高等代數教案第八章λ-矩陣

1、第八章 矩陣§ 1 矩陣設 P 是數域， 是一個文字， 作多項式環(huán)P ，一個矩陣如果它的元素是的多項式，即 P 的元素，就稱為矩陣 . 在這一章討論矩陣的一些性質，并用這些性質來證明上一章第八節(jié)中關于若當標準形的主要定理.因為數域 P 中的數也是P 的元素， 所以在 矩陣中也包括以數為元素的矩陣 . 為了與 矩陣相區(qū)別，把以數域P 中的數為元素的矩陣稱為數字矩陣. 以下用 A( ), B( ), 等表示 矩陣 .我們知道， P 中的元素可以作加、減、乘三種運算，并且它們與數的運算有相同的運算規(guī)律. 而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法與乘法，因此可以同樣定義矩陣的加法與乘法，

2、它們與數字矩陣的運算有相同的運算規(guī)律 .行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法，因此，同樣可以定義一個n n 的 矩陣的行列式. 一般地， 矩陣的行列式是 的一個多項式， 它與數字矩陣的行列式有相同的性質.定義 1 如果 矩陣 A( ) 中有一個 r(r 1)級子式不為零，而所有r 1級子式(如果有的話)全為零，則稱A( ) 的秩為 r . 零矩陣的秩規(guī)定為零.定義 2 一個 n n 的 矩陣 A( ) 稱為可逆的，如果有一個n n 的 矩陣B( )使A( )B( ) B( )A( ) E,(1)這里E是n級單位矩陣.適合(1)的矩陣B()(它是唯一的)稱為A()的逆矩陣，記為 A 1 (

3、) .定理 1 一個 n n 的 矩陣 A( ) 是可逆的充要條件為行列式| A( ) | 是一個非零的數 .2 矩陣在初等變換下的標準形矩陣也可以有初等變換定義 3 下面的三種變換叫做矩陣的初等變換：(1) 矩陣的兩行(列)互換位置；(2) 矩陣的某一行(列)乘以非零的常數c ；(3) 矩陣有某一行(列)加另一行(列)的 ( ) 倍， ( ) 是一個多項式.和數字矩陣的初等變換一樣， 可以引進初等矩陣.例如，將單位矩陣的第 j 行的 ( ) 倍加到第 i 行上得i列 j列11( ) i 行P(i.j( )1 j行1仍用 P(i, j) 表示由單位矩陣經過第 i 行第 j 行互換位置所得的初等

4、矩陣，用P(i(c)表示用非零常數c乘單位矩陣第i行所得的初等矩陣同樣地，對一個s n的 矩陣 A( ) 作一次初等變換就相當于在A( ) 的左邊乘上相應s s 的初等矩陣； 對 A( ) 作一次初等列變換就相當于A( ) 在的右邊乘上相應的 n n 的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的，并且有P(i, j) 1P(i,j), P(i(c) 1 P(i(c 1),P(i,j( ) 1 P(i, j( ) .由此得出初等變換具有可逆性：設矩陣 A( ) 用初等變換變成B( ) ，這相當于對 A( )左乘或右乘一個初等矩陣.再用此初等矩陣的逆矩陣來乘B( )就變回 A( ) ，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因

5、而由 B( ) 可用初等變換變回 A( ) .定義 4 矩陣 A( ) 稱為與 B( )等價，如果可以經過一系列初等變換將A( )化為 B( ) .等價是 矩陣之間的一種關系，這個關系顯然具有下列三個性質：(!) 反身性：每一個矩陣與它自身等價.(2) 對稱性：若A( )與 B( )等價，則 B( )與 A( )等價 .(3)傳遞性：若A()與B()等價，B()與C()等價，則A()與C()等價.應用初等變換與初等矩陣的關系即得，矩陣A( ) 與 B( ) 等價的充要條件為有一系列初等矩陣P1, P2,Pl ,Q1,Q2,Qt ，使A( )P1P2Pl B( )Q1Q2Qt .(2)這一節(jié)主要

6、是證明任意一個矩陣可以經過初等變換化為某種對角矩陣.引理 設 矩陣 A( ) 的左上角元素a11( ) 0 ，并且 A( ) 中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個與A( )等價的矩陣B( ) ，它的左上角元素也不為零，但是次數比 a11( ) 的次數低 .定理 2 任意一個非零的 s n 的 矩陣 A( ) 都等價于下列形式的矩陣d1( ) d2( )dr( ),00其中r 1,di( )(i 1,2, ,r)是首項系數為1的多項式，且di( )|di1( ) (i 1,2 , ,r 1).這個矩陣稱為 A( ) 的標準形 .例 用初等變換化 矩陣121A( )為標準形 .3 不

