高等數(shù)學(xué)定積分的應(yīng)用

1、授課單元 12 教案aa授課單元名稱aaaaa時(shí) 定積分的應(yīng)用授課學(xué)a目標(biāo) 單元知識目標(biāo) aaaa6 aaaa教學(xué) aa量、液體壓力等實(shí)aa能力目標(biāo) aaa際問題。解決有關(guān)面積、體積、變力作功、物體質(zhì)理解微元法的思想，掌握用微元法分析并模型，并計(jì)算。能知識點(diǎn) 主要教建立常見的實(shí)際應(yīng)學(xué) aaaaaaa用及專業(yè)相關(guān)的積分 aaaaa際問題。教學(xué)難點(diǎn) aaaaaaa量、液體壓力等實(shí)變力作功、物體質(zhì)決有關(guān)面積、體積、用微元法分析并解 aa強(qiáng)調(diào)微元的側(cè)壓力。液體對教材處理 aa參考資料 aaaaa的求法 aa平面薄板功、用微元法求變力做利定積分的微元法， aa侯風(fēng)波高等數(shù)學(xué)教學(xué)資源 aaa李德才分層數(shù)學(xué)

2、aa電子教案、課件 aa教學(xué)方法與手段案例教評價(jià)點(diǎn) 考核aaaaa學(xué)、多媒aaaaaaaa體 啟發(fā)式、講練結(jié)合aaaa面薄板的側(cè)壓力。 變力作功、積，液體平形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體利用微元法求平面圖 aa教學(xué)內(nèi)容課題 1 用定積分求平面圖形的面積一、微元法在本章第1 節(jié)定積分概念的兩個(gè)實(shí)例（曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程）中，我們是先把所求整體量進(jìn)行分割，然后在局部范圍內(nèi)“以不變代變”，求出整體量在局部范圍內(nèi)的f ( ) x 的形式；再把這些近似值加起來，得到整體量的近似值；最近似值，即表成乘積iinbx ff xdx lim （即整體量）后，當(dāng)分割無限加密時(shí)取和式的極限得定積分iia01i事

3、實(shí)上，對于求幾何上和物理上的許多非均勻分布的整體量都可以用這種方法計(jì)算但在實(shí)b,aQ 的定積分的方法簡化成下面的上的某個(gè)量際應(yīng)用時(shí)，為了方便，一般把計(jì)算在區(qū)間：兩步：xa,b ，求出積分區(qū)間確定積分變量1） （ x,x dx a,b ，并在該小區(qū)間上找出所求量Q） 在區(qū)間上，任取一小區(qū)間的微分元（2 素dQf(x)dx bQ 的定積分表達(dá)式（3）寫出所求量dxxQ )f (a 用以上兩步來解決實(shí)際問題的方法稱為 元素法 或微元法 下面我們就用元素法來討論定積分在幾何、物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用二、在直角坐標(biāo)系下求平面圖形的面積bf( x)dxA oxba,x x )(xy f 1、由 軸所圍成圖

4、形面積公式及， ad(y )dyA ydy,x(y),y c1及、軸所圍成圖形面積公式c3xy2x1,x例 求曲線軸所圍成的圖形面積及x 與直線172033xxdxsdx解40 1xxxy yyx yy yx a,x b(a b)所圍2、和由兩條連續(xù)曲線與直線2211bdxyy xx A）的面積成平面圖形（如圖112a圖1圖2y xyyxxx2xyx y c,y d(c d) 所和與直線、由兩條連續(xù)曲線2121d dy)( x)(xA yy如圖 ( 圍成平面圖形2) 的面積 12c22x yxy和（ 1）計(jì)算由兩條拋物線所圍成圖形的面積例xxy0x如圖，及直線 ( 所圍成的平面圖形的面積2（）

5、求由曲線4).sinx,y cos圖 4圖 31 ）第一步畫圖求交點(diǎn)，解方程組解（ 2 xy110,BO,0 ，兩拋物線的交點(diǎn)為和2 x y10,x第二步取橫坐標(biāo)為積分變量，則積分區(qū)間為3 121121213 xxx Axdx2.第三步 （平方單位）0333330xysin x) (0x 得，于是）解方程組（2x cosy4(sinx cos x)dx (cosx sinx)Adx 40sinx cosx cosx sinx 22y 2xyx 4所圍成的圖形面積和直線例44（平方單位）402計(jì)算由拋物線圖5所示首先求出所給直線與拋物線交點(diǎn)，為此，解方程組5 這個(gè)圖形如圖解y x 42y2x4,

