx yye1lim = 0. xxxxxx20sin)arcsin(cos2lim.10 30arcsinlim2xxxx 002203111lim2xxx 22201311lim2xxxx 1xxxx612/2lim220 2

34、016lim2xxxx .31 先適當(dāng)先適當(dāng)利用利用無窮小代換無窮小代換整理整理212lim11lim. 1121 xxxxx問題：?jiǎn)栴}：下列計(jì)算是否正確？應(yīng)如何計(jì)算？下列計(jì)算是否正確？應(yīng)如何計(jì)算？錯(cuò)錯(cuò),法法則則非非不不定定型型不不可可用用洛洛必必達(dá)達(dá)3162lim622lim1332lim. 222 nnnnnnnn數(shù)列極限不能直接使用洛必達(dá)法則，數(shù)列極限不能直接使用洛必達(dá)法則，.3131lim22132 nnnn原原式式. 11111 原原式式非連續(xù)變量非連續(xù)變量不可求導(dǎo)不可求導(dǎo) ！每次使用洛必達(dá)法則前，應(yīng)把函數(shù)盡每次使用洛必達(dá)法則前，應(yīng)把函數(shù)盡量化簡(jiǎn)或進(jìn)行整理：量化簡(jiǎn)或進(jìn)行整理：（1）恒

35、等式化簡(jiǎn)）恒等式化簡(jiǎn) （2）約去零）約去零(無窮無窮)因子因子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等價(jià)無窮小代換）等價(jià)無窮小代換 隨時(shí)檢驗(yàn)極限的類型，直至求出極限值。隨時(shí)檢驗(yàn)極限的類型，直至求出極限值。注意注意：1.2.課外作業(yè)課外作業(yè)習(xí)題習(xí)題 3-2 （a）1, 2”型”型“”“”“”“”二、“二、“00,1,0,0 ,)(lim, 0)(lim xgxf:0. 1”“ fggfgf1lim1lim)lim(或或則則 )000( 或或然后利用洛必達(dá)法則然后利用洛必達(dá)法則.0lim0 nxnx例例1：)0(lnlim0 nxxnxnxxx lnlim0 101lim nxxnx?ln1lim0 xxnx若第一步若第一步”“00一般，把求導(dǎo)后函數(shù)形式簡(jiǎn)單的因子一般，把求導(dǎo)后函數(shù)形式簡(jiǎn)單的因子放分母上。放分母上?！薄?0.11lim22 xxx例例2：xxx1arctan2lim )arctan2(limxxx ”“0 ”“0022111limxxx )lim()11lim(gffggf :.2”“ , 0)(lim, 0)(lim xgxf)00000( 例例3： xxx11ln1lim0 xxxxx