高等數(shù)學(xué)課件：第二章 習(xí)題課

1、第二章第二章 習(xí)題課習(xí)題課求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階微分高階微分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義即即或或記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點在點并稱這個極限為函數(shù)并稱這個極限為函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)時的極限存在時的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果取得增量取得增量相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時時內(nèi)內(nèi)仍在該鄰域仍在該鄰域點點處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量的某個鄰域內(nèi)有定義的某個鄰域內(nèi)有定義在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(,)(,0);()(

2、,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定義定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arct

3、an11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是常數(shù)是常數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商

4、的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(yxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)

5、求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則)(22dxdydxddxyd dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd 4 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的

6、函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))定義定義,)(0及及其其鄰鄰域域有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfy .的線性主部的線性主部叫做函數(shù)改變量叫做函數(shù)改變量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )微分的定義微分的定義成立成立如果如果)( xoxAy 0)(xxfy在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù) ),(00 xdfdyxx或或記作記作 .d0 xAyxx 即即的的相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量改改變變量量在在點點

7、函函數(shù)數(shù)xxxfy 0)(為為并且稱并且稱xA ),(無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中xA ,可微可微,微分微分,00在鄰域內(nèi)在鄰域內(nèi)及及xxx )()(00 xfxxfy ).0( x6 6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdd

8、xxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的微分形式總是的微分形式總

9、是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx dxxfdy)( 二、典型例題例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 ).0(,sin)(23fxxxf 求求設(shè)設(shè)例例,cossin31)(3132xxxxxf 得得解解法法一一：根根據(jù)據(jù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則不存在。不存在。無意義，無意義，)0()(0fxfx xxxxfxffxx0sinlim0)0()(lim)0(3100 義義公公式式解解法法二二：根根據(jù)據(jù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定0sinlimlimsin

10、lim03030 xxxxxxxxx)(005)(332xfxxxxxf ，求求設(shè)設(shè)例例 0,30,20,)(0,)5()(232xxxxxxxxxf解法一：解法一：05)0(, 5)0(0,2)(, 5)(0,3)(,)(0223 ffxxxfxxfxxxfxxfx時時，時時，時時，解解法法二二： xxfxxfxxxfxxfxxxfxxfxxx5lim)0(05)5(lim)0(0,2)(,5)(0,3)(,)(03020223時時，時時，時時，解解法法三三：有有關(guān)關(guān)。的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的函函數(shù)數(shù)值值是是雙雙側(cè)側(cè)極極限限，與與的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)點點)(0)0(0 xfxfx )(005)(

11、332xfxxxxxf ，求求設(shè)設(shè)例例 !)0(不存在不存在f例例4 4.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 練習(xí)練習(xí).)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx練習(xí)練習(xí).1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.

12、1cos11sin2xexx 例例5 5).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 題：題：9 ,86P. 0)0()0()( ffxf存在，證明存在，證明為偶函數(shù)，且為偶函數(shù)，且設(shè)設(shè)),0(f . 0)0(),0()0( fff存在，存在，證：因為證：因為)0(f ).0()0()0()0()0(fffff 存在，且存在，且、),()(),()()(xfxfxfxfxf 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，因為因為根據(jù)導(dǎo)

13、數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()(lim0 xfxfx)0()0(lim0 xfxfx)0()(lim0 xfxfx )0()0(lim0題：題：4 ,101P；）（）；（；（）（）（導(dǎo)出導(dǎo)出試從試從5233322)(3dd2dd1,1ddyyyyyxyyyxyyx ),(xfy 解：函數(shù)解：函數(shù)).()(xyxfy ,)(1ddxyyx yyxyxd)ddd(dd) 1 (22 .)(352yyyy )(1)(3)(623xyyyyyyy )(1d)(d3xyxyy yxxyxddd)ddd(22 yyxyxd)ddd(dd)2(2233

14、,3yy )(1)()(2xyxyxy )(1d)(1d(xyxxy yxxyxddd)ddd( ; 0, 1; 0, 2)sin1()(xexaxbxfax例：設(shè)例：設(shè)).()(,xfxfba 處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，求求使使與與確確定定常常數(shù)數(shù)可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)，可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)，在在解：解：0)( xxf ; 0,; 0,cos)(xaexxbxfax. 1, 02 babaab,),0()0(,0)(baffxxf 可導(dǎo)可導(dǎo)在在,01lim)0(0axefaxx .sinlim02)sin1(lim)0(00bxxbxaxbfxx 02 ab , 011lim)(lim000 eexfax

15、xx , 22)sin1(lim)(lim00 abaxbxfxx).1(, 21)(lim1)(1fxxfxxfx 求求處處連連續(xù)續(xù)，且且在在例例：已已知知函函數(shù)數(shù). 21)(lim10)(lim1)1()(lim)1(111 xxfxxfxfxffxxx, 0)1()(lim1 fxfx處連續(xù)，處連續(xù)，在在函數(shù)函數(shù)1)( xxf)( , 0)(lim1同階無窮小同階無窮小 xfx, 21)(lim, 0)1(lim11 xxfxxx解解：不不可可導(dǎo)導(dǎo)但但連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo)但但不不連連續(xù)續(xù)）可可微微（可可導(dǎo)導(dǎo)處處（）在在函函數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí))()()(000)(11dcbaxxxxxexfx xx

16、fdxxfcxxfbxxfaxxfxf2cos411)()(2cos21)()(2cos41)()(cos21)()(2sin21)(,)(22 的的是是（）滿滿足足中中下下列列函函數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí))2, 1()()2 , 1()()2 , 1()0 , 0( )(333 dcbaxxxy軸軸的的點點是是（）上上切切線線平平行行于于曲曲線線練練習(xí)習(xí)例例6 6.,45202 tdxdyt ttyttx求求設(shè)設(shè)解解分析分析:,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時時當(dāng)當(dāng)tt ,0不存在不存在時時當(dāng)當(dāng)dtdydtdxt 不能用公式求導(dǎo)不能用公式求導(dǎo).tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn

17、(45lim0tttt . 0 . 00 tdxdy故故.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所所確確定定由由方方程程設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 例例7 7解解兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(, )2()(xfxxxxf 求求設(shè)設(shè)例例8 8解解先去掉絕對值先去掉絕對值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0時時當(dāng)當(dāng) x, 0)0()0( ff; 0)0( f,20時時

18、當(dāng)當(dāng) x;43)(2xxxf ,02時時或或當(dāng)當(dāng) xx;43)(2xxxf ,2時時當(dāng)當(dāng) x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例9 9解解 :求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對x)sincossinlnsin1(dd2xxxxxyxy xxxysinlncoslnln 方程兩邊取對數(shù)方程兩邊取對數(shù) xxxxxxxyysi

19、ncoscossinlnsin1dd1 )sincossinlnsin1()(sindd2cosxxxxxxxxyx )(sindd :2)ln(sincoscosxxxxexxxy解解法法.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例9 9 xxxxxxxxsincossinlnsin1)(sin2cos)sincossinlnsin()(sin)(sin2coscosxxxxxxxxx )sincossinlnsin()(sin2)ln(sincoscosxxxxxexxxx )ln(sincos)ln(sincosxxxxexe.,114)(22nyxxy求求設(shè)設(shè) 例例1010解解1344

20、1142222 xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny例例1111.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex例例1212.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1

21、(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1313.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例1414解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()ta

22、n(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例1515解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程。處處的的切切線線與與法法線線的的直直角角曲曲線線上上對對應(yīng)應(yīng)于于求求該該是是已已知知曲曲線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程例例6,cos1)2002(16 ttr tttyttxttyttxcossinsincoscossin)cos1(cos)cos1(2即即解解：此此

23、曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程)4321,4323(6 對對應(yīng)應(yīng)切切點點坐坐標(biāo)標(biāo)t1sincos2sinsincoscos6226 tttttttdtdxdtdydxdyt。法法線線方方程程：切切線線方方程程：43234321;43234321 xyxy)(2)()(lim)()()()(lim)()()()2(lim)()0()0()(lim)()(0000000000 xfxxxfxxfdxfxxxfxfcafhafhafbfxfxfaxfxxhx 式不成立的是式不成立的是是可導(dǎo)函數(shù)，則下列各是可導(dǎo)函數(shù)，則下列各設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)測測 驗驗 題題一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、函數(shù)、函數(shù))(x

24、f在點在點0 x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(0 xf 定義為定義為（ ） （A A）xxfxxf )()(00； （B B）xxfxxfxx )()(lim000； （C C）xxfxfxx )()(lim00； （D D）00)()(lim0 xxxfxfxx ； 2 2、若函數(shù)、若函數(shù))(xfy 在點在點0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0)(0 xf，則，則 曲線曲線)(xfy 在點在點( ()(,00 xfx) )處的法線處的法線（ ） （A A）與）與x軸相平行；軸相平行； （B B）與）與x軸垂直；軸垂直； （C C）與）與y軸相垂直；軸相垂直； （D D）與）與x軸即不平行也不垂直：軸即不平行也不垂直：

25、 3 3、若若函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x不不連連續(xù)續(xù)，則則)(xf在在0 x ( ( ) ) （A A）必必不不可可導(dǎo)導(dǎo)； （B B）必必定定可可導(dǎo)導(dǎo)； （C C）不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)； （D D）必必?zé)o無定定義義. . 4 4、如如果果)(xf= =（ ） ，那那么么0)( xf. .( (A A) ) xxarccos2arcsin ；( (B B) ) xx22tansec ；( (C C) ) )1(cossin22xx ；( (D D) ) xarctanarcxcot. . 5 5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，那那末末（ ） （A A）1

26、ba； （B B）1, 2 ba； （C C）0, 1 ba； （D D）1, 0 ba. . 6 6、已知函數(shù)、已知函數(shù))(xf具有任意階導(dǎo)數(shù)，且具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 2)()(xfxf , ,則當(dāng)則當(dāng)n為大于為大于 2 2 的正整數(shù)時，的正整數(shù)時， )(xf的的 n n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))()(xfn是是（ ） （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. .7 7、若函數(shù)、若函數(shù))(txx , ,)(tyy 對對t可導(dǎo)且可導(dǎo)且0)( tx, ,又又 )(txx 的反函數(shù)存在且可導(dǎo)，則的反函數(shù)存在且可導(dǎo)，則dxdy= =

27、（ ） （A A）)()(txty ； （B B）)()(txty ； （C C）)()(txty ； （D D）)()(txty . . 8 8、若函數(shù)、若函數(shù))(xf為可微函數(shù)，則為可微函數(shù)，則dy（ ） （A A）與）與x 無關(guān)；無關(guān)； （B B）為）為x 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)； （C C）當(dāng)）當(dāng)0 x時為時為x 的高階無窮小；的高階無窮?。?（D D）與）與x 為等價無窮小為等價無窮小. .9 9、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x處可導(dǎo)，當(dāng)自變量處可導(dǎo)，當(dāng)自變量x由由0 x增增加到加到xx 0時，記時，記y 為為)(xf的增量，的增量，dy為為)(xf的的微分，微分，xdyyx 0lim等于等于（ ） （A A）-1-1； （B B）0 0； （C C）1 1； （D D） . . 1010、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且0)(0 xf， 則則 xdyyx 0lim等于等于（ ）. . （A A）0 0； （B B）-1-1； （C C）1 1； （D D） .