6、482, 222,y;x 8,yxx 為本題選橫坐標(biāo)即所求交點(diǎn)為，得兩組解 2121y 為積分變量，所求面積為積分變量時(shí)，計(jì)算較為復(fù)雜因此，應(yīng)該選取縱坐標(biāo)421y1432 y 4ydy yy 4A 18= = （平方單位）622 22練習(xí)3x3軸所圍成的平面圖形的面積。1、求正弦曲線及和直線 x0, xy sin,x2 （答案3）22x y8 2xy）（答案和直線 362、求曲線所圍成的平面圖形的面積。用定積分求平面圖形面積的步驟： 小結(jié) 1 ）畫草圖，準(zhǔn)確找出所求面積的圖形，求曲線交點(diǎn)。（ 2 ）選擇積分變量，確定積分區(qū)間，把所求面積表示成定積分。（ 3 ）計(jì)算定積分。（ 、平面圖形面積公式

7、2 三、小結(jié) ：1、定積分的元素法10 ） 1） - （ p185 1 作業(yè) 上冊 （課題 2 用定積分求體積一、平形截面為已知的立體體積)(xA (x)A b x ax,被垂直于x 軸的平面所截得到的截面面積為的連續(xù)函數(shù)，求該立體的體積。且是，設(shè)有一立體，x)b xA ( a, 在區(qū)間上任取一點(diǎn)， ，已知截面面積是,dxS(x)dV xdx，則在點(diǎn)設(shè)厚度是微分的體積微元bdxxA (A ) 立體體積為aR，并且與底面夾角為例一平面經(jīng)過半徑為求截得的楔形的體積。的圓柱體的底面圓心，1xR,R積分變量，區(qū)間建立如圖坐標(biāo)系，解(ty y axn)A22111RR23322tanx x)R( v x

8、)tan dx tanR(RR 3322RRyoxRx二、旋轉(zhuǎn)體的體積x fyxxbxa,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所、連續(xù)曲線軸所圍成的曲邊梯形，繞以及，直線 1 形成的旋轉(zhuǎn)體（圖）的體積2圖圖1)f(xx xa,b為半徑的圓，其面積x 軸的截面是以，過點(diǎn)取積分變量為，x 且垂直于b2dxf )( Vx2)f (x)(Ax，于是得旋轉(zhuǎn)體的體積為是aycyyd (y)y x 軸旋轉(zhuǎn)一周軸所圍成的曲邊梯形繞、直線、由連續(xù)曲線及、d2dy V (y) c而成的旋轉(zhuǎn)體（圖2）的體積為2xy0 y2x軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)體的體積，與直線所圍成的圖形繞 x 例：求由拋物線3224dxxV解：=x502xy4 y0 x

9、與直線軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)體的體積所圍成的圖形繞例：求由拋物線x，428dy(yV ) 解：xy y0 y2x 軸旋轉(zhuǎn)所得到y(tǒng)02旋轉(zhuǎn)體的體積與直線，例求由拋物線所圍成的圖形繞（如圖）解42448y8 16V 4(y)dy 4 y002022yx 1x 例 求橢圓軸旋轉(zhuǎn)一周所形成立體體積軸和y 所圍成的平面圖形分別繞22bab22xayxxx軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成立體可以看作半個(gè)橢圓解繞與a.軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體22b2baa2222dxxa xa dx V22aa0 a324b2x2a2abx a（立方單位） 0233a22yx1y類似可求出橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球的體積是22ab2a4b2

10、22bdy Vab y.（立方單位）b3b練習(xí)21,xy x, 0yxy軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)體的體積所圍成的圖形分別繞1、求由軸和,）（答案522 yx,y xx軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)體的體積y 軸和所圍成的圖形分別繞求由、 22,）（答案156 三、小結(jié)旋轉(zhuǎn)體體積公式bd22dy(x) VdxyV ) f (oxoy繞軸旋轉(zhuǎn)：；繞軸旋轉(zhuǎn)：ca 作業(yè)上冊p186 4授課單元 9 教案時(shí) 數(shù)aa授課單元名稱aaaaa學(xué)實(shí)驗(yàn)四 授課學(xué) a2 aaaa目標(biāo) 單元知識目標(biāo) aaaa教學(xué) aa計(jì)算不定積分、定aa能力目標(biāo) aaaaaa積分。MATLAB 能利用知識點(diǎn)主要教學(xué)命令函數(shù)教學(xué)難點(diǎn) aa積分。定軟件計(jì)算與格式求aaaa積分的不定積分、 MATLAB