專題根與系數(shù)的關(guān)系含答案

1、專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例 1. 已知關(guān)于 x 的方程 mx2- (2m-1 )x+m-2=0 (1) 當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若Xi、X2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿足 Xi2+X22-xx=2，求m的值.22例 2. 已知關(guān)于 X 的方程 X2-4mX+4m2-9=0.( 1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為 Xi, X2，其中XivX2.若2xi=X2+1，求m的值.2例3.已知關(guān)于x的方程 mx+ (4-3 m x+2m8=0 ( m> 0).(1) 求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；1(2) 設(shè)方程的兩個(gè)根

2、分別為 Xi、X2 (xivX2),若n=X2- xi-2m且點(diǎn)B ( m n) 在x軸上，求m的值.例4.已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-2 （葉1） x+m+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求m的取值范圍；, , 2 2（2） 若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為Xi、X2，且滿足xi+X2=|xi|+| X2|+2 X1X2，求m 的值.2 1例5.已知關(guān)于x的方程x- (2k+1) x+4 (k-) =0.（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根;(2)能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)若能找到，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長(zhǎng)a=4,另兩邊的長(zhǎng)

3、b、c恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求 ABC的周長(zhǎng).訓(xùn)練 21.已知關(guān)于 x 的方程 mx- (m+2) x+2=0 (m# 0).(1) 求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；1 1(2) 已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a,B，滿足亦+?=1，求m的值.2. 已知一元二次方程 x2-2 x+m=0(1) 若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 m的范圍；(2) 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi和X2，且xi+3x2=3,求m的值.(3)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 Xi和X2,且Xi2-X22=0,求m的值.23. 已知關(guān)于 x 的方程 x2+(m-3 ) x- m( 2m-3 )=0(1) 證明：無(wú)論m為何值方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)

4、是否存在正數(shù) m使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于 26若存在，求出滿足條件的正數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.224. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x -6x-k =0（k 為常數(shù)） （1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)Xi、X2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 2xi+X2=14,試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 和k的值.5. 已知關(guān)于X的方程x2- （2k-3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 xi、X2.（1）求k的取值范圍；(2)若 Xi、X2滿足 |Xi|+| X2|=2| X1X2I-3，求 k 的值.6. 已知關(guān)于x的一元二次方程 x2- (m-2 ) x+m3=02(1) 求證：無(wú)

5、論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2) 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi，X2,且2xi+x2=n+1，求m的值.27.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1 ) x -5 x+4a-2=0的一個(gè)根為x=3.(1)求a的值及方程的另一個(gè)根;2）如果一個(gè)等腰三角形（底和腰不相等）的三邊長(zhǎng)都是這個(gè)方程的根，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)8.設(shè)xi, X2是關(guān)于x的一元二次方程 x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實(shí)根，當(dāng)a為何值時(shí)，Xi2+X22有最小值最小值是多少專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例1. 解：（1）v方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.

6、例10.例11.例12.例13.例14.例15.例16.例17.例18.例19.例20.例21.例22.例23.例24.例25.2 2=b -4 ac=- (2m-1 ) -4 m (m-2 ) =4n+1 > 0,解得：m>-；,二次項(xiàng)系數(shù)工0,二m皆0,當(dāng)m>-4且m0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)v X1、X2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根, X1+X2 =2? 1?X1X2二?- 2 ?-二 X12+X22- X1X2= (X1+X2) 3x1X2二(2?1) 2-3(? 2)=2,解得：m=v2+1, m二-v2+1 (舍去)； m=v2+1.解: (1)v = (-

7、4m 2-4 (4ni-9) =36>0,此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)v x=叮=2m±3, X1=2m3 ,X2=2m+3,/ 2X1=X2+1, 2 (2m3 ) =2m+3+1,二 m=5.2解: (1)V = ( 4-3m) -4m (2m8 ),22=m+8m+16= (m+4)又m>0二(m+4) 2>0 即厶> 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)v方程的兩個(gè)根分別為 X1、X2 (X1 vX2),.4- 3?X汁 X2=-?y?,X1X2二2?- 8 ?n=X2- X1-2m, 且點(diǎn) B (m, n)在 X 軸上， X2-X1-1m=V(?

