高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3蝗制課件2北師大版必修

1、1.3弧度制【知識提煉知識提煉】1.1.弧度制的概念弧度制的概念(1)1(1)1弧度角弧度角: :在單位圓中在單位圓中, ,長度為長度為_所對的圓心角為所對的圓心角為1 1弧度角弧度角, ,它它的單位符號是的單位符號是radrad, ,讀作弧度讀作弧度. .(2)(2)弧度制弧度制: :以以_作為單位來度量角的單位制作為單位來度量角的單位制. .1 1的弧的弧弧度弧度2.2.角度與弧度的互化角度與弧度的互化1801803.3.弧度數(shù)與弧度制的作用弧度數(shù)與弧度制的作用正數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)0 0rl【即時小測即時小測】1.1.思考下列問題思考下列問題(1)(1)長度為長度為1 1的弧所對的圓心角一定是

2、的弧所對的圓心角一定是1 1弧度角嗎弧度角嗎? ?提示提示: :不一定不一定. .只有半徑也是只有半徑也是1 1時圓心角才是時圓心角才是1 1弧度的角弧度的角. .否則圓心角不否則圓心角不是是1 1弧度角弧度角. .(2)(2)弧度的計算公式為弧度的計算公式為|= ,|= ,為什么帶絕對值號為什么帶絕對值號? ?提示提示: :因為角度有正角、負(fù)角之分因為角度有正角、負(fù)角之分, ,而弧長為正值而弧長為正值, ,當(dāng)當(dāng)00時時, ,=- .=- .lrlr2.2.如果一扇形的弧長為如果一扇形的弧長為,半徑等于半徑等于2,2,則扇形所對圓心角為則扇形所對圓心角為( () )a.a.b.2b.2 【解析

3、解析】選選c.c.由題意由題意=2=2, ,故故= .= .3c. d.2223.3.將將-300-300化為弧度為化為弧度為_._.【解析解析】-300-300 =- .=- .答案答案: :- -53531804. 4. 化為度化為度, ,結(jié)果為結(jié)果為_._.【解析解析】radrad=180=180, ,則則1rad= 1rad= 所以所以 答案答案: ) ，55180150 .66 ()5.5.把把-570-570化為化為2k+(02,kz)2k+(02,kz)的形式為的形式為_._.【解析解析】 答案答案: : 19570570,1806 191534.666

4、 546 【知識探究知識探究】知識點知識點1 1 角度制與弧度制角度制與弧度制觀察圖形觀察圖形, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題: :怎樣理解、記憶角度制與弧度制的互化公式怎樣理解、記憶角度制與弧度制的互化公式? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.角度制與弧度制的差別角度制與弧度制的差別(1)(1)定義不同定義不同. .(2)(2)單位不同單位不同. .弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”為單位為單位, ,單位可以省略單位可以省略, ,而角度制是而角度制是以以“度度”為單位為單位, ,單位不能省略單位不能省略. .(3)(3)弧度制是十進(jìn)制弧度制是十進(jìn)制, ,而角度制是六十進(jìn)制而角度制是六十

5、進(jìn)制. .2.2.角度制與弧度制的互化角度制與弧度制的互化(1)(1)不管以不管以“弧度弧度”還是以還是以“度度”為單位的角的大小都是一個與圓的為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的值半徑大小無關(guān)的值, ,僅和半徑與所含的弧這兩者的比值有關(guān)僅和半徑與所含的弧這兩者的比值有關(guān). .(2)“(2)“弧度弧度”與與“角度角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化之間可以相互轉(zhuǎn)化. .3.3.學(xué)習(xí)弧度制的注意點學(xué)習(xí)弧度制的注意點知識點知識點2 2 弧度制下的弧長公式及扇形面積公式弧度制下的弧長公式及扇形面積公式觀察圖形觀察圖形, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題: :怎樣利用角度制下的扇形面積公式推導(dǎo)弧度制

6、下的扇形面積公怎樣利用角度制下的扇形面積公式推導(dǎo)弧度制下的扇形面積公式式? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】關(guān)于扇形的面積公式關(guān)于扇形的面積公式(1)(1)公式中共四個量分別為公式中共四個量分別為,l,r,s,r,s, ,由其中的兩個量可以求出另外的由其中的兩個量可以求出另外的兩個量兩個量, ,即知二求二即知二求二. .(2)(2)運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多式簡單得多, ,但要注意它的前提是但要注意它的前提是為弧度數(shù)為弧度數(shù). .(3)(3)在運用公式時在運用公式時, ,還應(yīng)熟練地掌握這兩個公式的變形運用還應(yīng)