7、變因子現在來證明， 矩陣的標準形是唯一的 .定義 5 設 矩陣 A( ) 的秩為 r ，對于正整數k,1 k r, ， A( ) 中必有非零的k級子式.A()中全部k級子式的首項系數為1的最大公因式Dk()稱為A( ) 的 k 級行列式因子 .由定義可知，對于秩為 r 的 矩陣，行列式因子一共有r 個.行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的 .定理 3 等價的 矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.現在來計算標準形矩陣的行列式因子.設標準形為d1( )d2( )dr( )(1)00其 中 d1( ),d2( ), ,dr( ) 是 首 項 系 數 為 1 的 多 項 式 ， 且di(

8、 ) |di 1( ) (i 1 , 2 , r1).不難證明，在這種形式的矩陣中， 如果一個 k級子式包含的行與列的標號不完全相同， 那么這個 k 級子式一定為零.因此， 為了計算k級行列式因子，只要看由ii,i2, ,ik行與ihi2, ,ik列組成的k級子式就行了，而這個k 級子式等于di1( ),di2( ), ,dik( )顯然，這種k 級子式的最大公因式就是d1( )d2( ) dk( )定理 4 矩陣的標準形是唯一的 .證明設(1)是 A( )的標準形 .由于 A( )與(1)等價，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此， A( ) 的秩就是標準形的主對角線上非零元素的個數r ;

9、 A( )的k級行列式因子就是Dk( ) di(心()dk( ) (k 1,2, ,r).于是di( ) Di( ) ,d2()D2()Dl(),dr()Dr()Dr l()A()的行列式因子所唯)，dr()稱為 矩陣這就是A()的標準形(1)的主對角線上的非零元素是被 一決定的，所以A()的標準形是唯一的.定義6標準形的主對角線上非零元素di( ),d2(A()的不變因子.定理5兩個矩陣等價的充要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.由(3)可以看出，在矩陣的行列式因子之間，有關系式Dk( )|Dk i( ) (k 1,2, ,r 1).(4)在計算矩陣的行列式因子時，常

10、常是先計算最高級的行列式因子.這樣，由(4)就大致有了低級行列式因子的范圍了 .例如，可逆矩陣的標準形.設A()為一個n n可逆矩陣，由定理1知|A( )1 d,其中d是一非零常數，這就是說Dn( )1于是由(4)可知，Dk( ) 1 (k 1,2, ,n)從而dk( ) 1 (k 1,2, ,n)因此，可逆矩陣的標準形是單位矩陣 E.反過來，與單位矩陣等價的矩陣一定是 可逆矩陣，因為它的行列式是一個非零的數.這就是說，矩陣可逆的充要條件是 它與單位矩陣等價.又矩陣A()與B()等價的充要條件是有一系列初等矩陣' P2, ,P,Q1,Q2,Qt,使A( )P1 P2 Pl B( )Q1

11、Q2 Qt特別是，當時B( ) E ，就得到定理 6 矩陣 A( ) 是可逆的充要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.推論 兩個s n的 矩陣A()與B()等價的充要條件為，有一個s s可逆矩陣與一個n n 可逆矩陣 Q( ) ，使B( ) P( )A( )Q( ).§ 4 矩陣相似的條件在求一個數字矩陣 A的特征值和特征向量時曾出現過矩P$ E A,我們稱它A為的特征矩陣.這一節(jié)的主要結論是證明兩個 n n數字矩陣A和B相似的 充要條件是它們的特征矩陣 E A和E B等價.引理 1 如果有 n n 數字矩陣P0 ,Q0 使E A P0( EB)Q0,(1)則 A 和 B 相似 .引

