第十一章有限元分析法概述

1、第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的一種現(xiàn)代沒(méi)計(jì)計(jì)算方法。它是20世紀(jì)50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快就廣泛地應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。 在工程分析和科學(xué)研究中，常常會(huì)遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應(yīng)的邊界條件描述的場(chǎng)問(wèn)題，如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)等問(wèn)題。求解這類(lèi)場(chǎng)問(wèn)題的方法主要有兩種：用解析法求得精確解；用數(shù)值解法求其近似解。應(yīng)該指出，能用解析法求出精確解的只是方程性質(zhì)比較簡(jiǎn)單且?guī)缀芜吔缦喈?dāng)規(guī)則的少數(shù)問(wèn)題。而對(duì)于絕大多數(shù)問(wèn)題，則很少能得出解析解。這

2、就需要研究它的數(shù)值解法，以求出近似解。目前工程中實(shí)用的數(shù)值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。其中，以有限元法通用性最好，解題效率高，目前在工程中的應(yīng)用最為廣泛。下面通過(guò)一個(gè)具體例子，分別采用解析法和數(shù)值解法進(jìn)行求解，從而體會(huì)一下有限元分析方法的含義及其相關(guān)的一些基本概念。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負(fù)荷，試求桿沿長(zhǎng)度方向任一截面的變形大小。其中，桿的上邊寬度為，下邊寬度為，厚度為，長(zhǎng)度為，桿的材料彈性模量為。已知4450N，50mm，=25mm，=3mm，=250mm，=72GPa。 采用解析法精確求解 假設(shè)桿任一橫截面面積為，其上平均應(yīng)力為，應(yīng)變?yōu)?。根?jù)靜

3、力平衡條件有：根據(jù)虎克定律有：而任一橫截面面積為：任一橫截面產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)椋?將上述方程代入靜力平衡條件，進(jìn)行變換后有：沿桿的長(zhǎng)度方向?qū)ι鲜絻蛇呥M(jìn)行積分，可得：將表達(dá)式代入上式，并對(duì)兩邊進(jìn)行積分，得桿沿長(zhǎng)度方向任一橫截面的變形量：當(dāng)分別取0、62.5、125、187.5、250值時(shí)，變截面桿相應(yīng)橫截面處的沿桿長(zhǎng)方向的變形量分別為： 采用數(shù)值解法近似求解將變橫截面桿沿長(zhǎng)度方向分成獨(dú)立的4小段，每一小段采用等截面直桿近似，等截面直桿的橫截面面積為相應(yīng)的變截面桿橫截面面積的平均面積表示，每一小段稱(chēng)為一個(gè)單元，小段之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)。這樣，變橫截面桿就可以用5個(gè)節(jié)點(diǎn)和4個(gè)單元組成的模型來(lái)近似表示，如右

4、圖所示。假設(shè)任一橫截面面積為A、長(zhǎng)為的等截面直桿，在軸向拉力F的作用下產(chǎn)生變形量，則該直桿橫截面上的應(yīng)力和應(yīng)變分別為： 根據(jù)虎克定律： 可得：上述方程與線(xiàn)性彈簧的方程極為相似，表明一個(gè)中心點(diǎn)集中受力且橫截面相等的等截面直桿可以等效為一個(gè)彈簧，其等效剛度為:因此，變橫截面桿可以看作由四個(gè)線(xiàn)性彈簧串聯(lián)起來(lái)的模型來(lái)近似表示，如下圖所示，每一個(gè)單元都可以視為一個(gè)線(xiàn)性彈簧，其彈性行為符合以下方程： 下面考慮每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力，根據(jù)靜力平衡條件，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的受力總和為0，即：節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3： 節(jié)點(diǎn)4： 節(jié)點(diǎn)5： 將反作用力R1和外力P從內(nèi)力中分離出來(lái)，重新對(duì)上述五個(gè)方程組成的方程組進(jìn)行變換，得

5、：節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3： 節(jié)點(diǎn)4： 節(jié)點(diǎn)5： 將上述方程組寫(xiě)成矩陣形式，有：將反作用力和外力分離出來(lái)，可以重組上述矩陣，得：寫(xiě)成一般形式，可得： 即表示：引入邊界條件，根據(jù)本題的要求，節(jié)點(diǎn)1的位移為0，即 ，則有如下矩陣形式：通過(guò)求解上述矩陣方程，可得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而可以求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的反作用力，每一個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變。即： 根據(jù)變橫截面桿結(jié)構(gòu)的已知參數(shù)可得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，每個(gè)單元的等效剛度系數(shù) 總體剛度矩陣：應(yīng)用邊界條件和負(fù)荷，可以得到：求解該方程，可得： 而第一種精確求解方法求得的每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移分別為： 比較兩種結(jié)果表明：采用數(shù)值解法近似求解的結(jié)果與解析法精

