高考數(shù)學萃取精華26套(五)

1、精品資源歡迎下載2011高考數(shù)學萃取精華 30套(5)1.北京豐臺區(qū)二模19.(本小題滿分14分)22y x設雙曲線2r -=1的兩個焦點分別為 Fp F2,離心率為2。(I)求此雙曲線的漸近線11、%的方程；(II)若A、B分別為11、12上的點，且2|AB| = 5|F1 F2L求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線;(III)過點N(1, 0)能否作出直線1 ,使1與雙曲線交于P、Q兩點，且OP -TOQ = 0。若存在，求出直線1的方程；若不存在，說明理由。解：(I) ; e = 2, ,二 c2 =4a222c =a 3, a=1, c=2二雙曲線方程為y2 - 7 =

2、1 ,漸近線方程為3,3 y = x3(II)設 A(x1, y1), B(x2, y2)，AB 的中點M(x, y)21AB| = 5|FF2|55|AB| = -|F1F2| = - 2c = 10,(X1 -X2)2 (y1 -y2)2 = 10p , 33 c乂y1 =X1, y2 = X2, 2x33=X1 +X2, 2y = y1十 y2Vi V23(y1 丫2)(3一(X1 X2) . 3(X1 X2)=10一 一 23(2y)(2x)2 =100,即 32- 2L =17525詈的橢圓。則M的軌跡是中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長為10<3,短軸長為(9分)(III)假

3、設存在滿足條件的直線l設 l: y=k(x1), l 與雙曲線交于 P(x , y1)、Q(x2, y2)T-fo OP OQ = 0x1x2 y1y2 =0 .x1x2 k2(x1 -1)(x2 -1) = 0.x1x2 k2 Ix1x2 -(x1 x2) 1,1 - 0 (i)得(3k -1)x2 -6k2x 3k2-3 = 0y =k(x -1)2 x2.¥ 一 1則 x1 . x2 =6k23k2 -1xx23k2 -33k2 -1(ii)由(i) (ii)得 k2 +3 = 0k不存在，即不存在?t足條件的直線 l。14分20.(本小題滿分13分)已知數(shù)列an的前n項和為S

4、n(ne N*)，且S0=(m + 1)ma0對任意自然數(shù)都成立, 其中m為常數(shù)，且m <-1。(I)求證數(shù)列an是等比數(shù)列；，bn = f(bn_1)(II)設數(shù)列an的公比q = f (m),數(shù)列bn滿足：b1 =,a13. _ _ * . . . . . . . . . . . .(n >2, n=N )，試問當 m 為何值時，njjmbn(lg an) =njjm 3(b1b2+b2b3十b3b4十解：(I)由已知 Sn書=(m+1) man書(1)Sn = (m +1) -man(2)II,、一，一一一* hi I、由(1) (2)得：an由=man -manHt,即(m

5、 + 1)an由=man對任思 n = N 者B成立；m為常數(shù)，且m :二Tan 1 二 man m 1即Qn 為等比數(shù)列(II)當 n =1 時，a =(m + 1) ma1由(I)知 q = f (m)=bn=f(bnl)bn Jbn j 1bnbn即1 _ 1bnbnj二11，工(為等差數(shù)列bn1=3 +(n -1) = n +2 , bnbn(n N) nlim. bn(lg an)nlim：-11glgm 1 m 1=1nlim 3(b1b2 +b2b3 + +bnbn)=nlm由題意知1g=113分10= 10, m = 一 92.石家莊模擬21.(本小題滿分12分)=1(a a

6、b > 0)的左焦點為F ,上頂點為A ,過點A與AF垂直的直 b2線分別交橢圓和x軸正半軸于P, Q兩點，且P分向量AQ所成的比為8： 5.(1)求橢圓的離心率;(2)若過A,Q, F三點的圓恰好與直線1 : x +J3y+3 = 0相切，求橢圓方程.解：(1)設點 Q(x0,0),F(p0),其中 c = Ja2 b2,A(0,b).85 、由P分AQ所成的比為8： 5,得P( 8 Xo, 5 b),13138 2()213x05 2a2(13) 3a .,而 fA = (c,b), aQ = (x0 ,4),fA _L aQ ,2b2.FA AQ = 0- j,cx。b2 = 0,