12、理2對于任何不為零的n n數字夕!陣A和 矩陣U ()與V(), 一定存在 矩陣Q()與R()以及數字矩陣Uo和V。使U( ) ( E A)Q( ) U0,(2)V( ) R( )( E A) V0 .(3)定理7設A, B是數域P上兩個n n矩陣.A與B相似的充要條件是它們 的特征矩陣 E A和E B等價.矩陣A的特征矩陣 E A的不變因子以后簡稱為A的不變因子.因為兩個矩陣等價的充要條件是它們有相同的不變因子，所以由定理7 即得推論 矩陣 A 與 B 相似的充要條件是它們有相同的不變因子.應該指出，n n矩陣的特征矩P$的秩一定是n.因此，n n矩陣的不變因子 總是有 n 個，并且，它們的

13、乘積就等于這個矩陣的特征多項式.以上結果說明， 不變因子是矩陣的相似不變量， 因此我們可以把一個線性變換的任一矩陣的不變因子( 它們與該矩陣的選取無關) 定義為此線性變換的不變因子 .§5 初等因子一、初等因子的概念定義7把矩陣A (或線性變換 A的每個次數大于零的不變因子分解成立不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現的次數計算)稱為矩陣A (或線性變換A)的初等因子.例 設 12 級矩陣的不變因子是1,1, ,1,(1)2,(1)2(1),(1)2(1)( 2 1)2.9個按定義，它的初等因子有7 個，即(1)2,(1)2,(1)2,(1),(1),(

14、i)2 ,( i)2.其中 (1) 2出現三次， 1出現二次 .現在進一步來說明不變因子和初等因子的關系 .首先， 假設 n 級矩陣 A 的不變因子di( ),d2( ), ,dn()為已知.將di( )(i 1,2, ,n)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：d1()(1)k11(2)k12(r)k1r ,d2()(1)k21(2)k22(r)k2r,dn()(1)kn1(2)kn2(r)knr ,則其中對應于kij1 的那些方冪k(j )kij (kij 1)就是A的全部初等因子.注意不變因子有一個除盡一個的性質，即di( )|di1( ) (i 1,2, ,n 1),從而kk( j)ki

15、j |(j)ki1,j (i 1,2, ,n 1;j 1,2, ,r).d1( ), d2( ), ,dn( ) 的分解式中，屬于同一個一次因式的方冪的指數有遞升的性質，即k1jk2jknj(j 1,2,r).這說明，同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必定出現在dn( ) 的分解中，方次次高的必定出現在dn 1( ) 的分解中 .如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現的位置是唯一確定的 .二、初等因子與不變因子的求法上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數唯一地作出不變因子的方法.設一個n級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將

16、同一個一次因式 ( j)(j 1,2, ,r) 的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當這些初等因子的個數不足 n 時，就在后面補上適當個數的 1，使得湊成n 個 .設所得排列為( j)knj ,( j)kn1,j , ,( j)k1j ,(j1,2,r).于是令di( ) (1)ki1(2)ki2( r)kir (i 1,2,n),則di()必()，dn()就是A的不變因子.這也說明了這樣一個事實： 如果兩個同級的數字矩陣有相同的初等因子， 則它們就有相同的不變因子，因而它們相似.反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子.綜上所述，即得定理 8 兩個同級復數矩陣

17、相似的充要條件是它們有相同的初等因子.初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些 .如果多項式f1( ),f2( )都與g1( ),g2( )互素，則 .(f1( )g1( ),f2( )g2( ) (f1( ),f2( ) (g1( ),g2( ).引理 設A()fi( )gi( )00f2( )g2()B()f2( )gl( )00fl( )g2()如果多項式fi( ),f2()都與gi( ),g2()互素，則A()和B()等價.定理9首先用初等變換化特征矩陣E A為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方幕的乘積，則所有

18、這些一次因式的方幕(相同的按出現的次數計算)就是A的全部初等因子.冬 若爾當（Jordan）標準形的理論推導我們用初等因子的理論來解決若爾當標準形的計算問題.首先計算若爾當標 準形的初等因子.不難算出若爾當塊的初等因子是（0）n.顯然E J0Jo的n級行列式因子.由于E Jo有一個事實上，考慮它的特征矩陣00001000EJ00100001E0）、這就是n 1級子式是(1)n1所以它的n1級行列式因子是1從而它以下各級的行列式因子全是1.因此它的不變因子由此即得,可()dn1( ) 1&( ) (°)n.E J。的初等因子是（°）n.再利用§ 5的定理9,