8、1+ ?2)2- 4?2?1-1m=用獸)2 - 4 乂彎-=0,解得：n=-2 , m=4,例26./ mn> 0,二 m=4.例27.例28.例29.例30.例31.例32.例33.例34.例35.例36.例37.例38.例39.例40.例41.例42.例43.例44.舍去;例45.例46.例47.解：(1)：方程x2-2 (葉1) x+m+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， = -2 ( n+1) 2-4 (m+5) =8m16 > 0，解得：m>2.(2) 原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi、X2,二 Xi+X2=2 (n+1), X1X2二m+5./ m>2,2二 X1+X

9、2=2 (n+1)>0, X1X2=m+5>0, X1 >0、X2>0.I X+X=(?1 + ?2)2-2 X1X2=| X1| + | X2|+2 X1X2, 4 ( n+1) 2-2 (m+5) =2 (m+1) +2 (m+5),即 6m18=0, 解得：n=3.證明：(1)v = ( 2k+1) 2-16 ( k-=(2k-3 ) 2>0,方程總有實(shí)根；解：(2)v兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)， X1+X2=2k+1=0,解得 k=；(3) 當(dāng)b=c時(shí)，則 =0,即(2k-3 ) =0,. k=3,方程可化為 x2-4x+4=0,a X1 =X2=2，而b=c=2

10、,A b+c=4=a不適合題意當(dāng) b=a=4,則 42-4 (2k+1) +4 (k-1) =0,-k=5，方程化為 x2-6x+8=0,解得 X1=4, X2=2,例48.二 c=2, C ABC=10 ,例49.當(dāng) c=a=4 時(shí)，同理得 b=2,.CsBc=10,例50.綜上所述， ABC的周長(zhǎng)為10.例51.訓(xùn)練1. (1)證明：方程 mX- (m+2) x+2=0 (m 0)是一元二次方程,2 2 2 2= ( m+2) -8 m=m+4n+4-8 m=m-4 m+4二(m2 ) >0,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a,B, 由根與系數(shù)的關(guān)系可得a +

11、B=?2,aB= ?,/丄+丄=1,? ? ?+2 f_?+2_1-22 1,?解得m=0, nr 0, m無(wú)解.2 2.解：(1)v方程x-2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,2 = (-2 ) -4 m>0,解得m< 1;(2)由兩根關(guān)系可知，X1+X2=2, X1X2二m解方程組?1 + ?2 = 2?1 + 3? = 3解得?1 =?2 =321，2 3、/ 1 3 - m=X1X2=2x 2=4；2 2(3)v X1-X2 =0,(X1+X2) (X1-X2) =0,v Xi+X2=2工0,二 Xi-X2=0,方程x2-2 X+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,2:, = (-2 ) -4

12、 n=0,解得m=1.23.(1)證明：關(guān)于 X 的方程 X + (m-3 ) x- m( 2m-3 ) =0 的判別式二(m-3 )22+4m (2m3 ) =9( ml ) >0,無(wú)論m為何值方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為Xi、X2,則 Xi+X2=- (m3 ), Xi x X2二-m(2m3),2222令 Xi +X2 =26,得：(X1+X2) -2X1X2= (m3 ) +2m(2m3 ) =26,2整理，得 5mv12m17=0 ,解這個(gè)方程得，n=¥或m=-1 ,所以存在正數(shù)m=”，使得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于26.2 2 2 2 24.

13、(1)證明：在方程 X -6 x- k =0 中，= (-6 ) -4x ix (- k ) =4k +3636,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)解：t xi、X2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，二 Xi+X2=6,XiX2=- k2,t'2 Xi+X2=i4,聯(lián)立成方程組?：+?；=6i4, 解之得：?2=82，2 XiX2=- k =-i6, k=± 4.5.解：(1)v原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, :,二卜(2k-3 ) 2-4 ( k2+1) =4k2-12 k+9-4k2-4=-12 k+5>0, 解得：k v誇；(2)v kv 誇，二Xi+X2=2k-3 v 0,又 x

14、iX2=k +1 > 0, I XiV 0, X2 v 0,|xi|+| X2|=- Xi-X2=- (X1+X2) =-2 k+3,/ | Xi|+| X2|=2| X1X2I-3 ,22 -2 k+3=2k +2-3，即 k +k-2=0 ,ki=1, k2=-2 ,又kv 12 k=-2 .6.解：(1)v = ( m-2 ) 2-4X( m) = (m3) 2+3>0,無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)解：X1+X2二m2 ,2xi+X2=xi+ (X1+X2) =m+1,二 Xi二葉 1+2-n=3,把Xi代入方程有：9-3 (m2 ) +扣3=0解得m=254.7.解：(1)將 x=3 代入方程中，得：9 (a-1 ) -15+4a-2=0,解得：a=2,原方程為 x2-5x+6二(x-2 ) (x-3 ) =0,解得：Xi=2, X2=3. a的值為2,方程的另一個(gè)根為 x=2.(2)結(jié)合(1)可知等腰三角形的腰可以為2或3, C=2+2+3