全概率公式與貝葉斯公式

1、5§ 1.4全概率公式與貝葉斯公式教學(xué)對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生掌握全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用課型：新授課課時(shí)：1課時(shí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用背景、 相互的聯(lián)系與區(qū)別以及在實(shí)教學(xué)方法：教學(xué)安排：際中的應(yīng)用講授法，情境問題法（1）課堂導(dǎo)入（2）講授新課、舉例（3）拓展與思考（4）思考（5） 布置作業(yè)教學(xué)過程:（一）給出引例，導(dǎo)入新課在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)熟悉了求概率的幾種方法： 頻率方法、古典方法 和幾何方法，對較簡單的事件，這些方法是很好用的，但是當(dāng)事件比較復(fù)雜時(shí)， 這些方法用起來就顯得力不從心了。引例 小王要去外地出差幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧

2、。若已知 如果幾天內(nèi)鄰居記得澆水，花存活的概率為 0.8,如果幾天內(nèi)鄰居忘記澆水，花 存活的概率為0.3,假設(shè)小王對鄰居不了解，即可以認(rèn)為他記得和忘記澆水的概 率均為0.5,問：幾天后他回來花還活著的概率。討論：這個(gè)問題可以用我們以前所學(xué)過的方法求解嗎？【評析】對此類較復(fù)雜的概率問題，用我們以前的知識(shí)就解決不了了。（二）講授新課在上例中，事件“花活著”有兩種情況可以導(dǎo)致它發(fā)生：記得澆水和忘記澆 水，而“記得澆水”和“忘記澆水”把樣本空間劃分成了兩個(gè)互不相容的部分， 稱為一個(gè)劃分，具體的定義如下：1.劃分定義1設(shè)B,B2,，Bn ",且滿足n - Bi（完全性）；i =1 對-i, j

3、，Bj -：（互斥性）。則稱BB2, ,Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分?！菊n堂提問】 能舉出日常生活中劃分的例子嗎？ 最簡單的劃分是怎樣的？ 仔細(xì)觀察上圖，當(dāng)Bi,B2,，Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分，Bi,B2,，Bn是否也將任一個(gè)事件A劃分成了若干個(gè)互不相容的部分？它們?nèi)绾伪硎荆俊驹u析】 一塊玻璃摔在地上破碎了，各個(gè)碎片就是原來玻璃的一個(gè)劃分。 最簡單的劃分就是B和B. 當(dāng)Bi,B2,，Bn構(gòu)成門的一個(gè)劃分，Bi,B2,，Bn也將任一個(gè)事件A劃分成了若干個(gè)互不相容的部分，它們分別表示為AB,AB2,，ABn，當(dāng)然，它們中間可能有的是門。2.全概率公式在上例中，設(shè)b= “記得澆花” ，b= “忘記澆花”，則b

4、和b就構(gòu)成了門的一個(gè)劃分，設(shè)事件A= “花還活著”，則A也被B和B劃分為兩個(gè)互不相容的部分：ab,ab。由前面概率的性質(zhì)知道： P(A)二P(AB AB)二P(AB) P(AB)=P(A| B) P(B) P(A|B) P(B)=0.8 0.5+0.3 0.5 =0.55。性質(zhì)BB2,，Bn，如果P(Bi)0,i =1,2/ ,n，則對任一事件A有nP(A)P(Bi)P(A|BJ.i#證明：略【例題1】 某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為3類：謹(jǐn)慎的”、一般的”、冒失 的”。統(tǒng)計(jì)資料表明，這3種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為 0.05,0.15和0.30; 如果 謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%, 一般的”占5

5、0%，冒失的”占30%，一個(gè)被保 險(xiǎn)人在一年內(nèi)出事故的概率是多大？解：設(shè)Bi= “他是謹(jǐn)慎的” ，B2= “他是一般的” ，B3= “他是冒失的”，則Bi,B2,B3構(gòu)成了門的一個(gè)劃分，設(shè)事件A= “出事故”，由全概率公式：P(A)八 P(BJP(A|BJi J= 0.05 20%0.15 50%0.30 20%=0.125。3貝葉斯公式在“澆花”的例子中，我們反過來思考這樣一個(gè)問題：假若小王回來，發(fā)現(xiàn) 花還活著，那么，鄰居記得澆花的概率是多大？即已知結(jié)果，要求這個(gè)結(jié)果是由某種原因所導(dǎo)致的概率，這就是貝葉斯公式 解決的問題。性質(zhì) 設(shè)Bi,B2 / ,B n是樣本空間門的一個(gè)劃分，則P(Bi |

6、 A)二P(Bi)P(A|BJn,i =1,2, ,n.、P(Bj)P(A|Bj)j 4證明：略回到上面的例子中，可以求出當(dāng)發(fā)現(xiàn)花還活著，鄰居記得澆花的概率P(B| A)二P(B)P(A| B)P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)0.5漢 0.80.5 0.8 0.5 0.3= 0.7271.【例題2】某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為 0.0004,現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表 明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性（有病）， 而沒有患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果 99.9%呈陰性（無?。F(xiàn)某人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽 性，問他真的患肝癌的概率是多大？【猜猜看】師：評大家的直覺

7、，此概率大概為多少？生：師：我們用貝葉斯公式計(jì)算一下，看看誰猜得更接近些。解：記事件B二“被檢查者患有肝癌”，A二“檢查結(jié)果成陽性”，由假設(shè)，P(B) =0.0004 , P(B) =0.9996, P( A | B) = 0.99, P(A| B) = 0.001，由貝葉斯公式,得P(B|A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 9990.0004 0.990.9996 0.001=0.284.【思考】這個(gè)結(jié)果多少讓人覺得驚訝，既然檢查結(jié)果成陽性真的患肝癌的概率 只有0.284,如何確保診斷的無誤呢？對！方法就是一一復(fù)診！復(fù)診時(shí)，此人患肝癌的概率不再是 0.0004,而是0.284。 這是因?yàn)榈谝淮螜z查呈陽性，所以對其患病的概率進(jìn)行了修正，因此將由貝葉斯 公式求出的概率成為修正概率。假若第二次檢查還是呈陽性，我們類似可以計(jì)算出他患肝癌的概率P(B|A)二P(B)P(A|B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.284x0.990.284 0.990.716 0.001= 0.997.上式表明：如果第二次復(fù)查結(jié)果仍然呈陽性，那么他患病的概率就達(dá)到了 99.7%, 此例說明了復(fù)查可以提高診斷的準(zhǔn)確性。（三）課堂小結(jié)全概率公式一一由因求果，貝葉斯公式一一執(zhí)果尋因 關(guān)鍵點(diǎn)：什么