6、確求解的結(jié)果相當(dāng)接近，如果將變橫截面桿沿桿長(zhǎng)方向分離成的單元越多，數(shù)值解法求解的結(jié)果將與精確解法求得的結(jié)果誤差將會(huì)越來(lái)越小。2、有限元法的分析過(guò)程2.1 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對(duì)象（物體或結(jié)構(gòu)），所謂離散化就是將所求解的對(duì)象劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個(gè)微小塊體稱(chēng)為單元，兩相鄰單元之間只通過(guò)若干點(diǎn)互相連接，每個(gè)連接點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。因而，相鄰單元只在節(jié)點(diǎn)處連接，載荷也只通過(guò)節(jié)點(diǎn)在各單元之間傳遞，用這些有限個(gè)單元構(gòu)成的集合體來(lái)近似代替原來(lái)的連續(xù)體。這種由單元和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合體稱(chēng)為有限元分析模型。離散化也稱(chēng)為劃分網(wǎng)格或網(wǎng)格化。單元?jiǎng)澐趾螅o每個(gè)單元及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理編號(hào)；選定坐標(biāo)系，計(jì)

7、算各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；確定各個(gè)單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。下圖所示為將一懸臂梁建立有限元分析模型的例子，圖中將該懸臂梁劃分為許多三角形單元，三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)離散化后，單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連結(jié)起來(lái)，單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視具體問(wèn)題的性質(zhì)、描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連結(jié)成的離散物體。這樣，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相接近。2.2 單元特性分析 連續(xù)體離散化后，即可對(duì)單元體進(jìn)行特性分析，簡(jiǎn)稱(chēng)為單元特

8、性分析。單元特性分析主要有兩項(xiàng)：選擇單元位移模式（位移函數(shù)）和分析單元的特性，即建立單元?jiǎng)偠染仃嚒８鶕?jù)材料學(xué)、工程力學(xué)原理可知，彈性連續(xù)體在載荷或其他因素作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，都可以用位置函數(shù)來(lái)表示。為了能用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，必須對(duì)各單元中位移的分布作出某種假設(shè)，也就是假定單元中任一點(diǎn)的位移是單元節(jié)點(diǎn)位移的某種簡(jiǎn)單的函數(shù)，以此模擬單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱(chēng)為位移模式或位移函數(shù)。選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析與計(jì)算中的關(guān)鍵，通常采用多項(xiàng)式作為位移模式。因?yàn)槎囗?xiàng)式的數(shù)學(xué)運(yùn)算比較方便，并且所有光滑函數(shù)的局部都可以用多項(xiàng)式逼近。至于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次的

9、選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性。一般來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于單元的自由度數(shù)（單元節(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移的個(gè)數(shù)），多項(xiàng)式的階次應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)和線(xiàn)性項(xiàng)等。選定好單元位移模式后，即可進(jìn)行單元力學(xué)特性分析，將作用在單元上的所有力（表面力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，應(yīng)用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚒?.3 整體分析 在對(duì)全部單元進(jìn)行完單元分析之后，就要進(jìn)行單元組集，即把各個(gè)單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點(diǎn)力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。集成過(guò)程所依據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變

10、形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。2.4 確定約束條件 由上述所形成的整體平衡方程是一組線(xiàn)性代數(shù)方程，在求解之前，必需根據(jù)具體情況，分析與確定求解對(duì)象問(wèn)題的邊界約束條件，并對(duì)這些方程進(jìn)行適當(dāng)修正。2.5 有限元方程求解 解方程，即可求得各節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而根據(jù)位移計(jì)算單元的應(yīng)力及應(yīng)變。3、有限元法的理論基礎(chǔ)有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對(duì)于結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的分析而言，其理論基礎(chǔ)是能量原理。根據(jù)未知數(shù)的性質(zhì)和分析方法的不同，有三種基本解法：1) 位移法。位移法采用最小勢(shì)能原理或虛位移原理進(jìn)行分析。它以節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)，進(jìn)行單元的力學(xué)特性分析，在節(jié)點(diǎn)處建立單元?jiǎng)偠确匠?，再合并組成整體剛度