7、xo=.,c由知 2b2 =3ac； 2c2 +3ac 2a2 =0.C 2 c c c12e 3e - 2 = 0. e =2b2 _ 2（2）滿足條件的圓心為 O（b二J,0）2c,22222b -ca -c -c=c,A O (c,0)，2c2cb22圓半徑r2c10分|c 3|二 a12分=(n 1同 1- n(n 1)d由圓與直線l ： x + J3y+3 = 0相切得,又 a = 2c,/. c = 1, a = 2,b = J3 .22橢圓方程為 工+上一=1.4322.（本小題滿分14分）（理）給定正整數(shù)n和正數(shù)b ,對于滿足條件a1 -an； 土 b的所有無窮等差數(shù)列試求y

8、=an由+an交+a2n書的最大值，并求出 y取最大值時% 的首項和公差.（文）給定正整數(shù)n和正數(shù)b,對于滿足條件a1 -an； =b的所有無窮等差數(shù)列1aj, 試求y =an+an七+十a(chǎn)2n書的最大值，并求出 y取最大值時an的首項和公差.（理）解：設（an）公差為d ,則an+=a +nd,nd =an書a1 3分y = an 1 , an 2 ,' a2n 1=an 1(an 1 d) (an 1 nd)=(n 1)am (12 n)dndan 1 - a1二歷9成“)22又 a1 - an 1 - b,-a1 -b - an 123 2-3an 1 - a1 - -an 13

9、an 1 - b = -(an 1 - 2)當且僅當an邛=,時，等號成立.211分n 1, , y - 2 (3an 1 - a1) -(n 1)(9 -4b)13分當數(shù)列an 首項a1 = b+9 ,公差d44b 34n時,(n - 1)(9 -4b)，y的最大值為（n+1）（9-4b） 814分（文）解：設4 公差為d ,則an書=a1nd,nd=an 書a1 .y =an 1 - an 2 a2n 1=an 1(an 1 d)，(an 1 nd)=(n 1)an 1 (12 n)d n(n 1)二(n 1)an1 2 d=(n 1)(an1an 1 一 a1Xn丁) =(3an書 一

10、a1 )，p2.,2又 a1 an 由=b,，-a1 =4- an 書232 3an 1 - a1 - -an 13an 1 b - -(an 1 一 )29-4b . 9 -4b4-4 ,3當且僅當ana時'等號成立.11分n 1_、 y =(3an 1 -a1)二2(n 1)(9 -4b)13分當數(shù)列Qn）首項a = b十9 ,公差d44b 31時,4n(n . 1)(9 4b)14分(n 1)(9 -4b) . y的最大值為 3.唐山二模21.（本小題滿分12分）垂直于x軸的直線交雙曲線22x 2y =2于M、N不同兩點，A1、A2分力1J為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線 Aim

11、與A2N交于點P(X0, yo)(I)證明:X0 2y2為定值;(n)過P作斜率為一2的直線i,原點到直線i的距離為d,求d的最小值.2y0解(I)證明：設M(Xi,yi),則N(Xi,yi)” A(r00),人2(血,0),直線Ai M的方程為y = 一y1=(x +、“2直線A2N的方程為y = _y1L (x -72)4分Xi - 22x，得y2 =三紋支2 -2)X1 -2丫 X12 -2y12 =2, y2 = -1 (x2 -2)，即x2 +2y2 =22丫 P(xo, yo)是直線AM與A2N的交點.x2 2y2 =2為定值8分(n) l 的方程為 y yo =旦(xXo)，結(jié)合

12、 X；+ 2y2 = 2 整理得 Xox+2y°y2 = 0 2yo222八于 te d t := - |2 10 分.X2 4y22 2y2J y。Xo 2y2 =2. y < 1. 1 y2 <2. d 2 2 -1,1-0當y0 =±1時，y2 =1,d取最小值112分22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) = x-sin x(I)若乂q0,叫,試求函數(shù)£0)的值域；2f (6 f (x)2 1 x(n)若 xW0,n,日七(0,冗),求證：-f(-) > f()；33(出)若.2 f (6 f (x) ,2 xxkn,(k +1)n,

13、日=(k%(k +1)n),k = Z,猜想 一(J(一)與£ ()的大 小33關系（不必寫出比較過程）解：(I)當xw(0,n)時，f'(x)=1cosx>0： f(x)為增函數(shù)又f(x)在區(qū)間0,n上連續(xù)所以f (0) < f(x) < f 5),求得0 < f (x) <JT即f(x)的值域阻兀4分(H)設 g(x)=.2f f(x)_f(J) 33即 g(x)=-2()sinx sin - 3312u xg (x)二(一cosx cos ) 33x 0,二,u (0,二)2i x3(0,二)由g (x) =0,#x =6二當x w (0,日)時,g '(x) <