96多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、1/16三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線2/16復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo))(),()(xfyyxf 0 1yxffxydd 0),(0),()2(zyxgzyxf )()(xzzxyy 用推導(dǎo)法求用推導(dǎo)法求，xyddxzdd空間曲線空間曲線方程形式有方程形式有 0),(0),(zyxgzyxf 一般式一般式 ，參數(shù)式參數(shù)式 )()()(tztytx 空間曲面空間曲面方程形式有方程形式有 0),( zyxf隱式隱式 ),(yxfz 顯式顯式復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 0)(),(),( tzt

2、ytxf全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)0)()()( tzftyftxfzyx3/16一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面【基本情形基本情形】設(shè)設(shè)空間空間曲線曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程為：為：) 1)()()( tztytxozyx三函數(shù)均可導(dǎo)三函數(shù)均可導(dǎo)),(0000zzyyxxmttt ),(00000zyxmtt設(shè)設(shè)型型為為 )()()()(. 1 ttztytx割線割線m0m的方程為的方程為考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 0000m m 4/16t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t,000zzzyyyxxx ,0,0時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)

3、tmm曲線在曲線在m0 處的處的切線方程切線方程.)()()(000000tzztyytxx 【切向量【切向量】切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量. . )(),(),(000tttt 【法平面【法平面】過過m0點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)法式點(diǎn)法式0)()()(000000 zztyytxxt【切向量指向【切向量指向】與參數(shù)與參數(shù) t 增大時(shí)點(diǎn)增大時(shí)點(diǎn)m移動的走向一致移動的走向一致. .5/16【解【解】, 2, 1, 0 zyx,costxte ,sincos2tty ,33tze , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,3

4、22110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即課本課本p39例例1自閱自閱6/16轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程參數(shù)方程： )()(xzxyxx,),(0000處處故在故在zyxm ,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為型型為為 )()(. 2xzxy切向量：切向量： )(),(, 100 xxt 【特殊情形特殊情形1】基本情形基本情形7/16一般式一般式,0),(0),( zyxgzyxf切向量為切向量為)()(xzzxyyxx )()(xzzxyy 確定隱函數(shù)

5、組確定隱函數(shù)組)(),(, 1 (00 xzxyt 其中其中)( ),(00 xzxy 由方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法求得由方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法求得,將切向量將切向量 代入代入基本情形基本情形即得即得切線方程切線方程和和法平面方程法平面方程t型型為為 0),(0),(. 3zyxgzyxf【特殊情形特殊情形2】基本情形基本情形如何轉(zhuǎn)化為參數(shù)式？如何轉(zhuǎn)化為參數(shù)式？8/16 1ddddddddxzxyxxzzxyy, 0)1 ,2, 1()1 ,2, 1(zyxzxydd1)3,2, 1()3,2, 1(zyyxxzdd【解【解2】曲線方程等價(jià)于曲線方程等價(jià)于， )()(xzzxyyxx)(),(

6、, 1 (xzxyt ),1, 0, 1 ()1 , 2, 1( t切線方程切線方程,110211 zyx法平面方程法平面方程, 0) 1()2(0) 1( zyx0 zx即9/161. 【曲面曲面方程為方程為隱式隱式情形情形 】0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲線在曲線在m0處的切向量處的切向量在曲面上在曲面上任取任取一條過點(diǎn)一條過點(diǎn)m0的曲線的曲線,)()()(: tztytx二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線nt0m 偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)其中其中f三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令則則tn 證證

7、 由由0)(),(),( tttf0)(),(),(dd tttft即即0)()()(000 tftftfzyx故故tn ),(000，余同，余同其中其中zyxffxx 基本情形基本情形10/16切平面方程為切平面方程為0)()()(000 zzfyyfxxfzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m0處的處的法向量法向量即即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量法向量. .ntm11/162. 特殊地特殊

8、地:【曲面曲面方程為方程為顯式顯式情形情形 】 ),(yxfz 故曲面在故曲面在m0 處的處的切平面方程切平面方程為為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m0處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx)( ,),(),(化化為為隱隱式式zyxfzyxf 令令) 1),(),(0000 yxfyxfnyx則則法向量法向量為為12/16)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 在點(diǎn)在點(diǎn)m 的的切平面切平面的方程：的方程： 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 一元函數(shù)微分的幾何意義一元函數(shù)微分的幾何意義 xxfy )(d0)

9、,(yxfz yyxfxyxfyx ),(),(0000),(00),(dyxyxf 13/16,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中4. 【法向量的方向余弦法向量的方向余弦】若曲面若曲面為為),(yxfz 顯式顯式 則法向量為則法向量為) 1),(),( 0000 yxfyxfnyx14/16【解【解】, 32e),( xyzzyxfz, 42)0, 2, 1()0, 2, 1( yfx, 22)0, 2, 1()0, 2, 1( xfy, 0e1)0, 2, 1()0, 2, 1( zzf令

10、令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2) 1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx【分析【分析】 曲面方程為曲面方程為隱式隱式情形情形課本例課本例3自閱自閱),0 2 , 4( n法向量15/16【解【解】( (2) ) 令令 【分析【分析】用用顯式顯式情形直接求情形直接求見課本解法見課本解法( (略略) ) 也可化為也可化為隱式隱式情形求解情形求解.zyxzyxf1),(22),(),(122 yxfffnzyx),(),(124412 n切平面方程切平面方程法線方程法線方程,)()()(041224 zyx, 0624 zyx.142142 zyx16/161.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面2.曲面的切平面與法線（曲面的切平面與法線（隱式隱式、顯式顯式兩情形兩情形） 曲面方程以曲面方程以隱式隱式情形為情形為基本情