11、矩陣，解出節(jié)點(diǎn)位移后，由節(jié)點(diǎn)位移再求解出應(yīng)力。位移法優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。所以得到廣泛應(yīng)用，其缺點(diǎn)是精度稍低。2) 應(yīng)力法。應(yīng)力法常采用最小余能原理進(jìn)行分析。它以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，在節(jié)點(diǎn)處建立位移連續(xù)方程，求解出節(jié)點(diǎn)力后，再求解節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力。力法的特點(diǎn)是計(jì)算精度高。3) 混合法。這種方法常采用混合變分原理進(jìn)行分析。它取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量，建立平衡方程進(jìn)行求解。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析中，對(duì)大多數(shù)問(wèn)題，位移法要比應(yīng)力法簡(jiǎn)單得多，從而得到了最廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，在本書(shū)中只討論有限元位移法。4、有限元分析軟件 目前有限元分析軟件可以分為三類(lèi)： 1）

12、通用有限元分析軟件：這類(lèi)軟件自成體系，側(cè)重點(diǎn)有所不同，但解決工程問(wèn)題的領(lǐng)域比較寬，適應(yīng)性和通用性強(qiáng)，比較有代表性的有：ABAQUS、ADINA、ANSYS、MARC和NASTRAN 等2）專(zhuān)用有限元分析軟件：主要特點(diǎn)是在某一專(zhuān)門(mén)領(lǐng)域內(nèi)，開(kāi)發(fā)了專(zhuān)門(mén)的功能，強(qiáng)調(diào)專(zhuān)用性。比較有代表性的有：ADAMS、DADS、MSC/FATIGUE等等。3）嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊：這類(lèi)分析模塊與設(shè)計(jì)軟件集成為一體，有限元分析在工程師所熟悉的設(shè)計(jì)環(huán)境中進(jìn)行，功能沒(méi)有專(zhuān)用或通用有限元分析軟件那么強(qiáng)大全面，但它們解決一般工程問(wèn)題的能力也是很強(qiáng)的，比較有代表性的有：I-DEAS、PRO/ENGINEER

13、和 UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中的有限元分析模塊。采用有限元分析軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的基本步驟包括：1）預(yù)處理階段，分析對(duì)象的有限元網(wǎng)格剖分與數(shù)據(jù)生成。主要包括以下幾個(gè)方面：建立求解域并將之離散化成有限元，即將問(wèn)題分解成節(jié)點(diǎn)和單元；假設(shè)代表單元物理行為的形函數(shù)，即假設(shè)代表單元解的近似連續(xù)函數(shù)；對(duì)單元建立方程；將單元組合成總體的問(wèn)題，構(gòu)造總體剛度矩陣；應(yīng)用邊界條件、初值條件和負(fù)荷。2）求解階段。求解線(xiàn)性和非線(xiàn)性的微分方程組，得到節(jié)點(diǎn)的值。3）后處理階段。根據(jù)工程和產(chǎn)品模型與設(shè)計(jì)要求，對(duì)有限元分析結(jié)果進(jìn)行用戶(hù)所要求的加工和檢查，并已圖形方式將結(jié)果提供給用戶(hù)，輔助用戶(hù)判定計(jì)算結(jié)果

14、與設(shè)計(jì)方案的合理性。具體包括：有限元分析結(jié)果的數(shù)據(jù)平滑，各種物理量的加工和檢查，如：結(jié)構(gòu)變形圖、應(yīng)力分布圖和結(jié)構(gòu)動(dòng)力振型圖等，針對(duì)工程和產(chǎn)品設(shè)計(jì)的要求與工程規(guī)范對(duì)結(jié)果進(jìn)行校核，根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化與模型修改，還包括計(jì)算結(jié)果的文檔整理等。 目前，應(yīng)用比較廣泛的有限元分析軟件主要是ANSYS軟件。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、傳熱、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件，由美國(guó)有限元分析軟件公司ANSYS開(kāi)發(fā)，并能與多數(shù)CAD 軟件接口，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換，如Pro/Engineer，NASTRAN，Alogor，I-DEAS，AutoCAD 等，是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的高級(jí)CAD 工