19、若爾當形矩陣的初等因子也很容易算出J1J2Js00000 0 (i 1,2, ,s).是一個若爾當形矩陣，其中i01iJi 01001ii ki ki既然Ji的初等因子是(i)ki(i 1,2,s),所以E Ji與11( i ) ki等價 .于是Ek1J1EkJ2E Jk22EksJs與11(1)k112)k21(s)ks等價 .因此， J 的全部初等因子是：(1)k1 , (2)k2 ,(s)ks .這就是說， 每個若爾當形矩陣的全部初等因子就是由它的全部若爾當形矩陣的初等因子構成的.由于每個若爾當塊完全由它的級數n與主對角線上元素0所刻劃，而這兩個數都反映在它的初等因子( o)n中.因此，

20、若爾當塊被它的初等因子唯一決定.由此可見，若爾當形矩陣除去其中若爾當塊排列的次序外被它的初等因子唯一決定.定理 10 每個 n 級的復數矩陣A 都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被矩陣A 唯一決定的， 它稱為 A 的若爾當標準形 .例 1 § 5 的例中， 12 級矩陣的若爾當標準形就是10111011101111i01ii01 i 1212例 2 求矩陣126A103114的若爾當標準形.定理 10 換成線性變換的語言來說就是：定理 11 設 A 是復數域上n 維線性空間 V 的線性變換，在V 中必定存在一組基， 使 A 在這組基下的矩陣是若爾

21、當形， 并且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被A 唯一決定的 .應該指出， 若爾當形矩陣包括對角矩陣作為特殊情形， 那就是由一級若爾當塊構成的若爾當形矩陣，由此即得定理 12 復數矩陣 A 與對角矩陣相似的充要條件是A 的初等因子全為一次的.根據若爾當形的作法， 可以看出矩陣A 的最小多項式就是A 的最后一個不變因子.因此有定理 13 復數矩陣 A 與對角矩陣相似的充要條件是A 的不變因子都沒有重根.雖然我們證明了每個復數矩陣A 都與一個若爾當形矩陣相似， 并且有了具體求矩陣 A 的若爾當標準形的方法，但是并沒有談到如何確定過渡矩陣 T ，使T 1AT 成若爾當標準形的問題 .

22、T 的確定牽涉到比較復雜的計算問題 .最后指出，如果規(guī)定上三角形矩陣01000001000000100000為若爾當塊，應用完全類似的方法，可以證明相應于定理10，定理11 的結論也成立 .7 矩陣的有理標準形前一節(jié)中證明了復數域上任一矩陣A 可相似于一個若爾當形矩陣.這一節(jié)將對任意數域P 來討論類似的問題.我們證明了P 上任一矩陣必相似于一個有理標準形矩陣 .定義 8 對數域 P 上的一個多項式nn1d( )a1an稱矩陣0 00an1 00an 1(1)A 0 10an 20 01a1為多項式 d( ) 的伴侶陣 .容易證明， A 的不變因子（ 即 EA 的不變因子）是1 ,1, ,1,d

23、( ) .(見習題3)n 1個定義 9 下列準對角矩陣A1A2(2)As其 中 Ai 分 別 是數域 P 上 某些 多 項 式 di（ ）（i 1,2, ,s） 的 伴 侶 陣 ， 且 滿足di（ ）|d2（ ）| |ds（ ）, A就稱為P上的一個有理標準形矩陣引理（2）中矩陣A的不變因子為1,1, ,1,di（ ）,d2（ ）, ,ds（）,其中1的個數等于d1（）,d2（ ）, ,ds（）的次數之和n減去s.定理14數域P上n n方陣A在上相似于唯一的一個有理標準形，稱為A的有理標準形.把定理 14 的結論變成線性變換形式的結論就成為定理 15 設 A 是數域 P 上 n 維線性空間 V 的線性變換， 則在 V 中存在一組基，使 A 在該基下的矩陣是有理標準形，并且這個有理標準形由 A 唯一決定的，稱為 A 的有理標準形.例 設 3 3 矩陣 A 的初等因子為1)2,(1) ，則它的不變因子是11.00(1) ,(1)2 ，它的有理標準形為01.2第八章矩陣 ( 小結 )一、基本概念矩陣，可逆的 矩陣，秩； 矩陣的初等變換及標準形， 矩陣的 等價；行列式因子，不變因子，初等因子；若爾當標準形，矩陣的有理標準形.二、主要結論1. 一個 n n 的 矩陣 A( ) 是可逆的充要條件為行列式| A( ) | 是一個非零的數 .2. 任意一個非零的s