7、熟練地掌握這兩個公式的變形運用: : | r |r;r| ，lll2212ss|r |2r ，【題型探究題型探究】類型一類型一 角度與弧度的互化角度與弧度的互化【典例典例】1.(20151.(2015寶雞高一檢測寶雞高一檢測) )角角20132013的弧度表示為的弧度表示為( () ) 1167167111a. b. c. d.60601201202.2.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是( () )a.67a.673030化成弧度是化成弧度是 radradb.- b.- 化成度是化成度是-600-600度度c.-150c.-150化成弧度是化成弧度是 radradd. d. 化成度是化

8、成度是1515度度3810376123.3.把下列各角寫成把下列各角寫成2k+(02,kz)2k+(02,kz)的形式的形式, ,并指出它們是第并指出它們是第幾象限角幾象限角: : 1611.315 .37【解題探究解題探究】1.1.典例典例1,21,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么? ?提示提示: : 2.2.用弧度判斷角所在的象限一般考慮哪個范圍用弧度判斷角所在的象限一般考慮哪個范圍? ?提示提示: :利用與該角終邊相同的角利用與該角終邊相同的角(0(020)0)的角的角的集合為的集合為 終邊經(jīng)過點終邊經(jīng)過點( (a,a)(aa,a)(a0)0)的

9、角的角的集合為的集合為 所以終邊經(jīng)過點所以終邊經(jīng)過點(a,a)(a0)(a,a)(a0)的角的角的集合是的集合是 2k ,kz4 ；52k ,kz2k1,kz44 ，2k ,kz2k1,kz44 k ,kz.4 2.2.因為因為150150= .= .所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為 因為因為20152015=215=215+5+5360360= +10,= +10,又又 所以所以20152015= s,= s,即即20152015是這個集合的元是這個集合的元素素. .5653s |2k2k ,kz.62 43365433.636240336【方法技巧方法技巧】1.

10、1.用弧度表示角的注意點用弧度表示角的注意點(1)(1)注意角度與弧度不能混用注意角度與弧度不能混用. .(2)(2)各終邊相同的角需加各終邊相同的角需加2k,kz.2k,kz.(3)(3)求兩個角的集合的交集時求兩個角的集合的交集時, ,注意應(yīng)用數(shù)軸直觀確定注意應(yīng)用數(shù)軸直觀確定, ,可對可對k k進(jìn)行適當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刭x值地賦值. .2.2.解決解決“弧度弧度”與與“角度角度”概念問題的關(guān)鍵點概念問題的關(guān)鍵點(1)(1)引入弧度制后引入弧度制后, ,角的集合與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系角的集合與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系. .(2)(2)用角度制和弧度制來度量零角用角度制和弧度制來度量零角, ,單位

11、不同單位不同, ,但數(shù)量相同但數(shù)量相同( (都是都是0);0);用用角度制和弧度制度量任意非零角角度制和弧度制度量任意非零角, ,單位不同單位不同, ,數(shù)量也不同數(shù)量也不同. .(3)“(3)“角度角度”與與“弧度弧度”可以按照可以按照“180180= =radrad”這一等量關(guān)系進(jìn)行這一等量關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)( (不包括邊界不包括邊界) )的角的角的集合的集合. .【解析解析】(1)(1)以以obob為終邊的為終邊的330330角可看成角可看成-30-30角角, ,化為弧度化為弧度, ,即

12、即- ,- ,而而 所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為|2k- 2k+ ,|2k- 2k+ , kzkz.(2)(2)因為因為3030= rad,210= rad,210= = radrad, ,這兩個角的終邊所在的直線相同這兩個角的終邊所在的直線相同, ,因此終邊在直線因此終邊在直線abab上的角為上的角為=kk + ,+ ,kzkz, ,而終邊在而終邊在y y軸上的角為軸上的角為=kk+ ,+ ,kzkz, ,從而終邊落在陰影從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為部分內(nèi)的角的集合為 |k|k+ + 0,=40-2r0,解得解得0r20,0r20,6 6分分所以

13、扇形的面積所以扇形的面積s= s= lr r= (40-2r)r= (40-2r)r=-r=-r2 2+20r=-(r-10)+20r=-(r-10)2 2+100,+100,8 8分分因為因為0r20,0r20,所以當(dāng)所以當(dāng)r=10r=10時時, ,面積取得最大值面積取得最大值100,100,9 9分分當(dāng)當(dāng)r=10r=10時時, ,弧長弧長l=20,=20,圓心角為圓心角為2,2,1111分分所以當(dāng)半徑為所以當(dāng)半徑為1010、圓心角為、圓心角為2 2時時, ,扇形的面積最大扇形的面積最大, ,最大值為最大值為100.100.1212分分1212【題后悟道題后悟道】1.1.關(guān)注題目中未知量的范圍關(guān)注題目中未知量的范圍題目中往往含有多個變量題目中往往含有多個變量, ,一般用一個變量表示其他的變量一般用一個變量表示其他的變量, ,可以利用可以利用已知范圍、變量自身的應(yīng)用、變量之間的關(guān)系限制等確定變量的范圍已知范圍、變量自身的應(yīng)用、變量之