15、具之一。軟件主要包括3 個(gè)部分：前處理模塊：提供強(qiáng)大的實(shí)體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶(hù)可以方便地構(gòu)造有限元模型；分析計(jì)算模塊：包括結(jié)構(gòu)分析(可進(jìn)行線(xiàn)性分析、非線(xiàn)性分析和高度非線(xiàn)性分析)、流體動(dòng)力學(xué)分析、電磁場(chǎng)分析、聲場(chǎng)分析、壓電分析以及多物理場(chǎng)的耦合分析，可模擬多種物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理模塊：可將計(jì)算結(jié)果以彩色等值線(xiàn)顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示(可看到結(jié)構(gòu)內(nèi)部)等圖形方式顯示出來(lái)，也可將計(jì)算結(jié)果以圖表、曲線(xiàn)形式顯示或輸出。軟件提供了100 種以上的單元類(lèi)型，用來(lái)模擬工程中的各種結(jié)構(gòu)和材料。分析類(lèi)型主要包括以下幾種：1) 結(jié)

16、構(gòu)靜力分析。用來(lái)求解外載荷引起的位移、應(yīng)力和力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的影響并不顯著的問(wèn)題。ANSYS 程序中的靜力分析不僅可以進(jìn)行線(xiàn)性分析，而且也可以進(jìn)行非線(xiàn)性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大變形、大應(yīng)變及接觸分析。2) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析用來(lái)求解隨時(shí)間變化的載荷對(duì)結(jié)構(gòu)或部件的影響。與靜力分析不同，動(dòng)力分析要考慮隨時(shí)間變化的力載荷以及它對(duì)阻尼和慣性的影響。ANSYS 可進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析類(lèi)型包括：瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析及隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。3) 結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性分析。結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或部件的響應(yīng)隨外載荷不成比例變化。ANSYS程序可求解靜態(tài)和瞬態(tài)非線(xiàn)性問(wèn)題，包

17、括材料非線(xiàn)性、幾何非線(xiàn)性和單元非線(xiàn)性3種。4) 動(dòng)力學(xué)分析。ANSYS 程序可以分析大型三維柔體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)的積累影響起主要作用時(shí)，可使用這些功能分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)在空間中的運(yùn)動(dòng)特性，并確定結(jié)構(gòu)中由此產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和變形。5) 熱分析。程序可處理熱傳遞的3 種基本類(lèi)型：傳導(dǎo)、對(duì)流和輻射。熱傳遞的3 種類(lèi)型均可進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線(xiàn)性和非線(xiàn)性分析。熱分析還具有可以模擬材料固化和熔解過(guò)程的相變分析能力以及模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間的熱-結(jié)構(gòu)耦合分析能力。 6) 電磁場(chǎng)分析。主要用于電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場(chǎng)分布、磁力線(xiàn)分布、力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、電路和能量損失等。還可用于螺線(xiàn)管、調(diào)節(jié)器、發(fā)電

18、機(jī)、變換器、磁體、加速器、電解槽及無(wú)損檢測(cè)裝置等的設(shè)計(jì)和分析領(lǐng)域。7) 流體動(dòng)力學(xué)分析。ANSYS 流體單元能進(jìn)行流體動(dòng)力學(xué)分析，分析類(lèi)型可以為瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)。分析結(jié)果可以是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和通過(guò)每個(gè)單元的流率。并且可以利用后處理功能產(chǎn)生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。另外，還可以使用三維表面效應(yīng)單元和熱流管單元模擬結(jié)構(gòu)的流體繞流并包括對(duì)流換熱效應(yīng)。8) 聲場(chǎng)分析。程序的聲學(xué)功能用來(lái)研究在含有流體的介質(zhì)中聲波的傳播，或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。這些功能可用來(lái)確定音響話(huà)筒的頻率響應(yīng)，研究音樂(lè)大廳的聲場(chǎng)強(qiáng)度分布，或預(yù)測(cè)水對(duì)振動(dòng)船體的阻尼效應(yīng)。9) 壓電分析。用于分析二維或三維結(jié)構(gòu)對(duì)交流(AC)

19、、直流(DC)或任意隨時(shí)間變化的電流或機(jī)械載荷的響應(yīng)。這種分析類(lèi)型可用于換熱器、振蕩器、諧振器、麥克風(fēng)等部件及其他電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能分析?？蛇M(jìn)行4 種類(lèi)型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析、瞬態(tài)響應(yīng)分析。下面主要討論一下總體剛度矩陣與單元?jiǎng)偠染仃嚨年P(guān)系 我們?nèi)∪我坏冉孛嬷睏U單元，用線(xiàn)性彈簧近似表示，如圖所示。 在節(jié)點(diǎn)處傳遞的力為：將其表示成矩陣形式：則單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?總體剛度矩陣為：對(duì)于本題，其總體剛度矩陣為： 下面采用最小勢(shì)能原理來(lái)推導(dǎo)總體剛度矩陣物體受到外力的作用會(huì)產(chǎn)生變形，外力所做的功以彈性能的形式儲(chǔ)存在物體中，即物體儲(chǔ)存應(yīng)變能。假設(shè)：有一等截面桿，長(zhǎng)，在集中力的作用下變形伸

20、長(zhǎng)根據(jù)虎克定律，有： 桿內(nèi)儲(chǔ)存的能量： 將上式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力和應(yīng)變的形式：則變形能為： 由n個(gè)單元和m個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的物體的總勢(shì)能II為總應(yīng)變能和外力所做功的差: 根據(jù)最小總勢(shì)能原理，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，平衡位置會(huì)發(fā)生位移，并使系統(tǒng)的總勢(shì)能最小。即：對(duì)于例1，任意單元（e）的應(yīng)變能由應(yīng)變能公式可得： 則： 寫(xiě)成矩陣形式：而： 將總勢(shì)能最小公式寫(xiě)成矩陣形式，得出根據(jù)力邊界條件，可知：F1=-R F2=0 F3=0 F4=0 F5=P 則得：根據(jù)位移邊界條件：u1=0 則有：求解上式矩陣，得出的結(jié)果與采用直接公式法得出的結(jié)果相同。第十二章 桿梁結(jié)構(gòu)的有限元分析第一節(jié) 彈簧單元任取一彈簧單元 ，如圖所示。

21、兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)位移，節(jié)點(diǎn)力 ，彈簧剛度，根據(jù)節(jié)點(diǎn)處力的平衡可知：將其表示成矩陣形式：則定義單元?jiǎng)偠染仃嚍椋骸?很顯然，單元?jiǎng)偠染仃嚍橐粚?duì)稱(chēng)矩陣。如果將兩個(gè)彈簧串聯(lián)組成一個(gè)彈簧系統(tǒng)，如下右圖所示，則系統(tǒng)有兩個(gè)單元，三個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于單元1，有矩陣方程：對(duì)于單元2，也有矩陣方程：式中，表示第單元的第節(jié)點(diǎn)上作用的內(nèi)力。根據(jù)節(jié)點(diǎn)上作用力平衡條件，有：節(jié)點(diǎn)1： 節(jié)點(diǎn)2： 節(jié)點(diǎn)3：也就是下面方程組：寫(xiě)成矩陣形式，有：則串連彈簧系統(tǒng)的總體剛度矩陣為：位移矩陣為： 節(jié)點(diǎn)負(fù)荷矩陣為： 則矩陣方程可簡(jiǎn)化為：假設(shè)：位移邊界條件為； 力邊界條件為，則矩陣方程變?yōu)椋簩⑵溥M(jìn)一步簡(jiǎn)化為： 求解可得： 例1：如圖所示一彈簧系統(tǒng)，

22、已知，。求：1）系統(tǒng)的整體剛度矩陣；2）第2與第3節(jié)點(diǎn)的位移；3）第1與第4節(jié)點(diǎn)的反力；4）中間彈簧的受力大小。解：根據(jù)上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可得：將矩陣方程簡(jiǎn)化可得： 求解上述矩陣方程得： 則節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)4的反力： 單元2的矩陣方程為： 則單元2的彈簧力為： 例2：下圖所示一彈簧系統(tǒng)，寫(xiě)出其整體剛度矩陣和邊界條件。解： 整體剛度矩陣為： 系統(tǒng)剛度方程為：邊界條件為： 課后習(xí)題：考慮如圖所示的彈簧單元系統(tǒng)，假定，。求：1）結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣； 2）節(jié)點(diǎn) 3、4、5 的位移；3）節(jié)點(diǎn) 1、2 的支反力； 4）每個(gè)彈簧的內(nèi)力。第二節(jié) 線(xiàn)性等截面直桿單元1.1 單

23、元特性分析右下圖所示為一線(xiàn)性等截面直桿單元，其中，桿的長(zhǎng)度為，橫截面積為，材料彈性模量為。根據(jù)材料力學(xué)可知，單元在節(jié)點(diǎn)軸向力的作用下，桿內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谳S線(xiàn)各點(diǎn)處均是恒定常數(shù)，因而桿內(nèi)任一點(diǎn)位移沿桿軸線(xiàn)呈線(xiàn)性規(guī)律變化。建立桿單元的整體坐標(biāo)系，則桿單元的位移函數(shù)可以表示為：寫(xiě)成矩陣形式： 代入位移函數(shù)可得： 寫(xiě)成矩陣形式： 將上式兩邊左乘可得： 則桿單元中的任一點(diǎn)位移可表示為：簡(jiǎn)化可得： 令： 稱(chēng)為形函數(shù)， 則稱(chēng)為形函數(shù)矩陣，它將單元的節(jié)點(diǎn)位移與單元的內(nèi)位移連接起來(lái)。則：建立桿單元的局部坐標(biāo)，則有：形函數(shù)矩陣可變?yōu)椋簞t位移函數(shù)為：令：，稱(chēng)為自然坐標(biāo)。則形函數(shù)可表示為：形函數(shù)矩陣變?yōu)? ，則單元中任

24、一點(diǎn)位移為：于是，應(yīng)變?yōu)? 其中： 稱(chēng)為單元應(yīng)變矩陣，則：因此，應(yīng)力可表示為：?jiǎn)卧獞?yīng)變能：?jiǎn)卧耐饬?shì)能：則單元的總勢(shì)能為： 根據(jù)最小勢(shì)能原理可知：，則有：令，稱(chēng)為桿單元在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍?。則桿單元?jiǎng)偠确匠虨椋簩卧獞?yīng)變矩陣表達(dá)式代入單元?jiǎng)偠染仃嚳傻?這就是等截面直桿在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。?：如圖所示，求節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3的反力。解：這是由兩個(gè)等截面直桿單元串聯(lián)而成，有2個(gè)單元3個(gè)節(jié)點(diǎn)， 則： 總體剛度矩陣為：整體剛度方程為：施加位移和力邊界條件：整體剛度方程變?yōu)椋呵蠼馍鲜稣w剛度方程可得： ， ， 作業(yè)：下圖所示為1個(gè)彈簧單元和1個(gè)線(xiàn)性桿單元組成的結(jié)構(gòu)，假定 E200GPa

25、，A=0.01m2 ，K=1000KN/m，P25N。求: 1、該結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；2、節(jié)點(diǎn) 2 的位移；3、節(jié)點(diǎn) 1 和節(jié)點(diǎn) 3 的支反力；4、桿的應(yīng)力；5、彈簧的內(nèi)力。例2：下圖為一等截面直桿。已知 求該等截面直桿兩端點(diǎn)的反力。解：首先判斷等截面直桿在軸向力P的作用下伸長(zhǎng)后是否與右端支座相接觸。由于：因此，等截面直桿在軸向力作用下變形后會(huì)與右端支座相接觸。系統(tǒng)整體剛度矩陣方程為：力和位移邊界條件為：將上述邊界條件代入矩陣方程可得：求解上述方程可得： 1.2 單元特性分析 如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖所示： 將軸向均布荷載轉(zhuǎn)換為作用在桿節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載，計(jì)算公式為：均勻分布荷

26、載所做的功為：即： 根據(jù)能量守恒定律，有： ，即： 簡(jiǎn)化可得： 則節(jié)點(diǎn)力為： 很顯然，如下圖所示：如果等截面直桿單元位于二維平面坐標(biāo)中，如圖所示： 在局部坐標(biāo)中有兩個(gè)自由度，其中有一個(gè)自由度。在整體坐標(biāo)系中有兩個(gè)自由度。兩者之間的變換關(guān)系為：將上式寫(xiě)成矩陣形式為：令： 稱(chēng)為變換矩陣，也是一個(gè)正交矩陣，即：對(duì)于等截面直桿單元，有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移都進(jìn)行變換后可得：令： 稱(chēng)為坐標(biāo)變換矩陣則桿單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣可寫(xiě)成： 桿單元節(jié)點(diǎn)力按照同樣方式進(jìn)行變換，可得： 其中：在局部坐標(biāo)中，有：將其擴(kuò)大，得：令：稱(chēng)為局部平面坐標(biāo)系中的桿單元?jiǎng)偠染仃噭t：將和兩式代入上式可得：兩邊左乘的轉(zhuǎn)置矩陣可得：則整體坐

27、標(biāo)系中的剛度矩陣為：將相關(guān)表達(dá)式代入上式可得：其中：?jiǎn)卧獞?yīng)力：例題一：右圖為一平面桁架，兩桿長(zhǎng)度、彈性模量、橫截面都相同，分別為。試求節(jié)點(diǎn)2的位移及兩桿應(yīng)力。解：兩桿在局部坐標(biāo)中的剛度矩陣為：兩個(gè)矩陣不能直接組裝成整體剛度矩陣，因?yàn)樗鼈兎謩e屬于不同的坐標(biāo)系。對(duì)于單元1，有：對(duì)于單元2，有：組裝成系統(tǒng)總體剛度矩陣為： 則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元方程為： 載荷與位移邊界條件為： 代入有限元方程為:求解可得： 相應(yīng)的，兩桿應(yīng)力分別為：例題二：如圖所示為一平面桁架。已知： 求節(jié)點(diǎn)位移與反力。解：對(duì)于單元1，有：對(duì)于單元2，有：對(duì)于單元3，有：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣：則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元方程為：載荷與位移邊界條件為：代

28、入矩陣方程可得：由： 可得：由： 可得：從而簡(jiǎn)化矩陣方程得：求解可得： 將位移代入矩陣方程可得反力：如果桿單元位于三維空間，同樣可以采用前面的坐標(biāo)變換方法建立局部坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚺c整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃囍g的關(guān)系在局部坐標(biāo)中有三個(gè)自由度，其中。在整體坐標(biāo)中有三個(gè)自由度。桿單元軸線(xiàn)在整體坐標(biāo)系中的方向余弦為：則局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：寫(xiě)成矩陣形式為：令：稱(chēng)為坐標(biāo)變換矩陣整體坐標(biāo)中桿單元的剛度矩陣為：將局部坐標(biāo)中桿單元?jiǎng)偠染仃?，代入上式可得：作業(yè)：如右圖所示由等截面直桿組成的一空間桁架結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的支座是球鉸，可以旋轉(zhuǎn)但不能平移。其中4個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：。假定：

29、E=200GPa，A14=0.001m2，A24=0.002m2，A340.001m2，P12KN，求：1）該結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；2）節(jié)點(diǎn) 4 的位移；3）節(jié)點(diǎn) 1、2、3 的支反力；4）每個(gè)單元的應(yīng)力。六、梁?jiǎn)卧鐖D所示，為一簡(jiǎn)單平面純彎曲梁?jiǎn)卧ㄖ豢紤]彎曲，不考慮軸向變形）于是，定義梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)為：(位移邊界條件（撓度、轉(zhuǎn)角）)，則有： 寫(xiě)成矩陣形式為：求解上述矩陣方程為：則位移函數(shù)可表示為：因此，定義形函數(shù)矩陣為：其中：則位移函數(shù)可簡(jiǎn)化為：在局部坐標(biāo)系統(tǒng)中有：，則局部坐標(biāo)系統(tǒng)中純彎曲梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)變?yōu)椋阂胍涣烤V變量：，稱(chēng)為自然坐標(biāo)。則形函數(shù)可變?yōu)椋毫旱那蕿椋毫睿?，稱(chēng)為應(yīng)變矩陣。則：

30、梁的截面彎矩為：正應(yīng)力： ， 其中：梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能：外力做功：所以，純彎曲梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚳啥x為：將B和I代入上式可得：因此，梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠虨椋豪}1：如下圖所示，求中間結(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角以及兩端點(diǎn)的反力與反力矩。解：顯然，將整個(gè)梁分成兩個(gè)梁?jiǎn)卧?則系統(tǒng)整體剛度矩陣為：整體有限元方程為：載荷和位移邊界條件為：并代入有限元方程可得：求解可得：則反力及反力矩為：例題二：如下圖所示，求撓度、轉(zhuǎn)角以及反力。已知：。解：可以分成兩個(gè)梁?jiǎn)卧粋€(gè)彈簧單元進(jìn)行求解。兩個(gè)純彎曲梁?jiǎn)卧仃嚪謩e為： 彈簧單元矩陣為：則整體有限元方程為：邊界條件為：邊界條件代入有限元方程，簡(jiǎn)化后求解得：再將求解結(jié)果代入有限元方程，可得